资源简介

九年级第一次竞赛联考数学试卷
一．填空题
1. 设 a是集合{1,2,3......99,100}中任意抽取的一个数，则3a的末位数字是 7的概率是_______;
2. 如图，点 D、E是正△ABC两边上的点，将△BDE沿直线 DE翻折，点 B的对应点恰好落
BD
在边 AC上，当 AC=5AF时， 的值是__________
BE
3. 抛物线 y x2 (m 3)x m与 x轴两交点之间的距离等于 3，m的值为_______;
4. 如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在 A点处，学校在 B点处，小时每天
上学会随机选择一条最近的路从 A点步行至 B点，某天 C点施工无法经过，小明同学并不知
情，那么小明能够不绕路的概率是______
5. 已知函数 y ax2 4ax 3(a 0)，当 x=m和 x=n时函数值相等，则当 x=m+n时的函数值为
_______
6. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，若 D是 BC边上的动点，则 2AD+DC
的最小值是______
7. 不等式 (x 1)(x2 4x 3) 0有多重解法，其中有一种方法如下，在同一平面直角坐标系中
作出 y1 x 1和 y x
2
2 4x 3的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设 a,b为整数，
若对任意 x 0，都有 (ax 2)(x2 2b) 0成立，则 a+b=______
8. 如图，AC、BC是⊙O的两条弦，M是 AB的中点，作MF AC，垂足为 F，若 BC= 3，
AC=3，则 AF＝＿＿＿＿＿
9. 已知 AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，D为 AC上的一动点，延长 DC至点 E，使 CE=CD，
若 AB=4 2，当点 D从点 A运动至点 C时，线段 BE扫过的面积为______
10.如图，在矩形 ABCD中，BC=6，AB=2，Rt△BEF的顶点 E在边 CD或延长线上运动，且
∠BEF=90°，EF= 1 BE，DF= 10 ，则 BE=_______
3
11.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=2 3，P是以斜边 AB为直径的半圆一动
点，M为 PC的中点，连接 BM，则 BM的最小值为_______
12.如图，在等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点 D是斜边 BC的中点，点 E、F分别
为 AB、AC边上的点，且∠EDF=45°，AE=5，AF=12，则△DEF的面积为＿＿＿＿＿
13.已知 A(-2，0),B(0，2),P是 x轴上动点，点 B绕 P点顺时针旋转 90得到点 C，则 AC+ 2 CP
的最小值为_________
14.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,D 为△ABC 内一动点，满足 CD=2，则
AD+ 2 BD 的最小值为_____
3
15.矩形 ABCD 中，AB=6，AD=12，连接 BD，E、F分别在边 BC、CD上，连接 AE、AF分
别交 BD于点M、N，若∠EAF=45°,BE=3,则 DN的长为_______
16. 1在平面直角坐标系中，直线 y kx (k为常数)与抛物线 y x2 2交于 A、B两点，且 A点
3
在 y轴左侧，P点的坐标为(0，-4)，连接 PA、PB,有以下说法：
①PO2=PA PB;②当 k>0时，(PA-AO)(PB-BO) 3的值随 k的增大而增大；③当 k= 时，BP2=BO
3
BA；④△PAB面积的最小值为 4 6 ，其中正确的是________
17.在矩形 ABCD中，AB=6，AD=8，G为 CD上一点，连接 AG交 BD于点 E，若 AB=AE，
∠ABE=∠EFC，则 BF的长为________
