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3.2.2奇偶性（第2课时）
【学习目标】
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；
2.会用函数的单调性和奇偶性解决比较大小问题；
3.会运用函数的单调性和奇偶性解一些简单的抽象不等式.
【教材知识梳理】
奇函数、偶函数的性质
1.若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝ _．
2.若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 ．
3.若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 ．
概念辨析：
1.若函数是奇函数，则一定有. （ ）
1.若函数是奇函数，且在区间上递增，则在区间上也递增.（ ）
2.若函数是偶函数，且的解的个数一定是偶数个。（ ）
3.若函数是偶函数，且当时，，则可求出在上的解析式.（ ）
【教材例题变式】
例1（1）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，求当x<0时，f(x)的解析式．
（2） 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)在R上的解析式．
【教材拓展延伸】
例2 （1）设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是 ．
（2）若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f 的大小关系是(　　)
A．f > f B．f < f
C．f ≥ f D．f ≤ f
例3．（1）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则使的的取值范围是_________.
（2）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是__________.
例4. （1）已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围。
（2）定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)【课外作业】
基础过关
1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．若函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．如果奇函数在上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ）
A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为
C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为
5．设是R上的偶函数，且在是增函数，若，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．则下列函数中能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B． C． D．
已知函数是定义在上的奇函数，当时，,
则________.
8．已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值； (2)求函数的解析式；
(3)把函数图象补充完整，并写出函数的单调区间.
能力进阶
10．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在上是严格增函数，若满足，则的值（ ）
A．一定大于0 B．一定小于0 C．等于0 D．正负都有可能
11．（多选）对于函数，下列判断正确的是（ ）
A． B．当时，方程总有实数解
C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为
12．（多选）函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数
B．函数的图像的对称中心为
C．函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数
D．函数的图像关于直线对称
13.已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
14．已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则________.
15．已知函数.
（1）判断的奇偶性； （2）若在是增函数，求实数的取值范围.
16．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)求使成立的实数的取值范围.3.2.2奇偶性（第2课时）
【学习目标】
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；
2.会用函数的单调性和奇偶性解决比较大小问题；
3.会运用函数的单调性和奇偶性解一些简单的抽象不等式.
【教材知识梳理】
奇函数、偶函数的性质
1.若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝ _．
2.若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 ．
3.若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性 ．
概念辨析：
1.若函数是奇函数，则一定有. （ ）
1.若函数是奇函数，且在区间上递增，则在区间上也递增.（ ）
2.若函数是偶函数，且的解的个数一定是偶数个。（ ）
3.若函数是偶函数，且当时，，则可求出在上的解析式.（ ）
【答案】0 相同 相反
概念辨析：（1）× （2）√ （3）× （4）×
【教材例题变式】
例1（1）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，求当x<0时，f(x)的解析式．
（2） 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)在R上的解析式．
【答案]（1） 设x<0，则－x>0.∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，
∴当x<0时，f(x)＝x2－x.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
故函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝
归纳：已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
【教材拓展延伸】
例2 （1）设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是 ．
（2）若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f 的大小关系是(　　)
A．f > f B．f < f
C．f ≥ f D．f ≤ f
【答案】（1）f(－π)>f(3)>f(－2) （2）C
【详解】（1）∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
（2）因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f＝f ≥ f.
归纳：利用奇偶性和单调性比较大小
1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
例3．（1）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则使的的取值范围是_________.
（2）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是__________.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意，当时，，则；又因为函数是偶函数，图像关于轴对称，所以当时，，则，所以的解集为.
（2）因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：或或
解得或，所以满足的的取值范围是.
例4. （1）已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围。
【答案】(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得∴0≤a<1.
∴a的取值范围是[0,1)．
（2）定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)【答案】 ∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
归纳： 解有关奇函数fx的不等式fa＋fb<0，先将fa＋fb<0变形为fa<－fb＝f－b，再利用fx的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式.另外，要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质fx＝f|x|＝f－|x|将fgx中的gx全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解.
