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3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时）
【学习目标】
1.理解单调递增、增函数、单调递减、减函数的定义．
2.掌握定义法证明函数单调性的步骤．
3.掌握已学的基本初等函数的单调区间.
【教材知识梳理】
一．单调递增与增函数、单调递减与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有 都有
结论 那么就称函数f(x)在区间D上______ 特别地，当函数f(x)在其定义域上单调递增时，就称它是_________. 那么就称函数f(x)在区间D上是______特别地，当函数f(x)在其定义域上单调递减时，就称它是_________.
图示
解读：1.在单调性的定义中，特别注意条件中x1，x2的任意性.
2.单调性刻画了区间D上任意两个自变量大小与函数值大小之间的联系.
3.设x1，x2∈D，则函数f(x)在区间D上单调递增与下列条件都等价（递减类似）.
①对任意x1②对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；
③对任意x1、x2都有 >0.
二．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________.
解读：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间必定是定义域的子区间，单调性是函数的一个局部性质．
三．基本初等函数的单调区间：
函数 条件 单调递增区间 单调递减区间
正比例函数(y＝kx，k≠0)与 一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无
k＜0 无 R
反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 无 ____________
k＜0 ___________ 无
二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－]
a＜0 (－∞，－] [－，＋∞)
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）因为f(－1)（2）一个函数可以有无数多个单调区间.（ ）
（3）一次函数y＝kx＋b在定义域R上具有单调性.（ ）
（4）函数y＝在定义域上是减函数.（ ）
（5）任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c，都有单调增区间和单调减区间.（ ）
【教材例题变式】
（源于P78例1）例1．已知函数，其中，试讨论的单调性.
（源于P78例2）例2．已知函数，其中.
（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论.
（源于P78例3）例3.已知函数，用定义法证明：函数是区间上的减函数．
【教材拓展延伸】
例4.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上的单调性．
(1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(4)y＝|x2－2x－3|．
例5.函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．
(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
例6.（1）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围____________.
（2）已知函数f(x)＝若函数f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是____________．
【课外作业】
基础过关
1．若函数，在其定义域上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个函数在是增函数的为（　　）
A． B．
C． D．
3．函数在是增函数，若，则有 （ ）
A． B．
C． D．
4．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（ ）
A．一定是增函数 B．没有单调性
C．不可能是减函数 D．存在减区间
5．已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)0
7．若函数的单调递增区间是，则=________.
8．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是____________.
9．已知函数．试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.
能力提升
10．已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
12．（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
13．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
14．函数的单调递增区间是__________.
15.试根据单调性定义，讨论函数，在区间上的单调性.
16．已知函数．
(1)当，用单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)若在上的单调递增，求实数m的取值范围．3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时）
【学习目标】
1.理解单调递增、增函数、单调递减、减函数的定义．
2.掌握定义法证明函数单调性的步骤．
3.掌握已学的基本初等函数的单调区间.
【教材知识梳理】
一．单调递增与增函数、单调递减与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有 都有
结论 那么就称函数f(x)在区间D上______ 特别地，当函数f(x)在其定义域上单调递增时，就称它是_________. 那么就称函数f(x)在区间D上是______特别地，当函数f(x)在其定义域上单调递减时，就称它是_________.
图示
解读：1.在单调性的定义中，特别注意条件中x1，x2的任意性.
2.单调性刻画了区间D上任意两个自变量大小与函数值大小之间的联系.
3.设x1，x2∈D，则函数f(x)在区间D上单调递增与下列条件都等价（递减类似）.
①对任意x1②对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；
③对任意x1、x2都有 >0.
二．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________.
解读：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间必定是定义域的子区间，单调性是函数的一个局部性质．
三．基本初等函数的单调区间：
函数 条件 单调递增区间 单调递减区间
正比例函数(y＝kx，k≠0)与 一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无
k＜0 无 R
反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 无 ____________
k＜0 ___________ 无
二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－]
a＜0 (－∞，－] [－，＋∞)
概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）因为f(－1)（2）一个函数可以有无数多个单调区间.（ ）
（3）一次函数y＝kx＋b在定义域R上具有单调性.（ ）
（4）函数y＝在定义域上是减函数.（ ）
（5）任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c，都有单调增区间和单调减区间.（ ）
【答案】
一．f(x1)＜f(x2)；单调递增；增函数；f(x1)＞f(x2)；单调递减；减函数。
二．单调递增或单调递减；单调区间
概念辨析 (1) × (2) √ (3) √ (4)× （5） √
【教材例题变式】
（源于P78例1）例1．已知函数，其中，试讨论的单调性.
【答案】当时，，显然在上单调递减；
当时，的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，则在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（源于P78例2）例2．已知函数，其中.
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论.
【答案】（1）定义域为.
（2）当时，在，上都是减函数.