18.如图△ABC，过 C作 AB边上的高 CD，AE AC交 CD延长线于点 E，AB+2AD=CE，若
AE=1，BC= 13，则 AB=_______
19.如图，矩形 ABCD中，∠BAC=60°，点 E在 AB上，且 BE：AB=1:3，点 F在 BC边上运动，
以线段 EF为斜边在点 B的异侧作等腰直角三角形△GEF，连接 CG，当 CG CF最小时， 的
AD
值为_____
20.如图是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型，过该造型的上下左侧五点作矩形ABCD，
AB 3
使得 ，点 N为 PQ的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形 EFGH 作为印章区域
BC 5
(EF||AD,HG||CD)，形成一幅装饰画，则矩形 ABCD 的周长为______cm，若点M、N、E在同
一直线上，点 H到 AD的距离与到 CD的距离相等，则印章区域的边长为_______cm
二．解答题
21.在平面直角坐标系 xoy中，已知抛物线 y x2 2tx t 2 t
(1)求抛物线的顶点坐标(用含 t的代数式表示)；
(2)当 t 1 x t 2时，y的最小值是-2，求 y的最大值；
22.如图 1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=3，D 为 BC 上一点，连接 AD，作 DE
AD，交 AB于点 E，且 DE=BE，动点 P从点 E出发向点 A运动，同时动点 Q出发沿射线
AC AQ运动，过程中满足 4，设 AP=y，AQ=x
EP
(1)求 y关于 x的函数表达式；
(2)连接 PD、QD，
当∠ADQ与∠ADP中的一个内角相等时，AQ的值为______
如图 2，当点 Q在线段 AC上时，以 BD、QD为邻边作平行四边形 BDQF，若 PD所在直线平
分平行四边形的面积，△DPE的面积为______
23.如图 1，AB是半圆 O的直径，AB=4，C、D为半圆上的两点，且 BD=CD，连接 AC并延
长，与 BD的延长线相交于点 E
(1)求证：CD=DE；
(2)如图 2，过点 D作 DFAC，垂足为 F，AD与 OC，BC分别交于点M、H
若 BD=1，△DEF的面积为______
若 C是半圆上一动点，当△CMH是等腰三角形时，EF的值为_______
参考答案
1.解：a=1,2,3,4,5....时，3a末位数字是 3，9，7，1，3，9，7，1....以 4为循环，故末尾数字为
1
7的数字有 25个，故 P= 4
2.解：由折叠的性质可知 DF＝BD,EF=EB，∠DFE=60°，△ADF~△CFE，设 AF=1，则 CF=4，
EC=m，则 AD= 4 ，由此可得 DF=BD=5- 4 ，EF=EB=5-m 5 m 3，由相似得 m得 m= ,故
m m 5 4 2
m
BD 2

BE 3
3.解：设 x1, x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，则 x1 x2 m 3, x1x2 m 由题意可知
| x1 x2 | (x1 x2 )
2 4x1x2 3代入可得 m=2或 0
4.解：小明要从 A至 B要走 5步，即向上 2步，向右 3步，故路线共有C 35 =10条，不绕路的
方式有 4 4 2条，故小明不绕路的概率是
10 5
5.解：易知 m、n在对称轴两侧，故 m+n=4,代入得-3
6. 1解：过点 C作直线 CH且∠BCH=30°，易知 DE= CD，2AD+DC=2(AD+ 1 CD)=2(AD+DE),
2 2
当 A、D、E共线时取最小值，最小值 AF=6，故 2AD+DC的最小值为 12
7. 2解：如图，由题意知直线与抛物线在 x轴负半轴有公共的交点，即有 2b，即有
a
a2b 2，a,b为整数，故 b=-2，a=1,a+b=-1
8.解：连接MA、MB同时在 AF上取点 E使 AE=BC，连接ME、MC，∠MAE=∠MBC，MA=MB，
3- 3 3 3
得△MAE≌△MBC,故ME=MC，而MF EC,故 EF＝CF，EC=3- 3，EF=CF= 2 ，AF= 2
