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3.1.1函数的概念（第1课时）
【学习目标】
1.理解函数的概念；
2.会求函数的定义域；
2.了解区间的概念，能用“区间”表示某些集合．
【教材知识梳理】
函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ___________________的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
解读：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f”表示对应关系，有三种常见的形式：①解析式；②图象；③表格．
二．区间及有关概念
1.一般区间的表示.
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a2.特殊区间的表示.
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.(　　)
(2)函数的定义域有可能是空集．(　　)
(3)数集{x|x≥1}可用区间表示为[1，＋∞]．(　　)
(4)区间表示数集，但不是所有数集都能用区间表示．( )
【答案】
一．实数集 任意一个数x 唯一确定 x
二．1. [a，b] (a，b) 2.(－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
概念辨析： (1)×　 (2)×　　(3)×　(4)√
【教材例题变式】
（源于P63例1）例1.构建一个问题情境，使其中变量关系能用解析式y＝5x2来描述，其中x＞0.
【答案】构建情境如下：长方形的长宽之比为5∶1，设宽为x，面积为y，那么y＝5x·x＝5x2.
其中x的取值范围是{x|x＞0}，y的取值范围是{y|y＞0}，对应关系f把每一个长方形的宽x，对应到唯一确定的面积5x2(答案不唯一).
【教材拓展延伸】
例2.下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是______．(填序号)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； ④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
【答案】④ 解析：①中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，②中同样是集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，对于③，集合A中负整数没有意义．
例3．下列各图中，不可能是函数图象的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】D选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象. 故选：D.
归纳：(1)判断对应关系是否为函数的2个条件
①A、B必须是非空数集．②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
(2)根据图形判断对应是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l. ②在定义域内平行移动直线l，若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
例4.把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－2}； (2){x|x<0}； (3){x|－1【答案】(1){x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞)；
(2){x|x<0}用区间表示为(－∞，0)；
(3){x|－1归纳：用区间表示数集时的注意点
(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．
例5.求下列函数的定义域．
(1)y＝2＋； (2)y＝； (3)y＝·； (4)y＝(x－1)0＋.
【答案】(1)要使函数y＝2＋有意义，则x－2≠0，即x≠2，故定义域为{x|x≠2}．
(2)要使函数有意义，则x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，故定义域为{x|x≥3或x≤－1}．
(3)要使函数有意义，则解得1≤x≤3，故定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，则解得x>－1，且x≠1，故定义域为{x|x>－1且x≠1}．
例6．已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】边长为，另一条边长为，得，所以，故选：D.
归纳：求具体函数的定义域，只需保证函数解析式有意义即可，常见的几种要求是
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(4)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义．
例7.(1) 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．
(2)函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]，求函数f(x)的定义域．
(3)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域.
【答案】(1)因为函数f(x)的定义域为[1,3]，即x∈[1,3]，函数f(2x＋1)中2x＋1的范围与函数f(x)中x的范围相同，所以2x＋1∈[1,3]，所以x∈[0,1]，即函数f(2x＋1)的定义域是[0,1]．
(2)因为x∈[1,3]，所以2x＋1∈[3,7]，即函数f(x)的定义域是[3,7]．
(3)因为x∈[－2，3]，所以2x－3∈[－7，3]，即函数y＝f(x)的定义域为[－7，3].
令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函数y＝f(x＋2)的定义域为[－9，1].
归纳：求抽象函数的定义域的关键需明确
①定义域是指单个的x的取值范围；②f的作用范围（即括号内式子的取值范围）相同.
具体题型有：
(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域.
(3)已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为h(x)的取值范围，再从h(x)的取值范围中解出x的取值范围，就是f(h(x))的定义域.
【课外作业】
基础过关
1．区间等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】区间表示由的实数组成的集合.故选：C.
2.函数的定义域为（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【详解】由函数解析式有意义可得且所以函数的定义域是且，
故选：A.
3．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④
【答案】A
【详解】函数的定义中满足“集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应”，结合定义容易判断①④为从A到B的函数. 故选:A.
4．下列图象中不能表示函数的图象的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】由函数的概念：一个自变量，不能对应两个函数值，
对于选项D，时，对于一个自变量有两个函数值与之对应，这与函数的概念矛盾，
故选：D.
5．已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知：，，
根据三角形三边关系得到，所以函数的定义域为.
故选：A.
