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3.2.1单调性与最大（小）值（第2课时）
【学习目标】
1.掌握处理函数单调性问题的基本方法.
2.能根据单调性解简单的抽象不等式.
【教材知识梳理】
处理函数单调性的常用方法：
1.定义法
① ，，若，则函数在区间上单调递增.
② ，，若，则函数在区间上单调递减.
2.图象法
若图象在区间上图象是上升的函数在区间上单调递增.
若图象在区间上图象是下降的函数在区间上单调递减.
3.利用小结论
①若、在区间上都单调递增，则在区间上_______.简记为：增函数+增函数=增函数 类似的也有，减函数+减函数=减函数
②若在区间上具有单调性，则与在区间上的单调性______.
③若在区间上具有单调性，且，则与的单调性_______.
4.复合函数的单调性法则：在复合函数中，若内层函数在区间上单调，当时，，且外层函数在区间上也单调，则复合函数在区间一定是单调函数，其规律是“同增同减复合增，增减相异复合减”，简称为同增异减法则.
二．抽象不等式的解法
1.已知函数在R上单调递增，若，则可转化为___________.
2.已知函数在R上单调递减，若，则可转化为___________.
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）若函数f(x)在R上单调递减，则f(0)>f(1)．(　　)
（2）若函数在R上是单调递增，且，则. (　 　)
（3）若函数f(x)在R上单调递增，则函数在R上单调递减. （ ）
（4）若函数f(x)在R上单调递增，在R上单调递减，则在R上一定不单调. （ ）
【答案】
一．3.①单调递增 ②相反 ③相反 二.1. 2.
概念辨析： (1) √ (2)√ (3)× (4) ×
【教材拓展延伸】
例1．（1）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，解得的定义域为
在上递增，在上递减，函数在上为增函数
函数的单调增区间为，故选：D.
（2）已知，设函数，研究的单调性.
【答案】在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
例2.（1）设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则(　 　)
A．f(a)>f(2a)　　B．f(a2)（2）已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与的大小．
【答案】（1）D (2)≥f(a2－a＋1)．
解析：（1）选项D中，∵a2＋1>a，f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(a2＋1)（2）∵a2－a＋1＝＋≥，∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，∴≥f(a2－a＋1)．
归纳：利用函数的单调性比较函数值大小
利用函数的单调性可以将比较两个函数值的大小转化为比较两个自变量的大小．要注意两个自变量应在同一个单调区间上.
例3.（1）已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，则实数a的取值范围是 .
（2）已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围．
【答案】（1）a<－ （2）＜m≤2.
解析：（1）因为f(x)在定义域R上单调递减，所以当x1＜x2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，则x1＜x2. 由题意3a－7>11＋8a，解得a<－.
（2）因为f(x)在区间[－2,2]上单调递减，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总
有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.
因为f(1－m)＞f(m)，所以解得＜m≤2.
归纳：利用函数的单调性解抽象不等式
对于x1例4．设是定义在上的函数，对任意的，恒有，且当时，．
(1)求；(2)证明：时，恒有；(3)求证：在上是减函数．
【答案】（1）由题意在中，
∴ 解得：或
当时，令，则恒成立，故舍去，∴
（2）由题意及（1）得在中，
令，若，则
即，而当时，，矛盾，
∴ ∴
∴时，恒有
（3）由题意及（1）（2）得在中，
当时， 设任意的且
∵ ∴ 即
∴ ∴在上是减函数.
【课外作业】
基础过关
1．已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得函数在上是增函数，
所以.故选：D.
2．函数 的单调递增区间是（　　　）
A． B．[1，） C．[2，） D．[4，）
【答案】C
【详解】令，解得或，即函数的定义域为，
又函数表示开口向上，对称轴方程为的抛物线，
且在上单调递增，又因为函数在上单调递增，
所以函数的单调增区间是.故选：C.
3.设函数在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)
A．在R上为减函数 B．在R上为增函数
C．在R上为增函数 D．在R上为减函数
【答案】D
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，若，则，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若，则，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若，则，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数在R上为增函数，
则对于任意的，，设，必有，
对于，则有，
则在R上为减函数，D正确；
故选：D．
4．设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（ ）
①若单调递增，单调递增，则单调递增；
②若单调递增，单调递减，则单调递增；
③若单调递减，单调递增，则单调递减；
④若单调递减，单调递减，则单调递减.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【详解】对于①，令，均为增函数，而为减函数，①错误；
对于②，设，则，，∴，∴，故单调递增，②正确；
对于③，设，则，，
∴，∴，故单调递减，③正确.
对于④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误.
故选：C
5．已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（ ）单调递增.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数在定义域，
所以函数的定义域为.
令，所以为增函数，为减函数，又在为增函数，
所以函数在区间.
故选：D.
6．（多选）下列函数中满足在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，反比例函数在上单调递增，错误；
对于B，由于为减函数，在上单调递减，，正确；
对于C，另，则，在为增函数，在为减函数，复合函数同增异减，所以在上单调递减，正确；
对于D，，所以在上单调递增，错误.
故选：BC.
7．已知函数满足时恒有成立，求实数a的取值范围为___________．
【答案】
【详解】已知函数满足时恒有成立，
则函数在上上单调递减，所以，解得：.
故实数a的取值范围为：.故答案为：.
8.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)【答案】[1，)
【详解】由题意，得解得1≤x<，故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
9.讨论函数（）在(－2，＋∞)上的单调性．
【答案】f(x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵－20，又(x2＋2)(x1＋2)>0.
