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3.2.1单调性与最大（小）值（第3课时）
【学习目标】
1.理解函数的最大(小)值的概念；
2.会求一些简单函数的最大（小）值．
【教材知识梳理】
函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
x∈I，都有f(x) M x∈I，都有f(x) M
x0∈I，使得
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.( )
（2）一个连续函数在一个闭区间上必有最大值和最小值.( )
（3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( )
（4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．( )
【答案】≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标
概念辨析：（1）× （2）√ （3）√ （4）×
【教材例题变式】
（源于P80例4）例1.（1）用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为____________m.
（2）某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为____________万元．
【答案】（1）3 （2）34
【解析】（1）设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，
则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18. 所以当x＝3时，S有最大值18 m2.
（2）设在甲地销售农产品x吨，则在乙地销售农产品10－x吨，
由题意可得利润y＝5x－x2＋3(10－x)＝－x2＋2x＋30＝－(x－4)2＋34，
所以当x＝4时，获得最大利润y＝34万元．
归纳：关于实际问题的最值问题
(1)实际问题中的最值问题往往与一元二次函数的最值相关，用配方法或公式求最值；
(2)要注意实际问题中变量的实际意义，如本例中的自变量x为正实数．
归纳：图象法求最值的一般步骤
①画出函数图象； ②观察图象，找出图象的最高点和最低点；
③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
（源于P81例5）例2.已知函数．
(1)用定义证明在区间上是增函数； (2)求该函数在区间上的最大值．
【答案】（1）证明：任取，,，且，
所以
，，所以，，即，
所以函数在,上是增函数；
（2）由（1）知，在上是增函数．所以最大值为.
【教材拓展延伸】
例3．函数 ，.
(1)画出函数的图象；(2)根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值．
【答案】（1）由题意函数，作出其图象如图：
（2）由图象可知函数的单调减区间为，单调增区间为.
函数最大值为4，最小值为.
例4．已知函数f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1，3] (a，b∈R).
(1)若a＝1，求f(x)的最大值；
(2)若a＞0，b＝－1，且f(x)的最小值为－4，求a的值．
【答案】(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋2bx＋1，x∈[1，3]，函数的对称轴为：x＝－b，
当－b＞2即b＜－2时，f(x)max＝f(1)＝2b＋2，当－b≤2即b≥－2时，f(x)max＝f(3)＝6b＋10，
综上，f(x)max＝；
(2)当a＞0，b＝－1时，f(x)＝ax2－2x＋1，x∈[1，3]，
函数的对称轴为x＝＞0，当≤1，即a≥1时，f(x)min＝f(1)＝a－1＝－4，
解得a＝－3，不合题意舍去，
当≥3，即0＜a≤时，f(x)min＝f(3)＝9a－5＝－4，解得a＝成立，
当1＜＜3，即＜a＜1时，f(x)min＝f()＝1－＝－4，解得a＝，不合题意舍去，
故a的值为.
例5.已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数． (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
【答案】(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x10，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)(2)由(1)知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.所以f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
归纳： 求函数的最值，常用的方法有
(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
(3)对于二次函数在某区间上的最值问题，关键是要抓住对称轴与区间的相对位置关系，常利用数形结合思想和分类讨论思想解题．
【课外作业】
基础过关
1.函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　 　)
A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20,5] D．[4,5]
【答案】C
【详解】∵f(x)＝－(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，函数有最大值5；当x＝3时，函数有最小值－20，故选C.
2.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如右图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　)
A.f(2)，f(－2) B．f，f(－1)
C．f，f D．f，f(0)
【答案】 C
【详解】根据函数最值定义，结合函数图象可知，
当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f. 故选C.
3.设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)(　　)
A．只有最大值 B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
【答案】D
【详解】f(x)＝画出图象可知，既无最大值又无最小值．故选D.
4.函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
【答案】A
【详解】∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8.
又x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
5．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，函数的值域是，满足条件，
当时，，解得：，当，不满足条件，
综上可知，. 故选：A.
6．（多选）已知函数的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A．[] B．[ ] C． D．[]
【答案】ABC
【详解】因为函数的值域是[1，2]，由可得或，由可得
所以其定义域可以为A、B、C中的集合，故选：ABC.
7．已知函数，若在上的值域为，则________.
【答案】.
