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3.1.1函数的概念（第2课时）
【学习目标】
1.理解同一函数的概念.
2.会根据对应关系求函数值.
3.会求简单函数的值域.
【教材知识梳理】
一．函数的三要素
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为： 、 和 ．
二．同一函数
值域是由 和 决定的，如果两个函数的定义域和 相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们 相同的函数．
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(2)对于函数f(x)，f(1)与f(2)必定不相等．(　　)
(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(　　)
(3)f(x)＝2x＋1与g(t)＝2t＋1是相同的函数．(　　)
(4)两个函数要相同，则其定义域必须相同．(　　)
【答案】
一．定义域 对应关系 值域
二．定义域 对应关系 对应关系 不是
概念辨析：1.(1)× 　(2)√ (3)√　(4)√
【教材例题变式】
（源于P65例2）例1.已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值.
【答案】(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝＝.
归纳：求函数值的方法
①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．
（源于P66例3）例2.下列各组式子是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝； (2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，u＝； (4)y＝，y＝x－3.
【答案】(1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．
(2)y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一函数．
(3)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，u＝的定义域为{v|－1≤v≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与u＝是同一函数．
(4)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一函数．
归纳：判断两个函数是否相同的方法
两个函数相同，一般要求它们的定义域、值域和对应关系都要相同，具体步骤为
注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
【教材拓展延伸】
例3.求下列函数的值域：
y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； （2）y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
（3）y＝； (4)y＝x＋.
【答案】（1）(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
（2）(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)．
（3）(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(换元法)设u＝，则x＝(u≥0)，∴y＝＋u＝(u≥0)
由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥.∴函数y＝x＋的值域为.
归纳：求函数值域常用的方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
【课外作业】
基础过关
1．已知，则（ ）
A．15 B．21 C．3 D．0
【答案】D
【详解】根据的解析式，有.故选：D.
2.下列函数与y＝|x|表示同一函数的是(　 　)
A．y＝()2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【详解】对于A，函数y＝()2的定义域为[0，＋∞)，与y＝|x|的定义域不同，不是同一函数；
对于B，函数y＝＝x，与y＝|x|的对应关系不同，不是同一函数；
对于C，函数y＝＝|x|的定义域为R，与y＝|x|的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，与y＝|x|的定义域不同，不是同一函数．故选：C.
3.已知函数f(x)＝x＋，则f(2)＋f(－2)的值是(　 　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】，故选：B.
4.函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　 　)
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
【答案】B
【详解】由于x∈R，所以x2＋1≥1，0<≤1，即05.下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为（ ）
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝ D．y＝|x|
【答案】A
【详解】对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．对于C选项，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|，故选：A.
6.(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　 　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1
【答案】BC
【详解】 y＝的值域为[0，＋∞)， y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．故选：BC.
7.设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
【答案】－1
【详解】由f(a)＝＝2，得a＝－1.
8．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是_________.
【答案】
【详解】二次函数对称轴为，，所以定义域包含，所以，又，结合二次函数对称性可知，所以的取值范围是.
9.求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝； (4)y＝x－.
【答案】(1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即值域为{3,5,7,9,11}．
(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，
当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.∴所以值域为[2,11)．
(3)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝－＝－5－，所以值域为{y|y≠－5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝，
则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝－，又t≥0，故y≥－，所以值域为{y|y≥－}.
能力提升
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
【答案】B
【详解】由得：；由得：
所求“孪生函数”的定义域分别为：，，，，，，，， 共有个“孪生函数” 故选.
11．（多选）已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为，，
当时，的值域为，由二次函数的性质可得值域不可能是，
当且满足时，的值域为，
无论取任何正实数，二次函数的最小值定小于，即值域不可能为，
故可得的值域可能为，，故选：AC.
12．（多选）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域中含有下列那些元素（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】BC
【详解】当时，当时，则.由，则，
此时 所以，则的值域为，故选：BC.
13.若函数y＝的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是_____________．
【答案】 [3，＋∞)
【详解】函数y＝的值域为[0，＋∞)，则函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则，解得a≥3. 所以a的取值范围是[3，＋∞)．
14．函数，，对，使成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由题当时，因为,故，
又则.
又对，使成立，所以的值域包含的值域，
所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为：.
15．已知函数.
（1）若，求 的值域；
（2）若，当时最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)由题意，则，此时，在上单调递增，值域为；
（2）因为，利用单调性和图象可知：①；
②无解；③符合题意；
所以实数的取值范围是.
16.已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f()，f(3)与f()的值．
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？并证明你的发现．
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
【解析】(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝，f()＝；f(3)＝，f()＝.
(2)由(1)中求得的结果，可猜测f(x)＋f()＝1.
证明如下：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f()＝1.所以f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，…，
f(2 020)＋f()＝1.又f(1)＝＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＋f()＋f()＋…＋f()＝＋1＋1＋…＋1＝.3.1.1函数的概念（第2课时）
【学习目标】
1.理解同一函数的概念.
2.会根据对应关系求函数值.
3.会求简单函数的值域.
【教材知识梳理】
一．函数的三要素
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为： 、 和 ．
二．同一函数
值域是由 和 决定的，如果两个函数的定义域和 相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们 相同的函数．
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(2)对于函数f(x)，f(1)与f(2)必定不相等．(　　)
(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(　　)
(3)f(x)＝2x＋1与g(t)＝2t＋1是相同的函数．(　　)
(4)两个函数要相同，则其定义域必须相同．(　　)
【教材例题变式】
（源于P65例2）例1.已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值.
（源于P66例3）例2.下列各组式子是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝； (2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，u＝； (4)y＝，y＝x－3.
【教材拓展延伸】
例3.求下列函数的值域：
y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； （2）y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
y＝； (4)y＝x＋.
【课外作业】
基础过关
1．已知，则（ ）
A．15 B．21 C．3 D．0
2.下列函数与y＝|x|表示同一函数的是(　 　)
A．y＝()2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
3.已知函数f(x)＝x＋，则f(2)＋f(－2)的值是(　 　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
4.函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　 　)
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
5.下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为（ ）
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝ D．y＝|x|
6.(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　 　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1
7.设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
8．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是_________.
9.求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝； (4)y＝x－.
能力提升
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
11．（多选）已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（ ）
A． B． C． D．
12．（多选）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域中含有下列那些元素（ ）
A． B．0 C．1 D．2
13.若函数y＝的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是_____________．
14．函数，，对，使成立，则实数的取值范围是___________.
15．已知函数.
（1）若，求 的值域；
（2）若，当时最小值为，求的取值范围.
16.已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f()，f(3)与f()的值．
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？并证明你的发现．
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＋f()＋f()＋…＋f()的值．

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