9.解：如上图知 BE扫过的部分为红色阴影，S=12-2
1 1 2 10 5 2
10.解：连接 BD,易知 CD= BC，而 EF= BE得△BCD~△BEF,△BCE～△BDF，BD=2 10 ,
3 3 6 BE
得 BE=3 5
11.解：连接 OM易知 OM CM，OC=2，故点M在以 OC为直径的圆上运动，圆心为 OC的中点 N,当 B、
M、N共线时，BM取最小值 3 -1
12.解：连接 AD，同时在 BE 上取点 G 使 BG=AF，易知△DBG≌△DAF，由此∠FDG=90°,
而∠EDF=45 故∠EDG=∠EDF，又 DF＝DG，DE=DE，故△DEF≌△DEG，易知 EF=13，故
AB=5+12+13=30，故△DEF 13 15的面积为 97.5
2
13.解：取点 B关于 x轴的对称点 D,连接 AD，易知△BAP～△BDC，故∠BDC=∠BAP=45°，
故点 C在直线 DE上运动，同时 BC= 2 CP，AC+ 2 CP=AC+BC，取点 A关于 DE的对称点
F(2,-4),FC=AC，当 F、C、B共线时取最小值，最小值为 2 10
14.解：由 CD=2知点 D在以 C为圆心，2为半径的圆上运动，在 BC上取点 E CE= 4使 ,易知
3
CE CD 2 2
，故△CDE~△CBD，故 DE= BD，AD+ 2 BD=AD+DE，当 A、D、E共线时，
CD BC 3 3 3
4 10
取最小值，最小值为
3
15. 1 1解：易知∠DAF＋∠BAE=45°，tan∠BAE= ，故 tan∠DAF= ,故 DF=4，而 BD=6 5，而
2 3
DN:BN=2:3，故 DN= 2 BD=12 5
5 5
16.③④
17. AH BD EG BC sinɑ= 3 ,cosɑ= 4解：作 ， ，易知 ,tanɑ= 3得 BH=18，而 AB=AE 36，故 BE= ，
5 5 4 5 5
故 EG=BEsinɑ=108 ,BG=BEcosɑ=144 ,FG=EGtanɑ= 81 ,BF=BG-FG= 63
25 25 25 25
18.解：延长 AD至点 F使 DF=AD，连接 CF，延长 AF至 G使 FG=AB，连接 CG，同时作 GHAC；
易知 BF=AG=EC，同时 HAG=E得 AECHAG，AH=AE，AC=GH，设 CH=m，则 GH=AC=m+1;
同时 BD=GD，CDBG，得 CG=CB，由勾股定理可得m2 (m 1)2 13得 m=2，AC=3,由此可得
CD= 9 10 AD= 3 10 ,CD= 7 10 , 2 10， 故 AB=
10 10 10 5
19.解：由邻边相等对角互补模型可知 BG 平分∠EBF，即∠GBF=45°，故点 G 在直线 BM 上
运动，当 CG BM时，CG取最小值，如下图此时 G与M重合，F与 H重合，△MCH≌△MBE，
CF=BE=1，则 AD=3 3 CF 3，故此时
AD 9
20.64，3.5
三．解答题
21.(1)当 t 1 x t 2时，y的最小值是-2，求 y的最大值；
解：(1)(t,-t)
(2) 2易知对称轴为直线 x=t，此时 y取最小值-2，即 t=2,此时抛物线 y x 4x 2，当 x=4时取最大值 2
22. (1) y 1解： x 4
4
(2)有以下三种情况，若∠ADQ=30时，此时 x=2;若∠ADQ=∠ADP，则 x=3.2;若∠APD＝∠ADQ，
则△APD～△ADQ，则 x=4或 12；综上所述，x=2或 3.2或 4或 12
1
2 3 3x 4 x 2x
(3)如图，PD平分平行四边形的面积，故 F、P、D共线，连接 FP，由 FH||BD得 4
2 3 2 1 x
4
3 3 15
得 x 6 2 5，由此可得 S=
4
23.解：(1)证明略；
15
(2) ①S=
32
②1.当∠CMH=∠CHM时，即 90°-ɑ=3ɑ，ɑ=22.5°，此时 AC=2 2 ，故 EF=2- 2 ；
5 1 3 5
2. 当∠HCM=∠HMC时，即 90°-2ɑ=3ɑ，此时ɑ=18°，cos36°= ,得 AC= 5 1，故 EF=
4 2
3 5
综上所述：EF的值为 2- 2 或
2

展开更多......

收起↑