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《计算机数学》课程教案
教案编写人：
课程名称 计算机数学 本次内容 极限的概念
授课班级 时 间 第 周 第 次 教学课时 /单元课时 /项目课时
学习目标 知识目标： 1.数列极限和函数极限的概念 2.无穷小与无穷大的概念 能力目标： 1.能够理解函数极限的描述性定义 2.能够运用函数在某一点极限值是否存在的充要条件解决具体问题 3.能够简单运用无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系求极限 素质目标： 1.培养学生的逻辑分析和理解能力 2.培养学生对知识的运用能力
教学 重难点 1．函数在某点的左、右极限的判定 2.对函数极限的理解和应用 3.对无穷小和无穷大概念的理解和应用
课后总结 建议课时2课时
一、数列的极限
定义2.1.1 按自然数编号依次排列的一列数，称为无穷数列，简称数列.其中的每个数称为数列的项，称为通项(一般项)，记作.
定义2.1.2 对于数列，如果当无限增大（即）时，趋于同一个确定的常数（即），则称当趋于无穷大时，数列的极限为，记作
或 （）.
也称数列收敛于，否则就称数列是发散的.
例2.1.1 考察下列数列的变化趋势，求出它们的极限：
（1）； （2）；
（3） ； （4）；
（5）； （6） .
解 （1）当时，中所有的项都是常数，；
（2）当时，，；
（3）当时，，，故；
（4）当时，，；
（5）当时，，；
（6）当时，，.
二、函数的极限
1．当时，函数的极限
(1) 当时，函数的极限
定义2.1.3 设函数在的右半邻域内有定义，当自变量在此半邻域内无限趋于时，相应的函数值无限趋于一个确定常数，则称为函数在处的右极限，记作
(2) 当时，函数的极限
定义2.1.4 设函数在的左半邻域内有定义，当自变量在此半邻域内无限趋于时，相应的函数值无限趋于一个确定常数，则称为函数在处的右极限，记作 .
定义2.1.5 设函数在的邻域）内有定义，当自变量在此邻域内无限趋于时，相应的函数值无限趋于同一个确定常数，则称为函数在处的极限，记作 .
定理2.1.1 当时，函数以常数为极限的充要条件是函数在与的极限存在且都等于，即
.
例2.1.2 设函数，
求，，.
解 函数
观察函数的图像，我们可以发现，
当时，函数值无限趋于，即；
当时，函数值也无限趋于，即.
，.
课堂提问：函数的极限值与函数在这点是否有定义或函数值的大小无有关吗？
例2.1.3 设函数，求
（1），，；
（2），，.
解 （1）观察函数的图像，我们可以发现
当时，所有的的取值都大于，故选择函数表达式，
此时函数值无限趋于，即；
当时，所有的的取值都小于. 故选择函数表达式，此时函数值无限趋于，即.
，所以不存在.
（2）观察函数的图像，我们可以发现当时，所有的的取值都大于，
故选择函数表达式，此时函数值无限趋于，即；
当时，所有的的取值仍然都是大于，故仍选择函数表达式，
此时函数值仍然无限趋于，即.
，.
2．当时，函数的极限
(1) 当时，函数的极限
定义2.1.6 如果当自变量取正值且无限增大时，函数无限趋于一个确定常数，则称为函数当时的极限，记作
(2) 当 时，函数的极限
定义2.1.7 如果当自变量取负值并其绝对值无限增大时，函数无限趋于一个确定常数，则称为函数当时的极限，记作
.
定义2.1.8 如果当自变量的绝对值无限增大时，函数无限趋于同一个确定常数，则称为函数当时的极限，记作
定理2.1.2 当时，函数以常数为极限的充要条件是函数在与的极限存在且都等于，即
.
例2.1.4 讨论下列函数极限的存在性：
（1）； （2）； （3）.
解 （1）观察图像2.1.9，有
，，
此时，故. 图2.1.9
观察图像2.1.10，可知与都不能趋于一个固定的常数，
故不存在.
观察图像2.1.11，我们发现，， 此时，故不存在.
图2.1.10 图2.1.11
三、无穷小与无穷大
1.无穷小
定义2.1.9 如果函数在其自变量的某个变化趋势下极限为，则称函数为这个变化趋势下的无穷小量，简称无穷小.
例如， ，当时，函数为无穷小量；但，那么当时，函数不是无穷小量.
2．无穷小量的运算性质
性质2.1.1 有限个无穷小的代数和是无穷小量.
性质2.1.2 无穷小与有界量的积是无穷小.
推论1 常数与无穷小的积是无穷小.
推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小.
3．无穷大
定义2.1.10 如果函数在其自变量的某个变化趋势下，其函数值的绝对值无限增大，则称函数为这个变化趋势下的无穷大量，简称无穷大.
例如， 在时，无限增大，故当时，函数是无穷大量；但当时，函数不是无穷大量.
4．无穷小与无穷大的关系
定理2.1.2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且则为无穷大. 即非的无穷小量与无穷大量是倒数关系.
即时，有 ；
（的变化趋势相同）.
例2.1.7 假定某种疾病流行天后感染的人数可由函数关系式
求，如果该疾病不加控制，将有多少人感染上这种疾病呢？
解 如果不加控制，也就是说该疾病流行的时间，那么，感染上这种疾病的人数
也就是说如果该疾病不加以控制，那么将有1000000人感染.

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