【详解】由题意知函数在上单调递增，
∴，即，解得.故答案为：.
8．函数在区间上的最小值为__________．
【答案】
【详解】∵函数∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最小值，为. 故答案为：.
9．已知函数.
(1)求函数的单调区间；(2)求函数的值域.
【答案】（1），
由一次函数的单调性可知，的单调递增区间为，单调减区间为
（2）当时，，当时，，
当时，，
故函数的值域为.
能力提升
10.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
【答案】C
解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
11．（多选）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】BCD
【详解】图象的对称轴方程为，
①当，时，有最大值，又，所以，所以此时有最大值1；
②当，时，有最大值，
当时，在单调递减，所以，
所以要有最大值，得，解得，与矛盾，舍去，
综上，当时，有最大值，故选：BCD．
12．（多选）已知函数，若，记，则（ ）
A．没有最小值 B．的最大值为 C．没有最大值 D．的最小值为3
【答案】BCD
【详解】由题意函数作出其图象如图：
当时，或，
若，则 ，且，则，
故，该函数图象对称轴为，
故有最大值为，
当时，，当时，，即最小值为2，
故A错误，B正确；
，该函数图象对称轴为，
故在时单调递增，无最大值，最小值为，
故C,D正确；
故选：BCD.
13．已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
【答案】36
【详解】f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，
在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，
由题意知＝3，∴a＝36.故答案为：
14．设，.若对于任意，总存在，使得成立，则a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】，当时，，当时，，
由，可得，则，则．
故的值域为，在上的值域.由条件，只须，∴.故答案为：.
15．设函数．
（1）若对任意的上恒成立，求的取值范围；
（2）若在区间上单调递增，且函数在区间上的值域为，求的取值范围．
【答案】（1）由题意在上恒成立,可得
在上恒成立, 令,易得函数在递减,
可得,即即得.
（2）因为在上递增且值域为,
则满足,则可得方程在上有两个不相等的实数根,设,则联立解得:．
16．已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值： (2)证明在R上为增函数；
(3)设函数，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，
证明：．
【答案】（1）令，则，所以；
（2）令，，且，则，所以，
故，所以在R上是增函数；
（3）因为在上为增函数，所以在上为增函数，
故，，所以，
因为，，所以，
又因为，所以上述等号不成立，故．3.2.1单调性与最大（小）值（第3课时）
【学习目标】
1.理解函数的最大(小)值的概念；
2.会求一些简单函数的最大（小）值．
【教材知识梳理】
函数最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
x∈I，都有f(x) M x∈I，都有f(x) M
x0∈I，使得
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.( )
（2）一个连续函数在一个闭区间上必有最大值和最小值.( )
（3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( )
（4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．( )
【教材例题变式】
（源于P80例4）例1.（1）用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为____________m.
（2）某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为____________万元．
（源于P81例5）例2.已知函数．
(1)用定义证明在区间上是增函数； (2)求该函数在区间上的最大值．
【教材拓展延伸】
例3．函数 ，.
(1)画出函数的图象；(2)根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值．
例4．已知函数f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1，3] (a，b∈R).
(1)若a＝1，求f(x)的最大值；(2)若a＞0，b＝－1，且f(x)的最小值为－4，求a的值．
例5.已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数． (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
【课外作业】
基础过关
1.函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　 　)
A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20,5] D．[4,5]
2.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如右图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　)
A.f(2)，f(－2) B．f，f(－1)
C．f，f D．f，f(0)
3.设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)(　　)
A．只有最大值 B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
4.函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为(　　)
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
5．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知函数的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A．[] B．[ ] C． D．[]
7．已知函数，若在上的值域为，则________.
8．函数在区间上的最小值为__________．
9．已知函数.
(1)求函数的单调区间；(2)求函数的值域.
能力提升
10.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
11．（多选）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
12．（多选）已知函数，若，记，则（ ）
A．没有最小值 B．的最大值为 C．没有最大值 D．的最小值为3
13．已知函数f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
14．设，.若对于任意，总存在，使得成立，则a的取值范围是___________.
15．设函数．
（1）若对任意的上恒成立，求的取值范围；
（2）若在区间上单调递增，且函数在区间上的值域为，求的取值范围．
16．已知函数对任意的m，都有，且时，．
(1)求的值： (2)证明在R上为增函数；
(3)设函数，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，
证明：．

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