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3.3幂函数
【学习目标】
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质.
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
【教材知识梳理】
一．幂函数的概念
1.一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数解析式的结构特征
①指数为常数；②底数是自变量，自变量的系数为1；③幂xα的系数为1；④只有1项．
二．幂函数的图象
幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应
的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，
相应的指数由大变小.
三．五个重要的幂函数
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性 x∈[0，＋∞)， x∈(－∞，0]， x∈(0，＋∞)， x∈(－∞，0)，
公共点 都经过点
四．一般幂函数的性质：
（1）幂函数在第一象限内都有图象，且都过点（1，1）；
（2）若α＞0，则幂函数的图象过（0，0），（1，1），且在[0，＋∞)上递增.
①当时，图象在第一象限内下凸（递增速度越来越快）；
②当时，图象在第一象限内上凸（递增速度越来越慢）.
（3）若α＜0，则幂函数的图象过(1,1)，且在(0，＋∞)上递减，以x轴、y轴为渐近线.
概念辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．(　　)
(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．(　　)
(3)幂函数的图象都不过第四象限．(　　)
(4)当α>0时，y＝xα是增函数．(　　)
【教材例题变式】
例1 (1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝中，是幂函数的是(　　)
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
(2)函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
例2.（源于P91例题）证明：幂函数是增函数.
【教材拓展延伸】
例3.研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图象.
（1）； （2）； （3）； （4）．
例4 (1)函数y=的图象是(　　)
(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
例5比较下列各组数的大小.
，，1； (2) ，，； (3)31.4 51.5.
例6（1）已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)（2）若，则实数m的范围是______________.
【课外作业】
基础过关
1.下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
2．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（ ）
A． B． C． D．
3．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5.函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（ ）
A． B． C． D．
7．已知幂函数的图象过点，则________．
8.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为_________.
9．幂函数的图像经过点，点在幂函数的图像上.
(1)求的解析式；(2)当为何值时， 当x为何值时，
能力提升
设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是 (　　)
A．a11．（多选）已知幂函数的图像如图所示，则a值可能为（ ）
A． B． C． D．3
12．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
13．幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.
14．实数满足，则实数的取值集合为__________.
15．已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值．
16．已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.3.3幂函数
【学习目标】
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质.
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.
【教材知识梳理】
一．幂函数的概念
1.一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数解析式的结构特征
①指数为常数；②底数是自变量，自变量的系数为1；③幂xα的系数为1；④只有1项．
二．幂函数的图象
幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应
的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，
相应的指数由大变小.
三．五个重要的幂函数
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性 x∈[0，＋∞)， x∈(－∞，0]， x∈(0，＋∞)， x∈(－∞，0)，
公共点 都经过点
四．一般幂函数的性质：
（1）幂函数在第一象限内都有图象，且都过点（1，1）；
（2）若α＞0，则幂函数的图象过（0，0），（1，1），且在[0，＋∞)上递增.
①当时，图象在第一象限内下凸（递增速度越来越快）；
②当时，图象在第一象限内上凸（递增速度越来越慢）.
（3）若α＜0，则幂函数的图象过(1,1)，且在(0，＋∞)上递减，以x轴、y轴为渐近线.
概念辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．(　　)
(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．(　　)
(3)幂函数的图象都不过第四象限．(　　)
(4)当α>0时，y＝xα是增函数．(　　)
【答案】
一．1.y＝xα
三.
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)，增 x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减 x∈(－∞，0)，减
公共点 都经过点(1，1)
概念辨析：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
【教材例题变式】
例1 (1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝中，是幂函数的是(　　)
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
(2)函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
【答案】 (1) C 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C.
(2)由m2－m－1＝1得，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2＋m－3＝3，f(x)＝x3符合要求，
当m＝－1，m2＋m－3＝－3＜0，f(x)＝x－3在(0，＋∞)为减函数，不符合要求．
综上，f(x)＝x3.
归纳： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
例2.（源于P91例题）证明：幂函数是增函数.
【答案】函数的定义域为R，，且，有
又
即，故幂函数是增函数.
【教材拓展延伸】
例3.研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图象.
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1），设，的定义域为，
因为，所以值域为：显然，为偶函数，
在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减.
（2），设，定义域：，
由，所以值域：，由，所以奇函数，
在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减.
（3），设，所以定义域；R；值域：R；
由，所以奇函数，在中，，在上单调递增.
（4），设，由得定义域：值域：
因为定义域：，所以非奇非偶函数；
在中，，定义域为，所以在上单调递增；
例4 (1)函数y=的图象是(　　)
(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
【答案】 (1) B解析：直接由幂函数的图象特征判定.
(2)B解析：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
归纳：解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
①在x∈(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在x∈(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象的凹凸来判断.
例5比较下列各组数的大小.
(1) ，，1； (2) ，，； (3)31.4 51.5.
【答案】(1)因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且1.7＞1.5＞1，
所以＞＞1.
(2)因为0＜＜1, >1，＜0，所以＞＞.
(3)根据幂函数和指数函数的单调性，得31.4＜31.5＜51.5，所以31.4＜51.5.
归纳：比较幂值大小的方法
(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．
(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解．
(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
例6（1）已知幂函数f(x)＝，若f(a＋1)（2）若，则实数m的范围是______________.
【答案】（1） (3,5) （2）.
【详解】（1） ∵f(x)＝＝(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
又f(a＋1)因为在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以
解得－1≤m<，故实数m的取值范围为.
【课外作业】
基础过关
1.下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
【答案】C
【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.
2．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】时，函数定义域不是R,不合题意；时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意，故选A.
3．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
【答案】D
【详解】由图知，，，所以，，可以是，，3．故选：D.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b故选A.
5.函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为的定义域为，又，故为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；
当时，由幂函数的性质可知，在上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误；故选：A
6．（多选）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】时，的定义域是，不正确；
时，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
是，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；
时，函数的定义域是，不正确.
故选：BC.
7．已知幂函数的图象过点，则________．
【答案】
【详解】由题意，即，∴，
∴，∴. 故答案为：.
8.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为_________.
【答案】1
【详解】由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意.
9．幂函数的图像经过点，点在幂函数的图像上.
(1)求的解析式；(2)当为何值时， 当x为何值时，
【答案】（1）设，则，，，设，则，
即，.
（2）从图像可知，当或时，；
当或时，.
能力提升
设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是 (　　)
A．aC．b【答案】3 C∵0.6∈(0,1)，∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c>a>b，故选C.
11．（多选）已知幂函数的图像如图所示，则a值可能为（ ）
A． B．
C． D．3
【答案】AC
【详解】由图可知，定义域为R，且为奇函数，故B错误；
可知在上凸递增，则，故D错误.故选：AC.
12．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【详解】设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，又，所以，D正确．故选：ACD.
13．幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.
【答案】1
【详解】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故
故答案为：
14．实数满足，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【详解】，其定义域为，且在定义域上单调递减，
因为，所以，解得，故答案为：
15．已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值．
【答案】（1）因为为幂函数，所以，解得或
因为为偶函数，所以，故的解析式；
（2）解：由（1）知，对称轴为，开口向上，
当即时，，即；
当即时，，即；
综上所述：或．
16．已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递增函数，所以，解得，
由，。又函数的图像关于轴对称，所以为偶数，
所以，所以.
（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，
所以不等式，等价于，解得或，
所以实数的取值范围是.

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