(1)若a<，则1－2a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．
(2)若a>，则1－2a<0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)综上，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数
能力提升
10．已知为区间上的减函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为，则，又为区间上的减函数，故，故A正确；
因为与0的大小关系不定，无法比较与的大小，故B错；
因为＝2＋＞0，所以＋1＞a，又f(x)为(－∞,＋∞)上的减函数，所以，故C正确；
因为，，又f(x)为(－∞,＋∞)上的减函数，所以，故D正确．
故选：ACD.
11．（多选）已知函数的定义域为，对任意的，都有，，则下列结论中正确的有（ ）
A．为增函数 B．为增函数
C．的解集为 D．的解集为
【答案】ABD
【详解】对于A，对任意的，则，都有，即，
可知为增函数，故A正确；
对于B，对任意的，都有，即
令，可知为增函数，故B正确；
对于C，，则等价于，又为增函数，
所以，解得，所以的解集为，故C错误；
对于D，等价于，即又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故D正确；
故选：ABD.
12．（多选）若函数为上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】CD
【详解】因为为上的单调函数，且满足对任意，都有，
所以，则，且，故，解得或，
当时，，则；
当时，，则；
综上：的值可能为或.
故选：CD.
13．已知函数是定义在上的减函数，且对一切都成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【详解】由于是定义在上的减函数，且对一切都成立；
即不等式在恒成立，
当时，不等式在不恒成立，不满足题意；
当时，若要使不等式在恒成立，
则需满足，解得.
综上可知，实数的取值范围是. 故答案为：.
14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】令，则，则，对称轴为，则函数的单调递减区间为，因为为减函数，且在上单调递增，所以，则解得.所以实数的范围为.
15．已知函数
(1)若，求的定义域.
(2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）由题意，，，故函数的定义域为.
（2）当时，在是减函数，在是增函数.
在上是减函数，且
当时，在是增函数，在是增函数.
函数在是增函数.
在是减函数，，恒成立.
时，在是减函数.
综上，在时，在上是减函数.
16．已知定义域为，对任意都有，当时，，．
(1)试判断在上的单调性，并证明；(2)解不等式：．
【答案】（1）在R上单调递增，证明如下，
令，，，且，则，
因为，所以，，即，，
所以在R上单调递增.
（2）
，
因为在R上单调递增，所以，即，解得或，
所以不等式的解集为.3.2.1单调性与最大（小）值（第2课时）
【学习目标】
1.掌握处理函数单调性问题的基本方法.
2.能根据单调性解简单的抽象不等式.
【教材知识梳理】
处理函数单调性的常用方法：
1.定义法
① ，，若，则函数在区间上单调递增.
② ，，若，则函数在区间上单调递减.
2.图象法
若图象在区间上图象是上升的函数在区间上单调递增.
若图象在区间上图象是下降的函数在区间上单调递减.
3.利用小结论
①若、在区间上都单调递增，则在区间上_______.简记为：增函数+增函数=增函数 类似的也有，减函数+减函数=减函数
②若在区间上具有单调性，则与在区间上的单调性______.
③若在区间上具有单调性，且，则与的单调性_______.
4.复合函数的单调性法则：在复合函数中，若内层函数在区间上单调，当时，，且外层函数在区间上也单调，则复合函数在区间一定是单调函数，其规律是“同增同减复合增，增减相异复合减”，简称为同增异减法则.
二．抽象不等式的解法
1.已知函数在R上单调递增，若，则可转化为___________.
2.已知函数在R上单调递减，若，则可转化为___________.
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）若函数f(x)在R上单调递减，则f(0)>f(1)．(　　)
（2）若函数在R上是单调递增，且，则. (　 　)
（3）若函数f(x)在R上单调递增，则函数在R上单调递减. （ ）
（4）若函数f(x)在R上单调递增，在R上单调递减，则在R上一定不单调. （ ）
【教材拓展延伸】
例1．（1）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知，设函数，研究的单调性.
例2.（1）设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则(　 　)
A．f(a)>f(2a)　　B．f(a2)（2）已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减的，试比较f(a2－a＋1)与的大小．
例3.（1）已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，则实数a的取值范围是 .
（2）已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围．
例4．设是定义在上的函数，对任意的，恒有，且当时，．
(1)求；(2)证明：时，恒有；(3)求证：在上是减函数．
【课外作业】
基础过关
1．已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的单调递增区间是（　　　）
A． B．[1，） C．[2，） D．[4，）
3.设函数在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)
A．在R上为减函数 B．在R上为增函数
C．在R上为增函数 D．在R上为减函数
4．设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（ ）
①若单调递增，单调递增，则单调递增；
②若单调递增，单调递减，则单调递增；
③若单调递减，单调递增，则单调递减；
④若单调递减，单调递减，则单调递减.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（ ）单调递增.
A． B． C． D．
6．（多选）下列函数中满足在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数满足时恒有成立，求实数a的取值范围为___________．
8.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)9.讨论函数（）在(－2，＋∞)上的单调性．
能力提升
10．已知为区间上的减函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选）已知函数的定义域为，对任意的，都有，，则下列结论中正确的有（ ）
A．为增函数 B．为增函数
C．的解集为 D．的解集为
12．（多选）若函数为上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
13．已知函数是定义在上的减函数，且对一切都成立，则实数的取值范围是_____________.
14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为___________.
15．已知函数
(1)若，求的定义域.
(2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围.
16．已知定义域为，对任意都有，当时，，．
(1)试判断在上的单调性，并证明；(2)解不等式：．

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