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全国知名重点中学优秀综合题选编
1.(华中师大一附中)
1设 f (x) = px－－2 ln x，且 f (e) = qe－－2（e为自然对数的底数）
(I) 求 p 与 q 的关系；
(II) 若 f (x) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；
(III) 设 g(x) = ，若在 [1,e] 上至少存在一点x0，使得 f (x0) > g(x0) 成立, 求实数 p 的取值范围.
2.如图，曲线 y = 上的点 Pi(ti2,ti)（i = 1,2,…,n,…）与 x 轴正半轴上的点 Qi 及原点
构成一系列正△PiQi－1Qi（Q0与O重合），记 an = | QnQn－1 |
(I) 求 a1的值；
(II) 求数列 {an} 的通项公式 an
(III) 设 Sn为数列 {an} 的前 n 项和，若对于任意的实数 (∈[0,1]，总存在自然数 k，当 n≥k时，3Sn－3n + 2≥(1－() (3an－1) 恒成立，求 k 的最小值.
1. 解：(I) 由题意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2 ………… 1分
( (p－q) (e + ) = 0 ………… 2分
而 e + ≠0
∴ p = q ………… 3分
(II) 由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x
f’(x) = p + －=  ………… 4分
令 h(x) = px 2－2x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+() 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+() 内满足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5分
① 当 p = 0时， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f’(x) = － < 0，
∴ f (x) 在 (0,+() 内为单调递减，故 p = 0适合题意. ………… 6分
② 当 p > 0时，h(x) = px 2－2x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = ∈(0,+()，∴ h(x)min = p－
只需 p－≥1，即 p≥1 时 h(x)≥0，f’(x)≥0
∴ f (x) 在 (0,+() 内为单调递增，
故 p≥1适合题意. ………… 7分
③ 当 p < 0时，h(x) = px 2－2x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = ( (0,+()
只需 h(0)≤0，即 p≤0时 h(x)≤0在 (0,+() 恒成立.
故 p < 0适合题意. ………… 8分
综上可得，p≥1或 p≤0 ………… 9分
另解：(II) 由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x
f’(x) = p + －= p (1 + )－ ………… 4分
要使 f (x) 在其定义域 (0,+() 内为单调函数，只需 f’(x) 在 (0,+() 内满足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立. ………… 5分
由 f’(x)≥0 ( p (1 + )－≥0 ( p≥ ( p≥()max，x > 0
∵ ≤ = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1
∴ p≥1 ………… 7分
由 f’(x)≤0 ( p (1 + )－≤0 ( p≤  ( p≤()min，x > 0
而 > 0 且 x → 0 时，→ 0，故 p≤0 ………… 8分
综上可得，p≥1或 p≤0 ………… 9分
(III) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是减函数
∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e
即 g(x) ( [2,2e] ………… 10分
① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 ( f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 …… 11分
② 0 < p < 1 时，由x ( [1,e] ( x－≥0
∴ f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x
右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增
∴ f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合题意。 ………… 12分
③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数
∴ 本命题 ( f (x)max > g(x)min = 2，x ( [1,e]
( f (x)max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2
( p >  ………… 13分
综上，p 的取值范围是 (,+() ………… 14分
2.解：(I) 由 P1(t12,t1)（t > 0）， ………… 1分
得 kOP1 = = tan = ( t1 =  ………… 2分
∴ P1(,) ………… 3分
a1 = | Q1Q0 | = | OQ | = | OP1 | =  ………… 4分
(II) 设 Pn(tn2,tn)，得直线 PnQn－1的方程为：y－tn = (x－tn2) ………… 5分
可得 Qn－1(tn2－,0) ………… 6分
直线 PnQn的方程为：y－tn = －(x－tn2)，可得 Qn(tn2 + ,0) ………… 7分
所以也有 Qn－1(tn－12 + ,0)，得 tn2－= tn－12 + ，由 tn > 0，得 tn－tn－1 = 
∴ tn = t1 + (n－1) = n ………… 8分
∴ Qn(n(n + 1),0),Qn－1(n(n－1),0)
∴ an = | QnQn－1 | = n ………… 9分
(III) 由已知对任意实数时 (∈[0,1] 时 n 2－2n + 2≥(1－() (2n－1) 恒成立
( 对任意实数 (∈[0,1] 时，(2n－1)( + n 2－4n + 3≥0 恒成立 ………… 10分
则令 f (() = (2n－1)( + n 2－4n + 3，则 f (() 是关于 ( 的一次函数.
对任意实数时 (∈[0,1] 时 n 2－2n + 2≥(1－()(2n－1) 恒成立
( 对任意实数 (∈[0,1] 时  ………… 11分
(  ………… 12分
( n≥3或n≤1 ………… 13分
又 ∵ n∈N * ∴ k 的最小值为3 ………… 14分
2. (江苏省南菁高级中学)
已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2．
(1)若f(x)在x＝1时，有极值－1，求b、c的值；
(2)当b为非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线(b2－c)x＋y＋1＝0平行的切线；
(3)记函数| f ' (x)|(－1≤x≤1)的最大值为M，求证：M≥．
解：Ⅰ)∵f’ (x)＝3x2＋2bx＋c，
由f(x)在x＝1时，有极值－1得
即解得 （3分）
当b＝1,c＝－5时,
f’ (x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，
当x＞1时，f’ (x)＞0，
当－＜x＜1时，f′(x)＜0.