6．（多选）已知集合，集合，则下列对应关系中，可看作是从到的函数关系的是（ ）
A．： B．：
C．： D．：
【答案】ABC
【详解】根据函数定义可得中的每一个元素在中找到唯一与之对应的元素，
若，则，故A正确，若，则，故B正确，
若，则，故C正确，若，则不是集合B的子集，
故D错误，故选：ABC.
7．用区间表示下列集合.
（1）___________；（2）___________.
【答案】
【详解】由区间的概念及表示可得：（1）；（2）.
8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
【答案】
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，有，即，解得或.
因此，函数的定义域为.故答案为：.
9.（1）求函数的定义域．
（2）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm. 求函数的定义域.
【答案】（1）要使函数有意义，须满足，解得且，
故函数的定义域为．
（2）由题知：，，
根据三角形三边关系得到，故函数的定义域为.
能力提升
10.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有(　　)
A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个 D．可能两个以上
【答案】 C
【详解】当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．故选C.
11. (多选)下列的选项中正确的是(　　)
A.函数就是定义域到值域的对应关系
B.若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素
C.因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)＝5也成立
D.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了
【答案】BCD
【详解】由函数的概念可知，A不正确，其余三个选项都正确．故选BCD.
12．（多选）下列对应法则满足函数定义的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】对A：令，则或，
∴对于自变量对应两个函数值、，A错误；
对B：令，则，，
∴对于自变量对应唯一的函数值，B正确；
对C：令，则或，∴对于自变量对应两个函数值、，C错误；
对D：令，即，则，即，
∴对于自变量对应唯一的函数值，D正确； 故选：BD.
13.已知全集U＝R，A＝{x|1【答案】(－∞，1]∪(3，＋∞)
【详解】 UA＝{x|x≤1或x>3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞).
14.若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋的定义域为________．
【答案】
【详解】由得0≤x≤，所以函数f(2x)＋的定义域为.
15．已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围．
【答案】
【详解】由题设可得在R上恒成立，
故或，故，故答案为：.
16．设函数的定义域为．
(1)求函数的定义域；
(2)设，求函数的定义域．
【答案】(1)因为函数的定义域为，所以，解得，
所以函数的定义域为；
(2)因为函数的定义域为，所以，即，
当或，即时，不等式组无解，即函数的定义域为空集，
当时，定义域是，当，定义域是．3.1.1函数的概念（第1课时）
【学习目标】
1.理解函数的概念；
2.会求函数的定义域；
2.了解区间的概念，能用“区间”表示某些集合．
【教材知识梳理】
函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 ___________________的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
解读：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f”表示对应关系，有三种常见的形式：①解析式；②图象；③表格．
二．区间及有关概念
1.一般区间的表示.
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a2.特殊区间的表示.
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.(　　)
(2)函数的定义域有可能是空集．(　　)
(3)数集{x|x≥1}可用区间表示为[1，＋∞]．(　　)
(4)区间表示数集，但不是所有数集都能用区间表示．( )
【教材例题变式】
（源于P63例1）例1.构建一个问题情境，使其中变量关系能用解析式y＝5x2来描述，其中x＞0.
【教材拓展延伸】
例2.下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是______．(填序号)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； ④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
例3．下列各图中，不可能是函数图象的是（ ）
A．B．C． D．
例4.把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－2}； (2){x|x<0}； (3){x|－1例5.求下列函数的定义域．
(1)y＝2＋； (2)y＝； (3)y＝·； (4)y＝(x－1)0＋.
例6．已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例7.(1) 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．
(2)函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]，求函数f(x)的定义域．
(3)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域.
【课外作业】
基础过关
1．区间等于（ ）
A． B． C． D．
2.函数的定义域为（ ）
A．且 B．
C．且 D．
3．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④
4．下列图象中不能表示函数的图象的是（ ）
A． B．C． D．
5．已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知集合，集合，则下列对应关系中，可看作是从到的函数关系的是（ ）
A．： B．：
C．： D．：
7．用区间表示下列集合.
（1）___________；（2）___________.
8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
9.（1）求函数的定义域．
（2）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm. 求函数的定义域.
能力提升
10.函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有(　　)
A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个 D．可能两个以上
11. (多选)下列的选项中正确的是(　　)
A.函数就是定义域到值域的对应关系
B.若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素
C.因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)＝5也成立
D.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了
12．（多选）下列对应法则满足函数定义的有（ ）
A． B． C． D．
13.已知全集U＝R，A＝{x|114.若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋的定义域为________．
15．已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围．
16．设函数的定义域为．
(1)求函数的定义域；
(2)设，求函数的定义域．

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