【课外作业】
基础过关
1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选：D.
2．若函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为函数是偶函数，所以，因为函数在上是增函数，
所以有，即，故选：D.
3．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由f(x)为奇函数可知，＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以04．如果奇函数在上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ）
A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为
C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为
【答案】C
【详解】因为奇函数在上是增函数且最小值为5，而奇函数的图像关于原点对称，
所以在区间上增函数且最大值为，故选：C.
5．设是R上的偶函数，且在是增函数，若，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由，得，
在是增函数，，
又是R上的偶函数，，，，
故选：A．
6．（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．则下列函数中能被称为“理想函数”的有（ ）
A． B．；
C． D．
【答案】CD
【详解】已知性质1说明函数是奇函数，性质2说明函数在定义域内是减函数，
选项A，函数在及是减函数，但在定义域内不是减函数，选项B，在上是增函数，均不合题意，
选项C，，时，，时，，因此在定义域内，函数为在奇函数，
上是减函数且，在上也是减函数且，因此函数在定义域内是减函数，满足题意，选项D，易知其满足题意．故选：CD．
已知函数是定义在上的奇函数，当时，,
则________.
【答案】12
【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，
.
8．已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的值； (2)求函数的解析式；
(3)把函数图象补充完整，并写出函数的单调区间.
【答案】（1）当时，，，，
∵函数是定义在R上的奇函数，∴.
（2）当时，，，
∵函数是定义在R上的奇函数，∴，，
则.
（3）由（2）可得，的图像，如图所示：
由图象可知，的单调递增区间为，.
能力进阶
10．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在上是严格增函数，若满足，则的值（ ）
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
【答案】A
【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，
由函数在上是严格增函数，则，，，，
当时，不等式恒成立，则，即；
由不等式恒成立，则中仅可有一个小于零，不妨设，即
由，则，
由函数在上是严格增函数，则，
由函数是定义在上的奇函数，则，即，故，故选：A.
11．（多选）对于函数，下列判断正确的是（ ）
A． B．当时，方程总有实数解
C．函数的值域为 D．函数的单调递增区间为
【答案】AC
【详解】对于，因为，故
所以，所以A正确；
对于B，当时，，，，无解，所以B错误；
当时，，其中由基本不等式得，当且仅当，时，等号成立，所以，
又由A选项可知为奇函数，
故当时，，所以函数的值域为，C正确；
∵，
在上不可能单调递增，所以D错误.
故选：AC．
12．（多选）函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称的充要条件是为奇函数
B．函数的图像的对称中心为
C．函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数
D．函数的图像关于直线对称
【答案】ABD
【详解】对于A，函数的图像关于点成中心对称的图形，
则有
函数为奇函数，则有，
即有
所以函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是
为为奇函数，A正确；
对于B,，则
因为为奇函数，结合A选项可知函数关于点对称，B正确；
对于C，函数的图像关于成轴对称的充要条件是，
即函数是偶函数，因此C不正确；
对于D，，则，
则，所以关于对称，D正确
故选:ABD.
13.已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
【答案】3
【详解】因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.
14．已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则________.
【答案】2
【详解】，则，
令，定义域为，
则，故为奇函数，所以，
即，故.
15．已知函数.
（1）判断的奇偶性； （2）若在是增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）.
【详解】（1）当时，，
对任意，，为偶函数．
当时，，
取，得，
，函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）设，，
要使函数在上为增函数，必须恒成立．
，即恒成立．
又，．的取值范围是．
16．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)求使成立的实数的取值范围.
【答案】（1）由题意，在中，函数是奇函数，且，
可得即；又，则，∴，；经验证满足题意.
（2）由题意及（1）得， 在上为增函数.证明如下：
设，则，
∵，∴，，∴，即，
∴在上为增函数；
由题意，，
∴，即，
∴， 解得， ∴的取值范围是.

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