从而符合在x＝1时，f(x)有极值，∴ （4分）
(Ⅱ)假设f(x)图像在x＝t处的切线与直线
(b2－c)x＋y＋1＝0平行，
∵f’ (t)＝3t2＋2bt＋c，
直线(b2－c)x＋y＋1＝0的斜率为c－b2，
∴3t2＋2bt＋c＝c－b2,(7分)
即3t2＋2bt＋b2＝0.
∵Δ＝4(b2－3b2)＝－8b2,
又∵b≠0, ∴Δ＜0.
从而方程3t2＋2bt＋b2＝0无解,
因此不存在t，使f’ (t)＝c－b2，
却f(x)的图像不存在与直线(b2－c)x＋y＋1＝0平行的切线. （9分）
(Ⅲ)证法一：∵| f’ (x)|＝|3(x＋)2＋c－|，
①若|－|＞1，则M应是| f’ (－1)|和| f’ (1)|中最大的一个，
∴2M≥|f’ (－1)|＋| f’ (1)|＝|3－2b＋c|＋|3＋2b＋c|≥|4b|＞12，
∴M＞6，从而M≥. （11分）
②当－3≤b≤0时，2M≥| f’ (－1)|＋| f’ (－)|
＝|3－2b＋c|＋|c－|≥|－2b＋3|＝| (b－3)2|≥3，所以M≥. （13分）
③当0＜b≤3时，2M≥| f’ (1)|＋| f’ (－)|＝|3＋2b＋c|＋|c－|≥|＋2b＋3|
＝|(b＋3)2|＞3，∴M≥.
综上所述，M≥. （15分）
证法二：f’ (x)＝3x2＋2bx＋c的顶点坐标是(－，)，
①若|－|＞1，则M应是|f′(－1)|和|f′(1)|中最大的一个，
∴2M≥| f’ (－1)|＋| f’ (1)|＝|3－2b＋c|＋|3＋2b＋c|≥4|b|＞12，
∴M＞6，从而M≥. （11分）
②若|－|≤1，则M是| f’ (－1)|、| f’ (1)|、||中最大的一个.
(i)当c≥－时，2M≥| f’ (1)|＋| f’ (－1)|≥| f’ (1)|＋f’ (－1)|＝|6＋2c|≥3，∴M≥.
(2)当c＜－时，M≥||＝－c≥－c＞，
综上所述，M≥成立. （15分）
证法三：∵M是| f’ (x)|，x∈[－1，1]的最大值，
∴M≥| f’ (0)|，M≥| f’ (1)|，M≥| f’ (－1) |. （11分）
∴4M≥2| f’ (0)|＋| f’ (1)|＋| f’ (－1)|≥| f’ (1)＋f’ (－1)－
3(2007届江苏九大名校第二次联考)
1.已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
（1）求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设3nbn＝n(3n－an)，且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立，
求m的取值范围．
2.已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．
（1）求证：；
（2）设，是函数的两个极值点．
若，求函数的解析式.
1．（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)
　　　　　　∵a1＝5，a2＝5　　∴a2＋2a1＝15
故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列………………5分
　　　　（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n
由待定系数法可得(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)
　　　　　　即an－3n＝2(－2)n－1
故an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n…………………………………………10分
　　　　（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－)n
令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n
　　　　　　　Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1
…………12分
得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1
＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1
∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜6
要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立
只须m≥6………………………………………………………………16分
2．解：（1）三个函数的最小值依次为，，，………………………2分
由，得
∴
，
故方程的两根是，．
故，．……………………………5分
，即
∴ ． ………………………………………………………………………7分
（2）①依题意是方程的根，
故有，，
且△，得．
由…………………………10分
；得，，．
由（1）知，故，
∴ ，
∴ ．………………………………………………14分
4(宝鸡中学)
1.过点P(2,4)的直线与双曲线C:交于A、B两点，且
⑴求直线的方程；
⑵若过P的另一直线与双曲线交于C、D两点，且，则∠ACD=∠ABD一定成立吗？证明你的结论.
⑶过线段AB上的点作曲线的切线，求切点横坐标的取值范围.
2. 已知函数.
⑴求函数的定义域和极值;
⑵若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围.
⑶函数的图象是否为中心对称图形?若是请指出对称中心,并证明;若不是,请说明理由.
1.解: ⑴由题意,设直线的方程为则由得
………………………………①②
设A，B，由知P为AB中点，所以
得所以直线的方程为；
⑵∠ACD=∠ABD一定成立。
由得，A（-2，0）、B（6，8）再由点P(2,4)和直线得：联立方程组得C（-6+，12-）D（-6-，12+）
所以即，由对称性可知，。所以A、B、C、D四点共圆，所以∠ACD=∠ABD。
⑶由得，
设为曲线上一点，
过的切线方程为，
即，与方程联立得
，解得
故
2.解: ⑴函数的定义域为(－∞,2)∪(4,＋∞),由得:或,所以
(－∞,0)
0
(0,2)
(4,6)
6
(6,＋∞)
+
0
-
-
0
+
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
⑵由⑴知或所以或
⑶由⑴知函数的图象若是中心对称图形,则中心一定在两极值点的中心(3, ),下面证明:设是函数的图象上的任意一点,则是它关于(3, )的对称点,而,即也在函数的图象上.所以函数的图象是中心对称图形,其中心是(3, )
5.(宁夏银川一中)
f(x)=4x+ax2－x3在[－1,1]上是增函数
（1）求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=2x+x3两非零实根为x1,x2,试问：是否存在实数m使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对于任意a∈A及t∈[－1,1]恒成立，若存在求出m取值范围，若不存在，说明理由。
解．（14分）
（1）f′(x)=4+2ax－2x2，由题意f′(x)≥0在[－1,1]上恒成立 （2分）
∴∴A=[－1,1] (5分)
（2）方程f(x)=2x+x3可化为x(x2－ax－2)=0
∵x1≠x2≠0, ∴x1,x2是x2－ax－2=0两根 （7分）
△=a2+8>0,x1+x2=a,x1x2=2
∴|x1－x2|=
∵－1≤a≤1 ∴|x1－x2|最大值是 （10分）
∴m2+tm+1≥3在t∈[－1,1]上恒成立
令g(t)=mt+t2－2
∴
m≥2或m≤－2 (14分)
故存在m值，其取值范围为(－∞,－2]∪[2,+∞)
6.(黑龙江省哈尔滨市第三中学)
1. 已知函数.
（Ⅰ）数列，恒成立，试求a1的取值范围；
（II）数列
的前k项和，Tk为数列的前k项积，.
解：（I）， …………1分
…………3分

