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5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 学案
重难点：通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质；能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题；能够解决简单的函数性质的综合问题．
复习
1.正弦函数的定义域 ；余弦函数的定义域为 ；
正切函数的定义域为 。
2. (1) 正弦函数上的图象中有五个关键点：
、 、 、 、 。
(2) 余弦函数上的图象中有五个关键点：
、 、 、 、 。
3.(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期．
（2）如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
（3）正弦函数是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是 .
（4）余弦函数是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是 .
4. 正弦函数是 ，余弦函数是 ．(填奇函数或偶函数)
二．新课讲解
1. 你能作出正弦函数y＝sin x，x∈的函数图象吗？
由上图我们发现，区间正好是函数的一个周期，其中在区间上单调递增，在区间上单调递减．类似地，我们通过观察余弦函数在一个周期[－π，π]上的
函数值的变化规律，可知y＝cos x在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减．
2. 正弦函数、余弦函数的性质
图象
定义域
值 域
周 期
奇偶性
对称轴
单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 在 上是增函数 在 上是减函数
最值 的值 当 ，最大值是 。 当 ，最小值是 。 当 ，最大值是 。 当 ，最小值是 。
注意点：(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限；
(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间；
(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小．
3.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1) (2)
(3)cos ，cos ； (4) sin 164°与cos 110°； (5) cos 1，sin 1.
解　
小结　比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．
(3)利用函数的单调性比较大小．
4.(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)
A．sin αcos β
(2)下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°C．sin 11°5.（1）求函数y＝2sin的单调区间．
(2)求函数f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的单调区间．
(3) 求函数y＝sin的单调递增区间．
小结　求正弦、余弦函数的单调区间的策略
①结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
②在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间同上．
6.(1)函数y＝sin，x∈[0,2π]的单调递减区间为________________．
(2)求函数y＝2cos的单调区间．
7.(1) 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值．
① ②
(2)已知函数f(x)＝asin＋b(a>0)．当x∈时，f(x)的最大值为，
最小值是－2，求a和b的值．
小结　三角函数的值域(最值)问题的求解方法
①形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论．
②形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
③求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成
y＝Asin x(或y＝Acos x)型的函数求值．
(3)求函数y＝cos，x∈的值域．
8. (1)求二次函数的最值，需要明确哪些方面？
提示　开口方向，对称轴，函数的定义域．
(2)同角三角函数的平方关系是什么？
提示　sin2α＋cos2α＝1.
9. (1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．
(2) 函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈，求函数的最大值和最小值及取得最值时的x的值．
(3)已知y＝sin2x＋2cos x－2，x∈R，求函数的值域．
小结　求y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数最值(值域)的方法
形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数
y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．若f(x)＝asin2x＋bcos x＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值．
（4）函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
10.求函数y＝2sin的对称轴、对称中心．
11.若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π②图象关于直线x＝对称；
③在区间上单调递增，则y＝f(x)的解析式可以是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D.y=cos
小结　研究三角函数的几个方面
整体研究三角函数的性质，我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑．
二、课后作业
1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的所在的区间；
(1) (2) (3) (4)
2.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值。
（1） (2)
3.下列关于函数的单调性的叙述，正确的是（ ）。
A.在上单调递增，在上单调递减
B.在上单调递增，在上单调递减
C.在及上单调递增，在上单调递减
D.在上单调递增，在及上单调递减
小结：
作业：

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