当时，在，上都是增函数.
证明如下：当时，且，则.
，，..，即.
∴当时，在上是减函数，类似地，可以证明其他三种情况.
（源于P78例3）例3.已知函数，用定义法证明：函数是区间上的减函数．
【答案】在定义域内任取，，并且，
则,
因为，所以，，，，
故，即．所以函数是区间上的严格减函数．
归纳：利用定义证明（判断）函数单调性的步骤
1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x12.作差：作差fx1－fx2，
3.变形：将fx1－fx2通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.
4.定号：确定fx1－fx2的符号.
5.结论：根据fx1－fx2的符号及定义判断单调性.
【教材拓展延伸】
例4.求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上的单调性．
(1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(4)y＝|x2－2x－3|．
【答案】(1)函数f(x)＝－在区间(－∞，0)上递增，在区间(0，＋∞)上递增．
(2)函数f(x)在(－∞，1)上是单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减．
(4)先画出的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|在区间(－∞，－1]和[1,3]单调递减，在区间[－1,1]和[3，＋∞)上单调递增．
归纳：
1.求函数单调区间的方法：(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，即先画出图象，根据图象求单调区间．
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.　
例5.函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．
(2)若函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
【答案】(1)－3　(2)(－∞， －3]
【详解】(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故应填－3.
(2)因为函数f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故应填(－∞，－3]．
归纳：已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．
(2)运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化．
注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．
例6.（1）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围____________.
（2）已知函数f(x)＝若函数f(x)在R上为增函数，则实数a的取值范围是____________．
【答案】（1） （2）[7，＋∞)
【详解】（1）对于，开口向下，对称轴为
若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：；
对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：
此时可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是.
（2）令g(x)＝2－，h(x)＝x2＋2ax－3a＋3.
显然，函数g(x)＝2－在(1，＋∞)上递增，且g(x)>2－＝－2；
函数h(x)＝x2＋2ax－3a＋3在[－a,1]上递增，且h(1)＝4－a，
故若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，则
即∴a≥7， ∴a的取值范围为[7，＋∞)．
【课外作业】
基础过关
1．若函数，在其定义域上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据一次函数的性质可得，解得.故选：A.
2．下列四个函数在是增函数的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．
对于B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．
对于C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．
对于D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．
故选：D.
3．函数在是增函数，若，则有 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，又函数在上是增函数，故 故选：C.
4．若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上（ ）
A．一定是增函数 B．没有单调性
C．不可能是减函数 D．存在减区间
【答案】C
【详解】因为在区间和上均为增函数，对于A，符合条件的图象如图所示，
，故选：C.
5．已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对任意，且，有，所以在递增，
当时，显然单调递减，不满足题意，当时，函数为二次函数，
故其开口向上，且对称轴在区间的左侧，即，解得. 故选：D.
6.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　)
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)0
【答案】ABD
解析：因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x17．若函数的单调递增区间是，则=________.
【答案】
【详解】由题可知要使函数的单调递增区间是，则，解得．
8．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是____________.
【答案】
【详解】因函数是R上的增函数，则，解得，
所以a的取值范围是：.
9．已知函数．试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.
【答案】在区间上单调递减，证明如下：
设，则
∵，∴，，，
∴，∴ 所以在区间上单调递减．
能力提升
10．已知对定义域内的任意实数，且，恒成立，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得函数在上是增函数，所以.故选：D.
11．（多选）函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】AB
【详解】，函数是由向上平移个单位，向左平移个单位.
根据图像知，
当时，AC满足一次函数图像，C不满足反比例函数图像；
当时，BD 满足一次函数图像，D不满足反比例函数图像；
故选：AB.
12．（多选）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【详解】在上单调递增,则满足:，即，
故，满足，，满足， 故选:AC.
13．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【详解】当a=0时，函数在R上单调递增，
所以在上单调递增，则a＝0符合题意；
当 时，函数是二次函数，又在上单调递增，
由二次函数的性质知， ，解得.
综上，实数a的取值范围是.
5．函数的单调递增区间是__________.
【答案】
【详解】，函数图象如图所示，
由图可知函数的递减区间为.
15.试根据单调性定义，讨论函数，在区间上的单调性.
【答案】设，且，,
∵，∴
当时，，即，函数单调递减；
当时，，即，函数单调递增.
所以，当时函数在区间上单调递减；
当时函数在区间上单调递增.
16．已知函数．
(1)当，用单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)若在上的单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】（1）任取，则，
又，∴，，，∴，
∴，∴在上单调递增；
（2）①当时，在上单调递增，满足在上的单调递增；
②当时，证明在上单调递增.
任取，，且，
则，
又，∴，，∴，∴，∴在上单调递增，
∴若在上的单调递增，则，即.
综上，实数m的取值范围为.

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