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5.4 .1
正弦函数、余弦函数的图象
下面先研究函数， ∈R 的图象，从画函数
∈[0，2π]的图象开始．
思考：在[0，2π]上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点T（，）？
如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（1，0）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（，）.
将单位圆12等分，如上图.
记：∠P1M3X = ∠P2M3X = ∠P3M3X = ∠P4M3X = ∠P5M3X =
x
y
o
P1
M1
P2
M2
P3
M3
P4
M5
P5
M4
P7
P8
P7
P9
P10
P11
P12
则由三角函数的定义
sin = ，sin =sin = sin = sin =
对应坐标 P1 ()，P2()，P3()，P4()，P5()，
观察图形，P1 ()与P5()，P2()与P4()分别关于y轴对称；
P1 ()、P2()关于原点对称点分别是P7 、P8 ；
o1
o
1
x
y
-1
P1 ()、P2()关于x轴的对称点分别是P11 、P10
因此，只要画出 P1 ()、P2() 、P3() ，再根据对称性或诱导公式，
就可以画出其余9个点.
o1
o
1
x
y
-1
描点：画出y = sinx在[0，2π]上的图象
让单位圆继续逆时针旋转一周，函数值会重复出现，再继续逆时针旋转一周，函数值又重复出现；相反地，让单位圆顺时针旋转一周，函数值也会重复出现，再继续顺时针旋转一周，函数值又重复出现.
由诱导公式一知：函数y = sinx在[2kπ，2(k+1)π](k∈z，k≠0)上的图象与y = sinx在[0，2π]上的图象完成一致.因此，将函数y = sinx在[0，2π]上的图象不断向左、向右平移（每次运移动2π个单位），就可以得到正弦函数y = sinx在R上的图象.
正弦函数的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线（如下图）
根据函数， ∈［0，2π］的图象，你能想象函数， ∈R 的图象吗？
根据函数， ∈［0，2π］的图象，你能想象函数， ∈R 的图象吗？
由诱导公式一可知，函数， ∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与， ∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数， ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数， ∈R的图象（图5.4.4）．
正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
y
x
o
y = sinx， x [0，2 ]
y = sinx，x R
sin(x+2k ) = sinx， k Z
由正弦函数的图象，5个点对函数图象起关键作用，如下图：
五个关键点:
与x轴的交点3个
图像的最高点一个
图像的最低点一个
这就是“五点（画图）法”
思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
对于函数， 由诱导公式 得，
∈R ．而函数∈R 的图象可以通过正弦函数， ∈R 的图象向左平移个单位长度而得到．
所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象．
余弦函数 ， ∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．
它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间[－π，π]
上相应的五个关键点，将它们的坐标填入下表5.4.1，然后画出，
∈[－π，π]的简图
0
π
2π
正弦曲线
x
y
o
1
-1
-2
-

2
3
4
-2
-
o

2
3
x
-1
1
y
余弦曲线
思考：你能利用函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cosx，x∈[0，2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0，2π] 的图象？
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.

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