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(共18张PPT)
实际问题与二次函数之
人教版数学九年级上册
几何图形的最大面积
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系；（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题。（重点）
4.通过用二次函数解决生活中的问题，体会函数知识的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系。
一、教学目标
求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)最值？
将y=ax2+bx+c(a≠0)化为y=a(x-h)2+k的形式，当x=h时，函数y取得最大（小）值，为k。
当x= 时，函数y取得最大（小）值，为 。
二、复习引入
配方法
公式法
例：用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化。当l是多少米时，场地的面积S最大？
典例精析
问题1 面积S的函数关系式是什么？
S=(30-l)l=-l2+30l
三、探究二次函数解决矩形面积问题
问题2 当l是多少米时，场地的面积S最大？
解：根据题意得
S=l(30-l)
即S=-l2+30l (0因此，当 时
S有最大值
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大。
三、探究二次函数解决矩形面积问题
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园。
60-2x
x
x
（1）当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
分析：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________ m
矩形菜园的面积S =________________________
想一想：如何求解自变量x的取值范围？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30
(60-2x)
x(60－2x)＝－2x2＋60x
变式
三、探究二次函数解决矩形面积问题
三、探究二次函数解决矩形面积问题
解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(60-2x)m
∴矩形菜园的面积S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x
由题意得0＜60－2x≤32，即14≤x＜30
∵S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450
∴当x=15m时，S取最大值，此时S=450m2
设未知数，用含未知数的代数式表示相关量
根据题意，求出自变量的取值范围
写出二次函数解析式，化为顶点式
结合相关量，利用面积公式求解
结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值。
（2）当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为x m
由（1）知S＝－2x2＋60x=－2(x2－30x)=－2(x－15)2+450
问题1 与（1）有什么区别？
试一试 在（2）中，求自变量的取值范围？
21≤ x ＜30
是否依然在x=15时，S取得最大值？
三、探究二次函数解决矩形面积问题
问题2 当21≤ x ＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？ 当x取何值时，S取得最大值？
当21≤ x ＜30时，S 随x的增大而减小
当 x =21时，S取得最大值
此时S=－2×(21－15)2+450=378m2
三、探究二次函数解决矩形面积问题
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量在实际情况中的取值范围进行分析。
通过前两道例题的对比，理解函数图象的顶点、端点与最值的关系以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值。
三、探究二次函数解决矩形面积问题
“何时取得最大面积” 解题思路
1、设自变量（一般设某条边为x，）与因变量（设“面积”为y）；
2、列出y与x的函数关系式（一般为二次函数）；
3、找出自变量的取值范围；
4、求利用配方法或顶点公式，求出最值。若自变量的取值范围不包括顶点横坐标，则须利用增减性求出最值。
三、探究二次函数解决矩形面积问题
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有
二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
四、课堂练习
拓展练习
A
B
C
D
A
B
C
D
解：
（1）∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
（3）∵墙的可用长度为8米
（2）当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）
∴ S＝x（24－4x）＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
x
24－4x
四、课堂练习
拓展练习
（福建中考）如图，在足够大的空地上有一段长为 a m的旧墙 MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 AD≤MN。已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 m木栏。
四、课后作业
对接中考
（1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙 AD 的长；
（2）求矩形菜园 ABCD 面积的最大值。
在本节课的学习中你有什么收获和感悟？
对以后的学习和生活有什么启发？
五、课堂小结，梳理交流
一个关键
“
依据常用几何图形面积公式，建立函数关系式
“
“
“
几何面积最值问题
五、课堂小结，梳理交流
一个注意
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践。
加油吧！同学们！
谢谢大家！
再见

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