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3.4函数的应用（一）
【学习目标】
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能利用分段函数模型解决实际问题.
【教材知识梳理】
一.常见的函数模型
常 用 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(4)分段函数 y＝
二．解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.
概念辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　)
(2)对于自变量在不同范围内，对应关系不同的函数关系一般可以用分段函数表示.(　　)
(3)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　　)
(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　)
【答案】概念辨析：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
【教材例题变式】
（源于P93例1）例1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量．
【答案】
【详解】设此户居民本月用水量为，
当时，，解得，不满足题意；
当时，，解得，满足题意；
当时，，解得，不满足题意，
综上所述，此户居民本月用水量为.
（源于P94例2）例2.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)
（1）求函数的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
【答案】（1）由题知：当时，，
令，解得，因为，所以，.
当时，，，.
所以.
（2）当，且时，为增函数，所以元.
当，且时，，
当时，元.
综上所述，当每日自行车日租金定为元时，日净收入最多，为元.
【教材拓展延伸】
例3．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
【答案】（1）设下调后的电价为x元/kw·h，依题意知，用电量增至()kw·h，
电力部门的收益为：，
所以电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式是：.
（2）依题意，，化简整理得：，
解此不等式组得：，
所以当电价最低定为0.60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
例4．如图，有一块半径为R(单位：)的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.
（1）写出梯形的周长y（单位：）和腰长x（单位：）之间的函数关系式；
（2）求梯形周长的最大值.
【答案】（1）作于点，连接，因为是半圆的直径，所以，
易知，所以，所以，
又因为，，所以，
所以，
因为，，所以，所以.
（2）因为，，
所以时，有最大值，且最大值为，所以当时，梯形的周长最大，最大为.
【课后作业】
基础过关
1.国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km) 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 …
邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
【答案】C
【详解】由题意可知，当x＝1 200时，y＝7.00元．
2．某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（ ）
A．略有降低 B．略有提高 C．相等 D．无法确定
【答案】A
【详解】设现价为，原价为，则，故选：.
3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【答案】B
【详解】由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得，
所以，因为，所以当时，取最大值，
故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（ ）m．
A．400 B．12 C．20 D．30
【答案】C
【详解】设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，0<<40，
解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，
当x＝20时，Smax＝400．故选：C.
5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,
则当时,元,不符合题意;
当时,,令,解得,符合题意；
当时,,不符合题意.
综上所述: 此户居民本月用水量为15.故选：C.
6．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 minB．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【答案】BD
【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.故选：BD.
7．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________．
【答案】4050
【详解】设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益：
当时， 最大，最大值为，即当每车辆的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是，故答案为.
8．在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m )随时间t(h)变化的规律可表示为如图所示，则a=_____;实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m 时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入.
【答案】
【详解】由题知：当时，，即，解得.
所以.
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
令，解得，所以经过小时后方可进入房间.故答案为：；
9．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.
【答案】（1）横断面中的水面是下底为2m，上底为m，高为h m的等腰梯形，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以当水深为1.2m时，横断面水中的面积为3.84.
能力提升
10．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：
购票人数 1~50 51~100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
【答案】B
【详解】由题意，990不能被13整除，所以两个部门的人数之和为，
若，则，可得
由共需支付门票为1290元，可知
联立方程组，可得（舍去）；
若，则，可得
由共需支付门票为1290元，可知，可得
联立方程组可得，所以两个部门的人数之差为.故选：B.
11．（多选）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
【答案】CD
【详解】在中，出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，错误；在中，出租车行驶4km，乘客需付费元，错误；
在C中，乘出租车行驶5km，乘客需付费元，乘坐两次需付费26.6元，，C正确；
在D中，设出租车行驶时，付费元，由知，因此由，解得，故D正确．故选：CD．
12．（多选）(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.
则下列说法中，正确的有（ ）
A．图②的建议：提高成本，并提高票价B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变D．图③的建议：提高票价，并降低成本
【答案】BC
【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；
由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确.
故选：BC.
13．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．
【答案】7
【详解】设二次函数y=a(x-6)2+11，又过点(4，7)，所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.
解y≥0，得6-≤x≤6+，所以有营运利润的时间为2.
又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年.故答案为：7.
14.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为______元．
【答案】1120
【详解】由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，
y
∵y＝30＞25 ∴x＞1100 ∴0.1（x﹣1100）+25＝30解得，x＝1150，1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为1120元．
15.李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元.
方案二：不收管理费，每度0.58元.
（1）求方案一收费元与用电量（度）间的函数关系
（2）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
【答案】（1）当时，.
当时，.∴
（2）设按第二方案收费为元，则.
当时，由，得∴∴.
当时，由，得∴ ∴.
综上，.
故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25、50度）时，选择方案一比方案二更好.
16．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案】（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．
（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标 存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0 a≤6.
所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．3.4函数的应用（一）
【学习目标】
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能利用分段函数模型解决实际问题.
【教材知识梳理】
一.常见的函数模型
常 用 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(4)分段函数 y＝
二．解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.
概念辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　)
(2)对于自变量在不同范围内，对应关系不同的函数关系一般可以用分段函数表示.(　　)
(3)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　　)
(4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　)
【教材例题变式】
（源于P93例1）例1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量．
（源于P94例2）例2.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)
（1）求函数的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
【教材拓展延伸】
例3．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
例4．如图，有一块半径为R(单位：)的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.
（1）写出梯形的周长y（单位：）和腰长x（单位：）之间的函数关系式；
（2）求梯形周长的最大值.
【课后作业】
基础过关
1.国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
运送距离x(km) 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 …
邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　)
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
2．某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（ ）
A．略有降低 B．略有提高 C．相等 D．无法确定
3．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（ ）m．
A．400 B．12 C．20 D．30
5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 minB．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
7．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________．
8．在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m )随时间t(h)变化的规律可表示为如图所示，则a=_____;实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m 时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入.
9．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.
能力提升
10．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：
购票人数 1~50 51~100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
11．（多选）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
12．（多选）(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.
则下列说法中，正确的有（ ）
A．图②的建议：提高成本，并提高票价B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变D．图③的建议：提高票价，并降低成本
13．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，
每辆客车营运的利润与营运年数为二次函数关系（如图），
则客车有营运利润的时间不超过________年．
14.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为______元．
15.李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元.
方案二：不收管理费，每度0.58元.
（1）求方案一收费元与用电量（度）间的函数关系
（2）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
16．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

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