…………4分

…………6分
（II）证明：


…………10分

由显然
。

…………14分
2.设M、N分别是直线上的两个动点，并且，动点P满足
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点P的轨迹为E，已知点Q是直线x=4上异于点（4,0）的任意一点，点A1、A2是曲线E与x轴的两个交点，直线QA1、QA2与曲线E的另一个交点分别为R、S.求证：直线RS与x轴交于定点，并求出此定点坐标。
2．解：（Ⅰ）设

又。
即动点P的轨迹方程为
（Ⅱ）（法一）设直线QA1和QA2的斜率分别为k1,k2，
则直线QA1的方程为中得
是方程的一个根
直线QA2的方程为


（9分）
直线RS的方程为
将R，S的坐标代入化简得

所以直线RS与x轴交于定点（1，0） （14分）
（法二）设Q点坐标写出直线方程，与椭圆方程联立解出R，S两点的坐标
（9分）
写出直线RS的方程求出过定点（1，0） （14分）
7(湖北枣阳一中)
（理）已知函数
（I）求f(x)在[0，1]上的极值；
（II）若对任意成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.
（文）已知函数为常数），P1（x1，y1），P2(x2，y2)是函数y=f(x)
图象上的两点.当线段P1P2的中点P的横坐标为时，P的纵坐标恒为.
（Ⅰ）求y=f(x)的解析式；（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为，求数列{an}的前n0和；
（Ⅲ）若为递增函数，求实数t的取值范围.
解：（I），
令（舍去）
单调递增；当单调递减.
上的极大值
（II）由得
设，
，
依题意知上恒成立，
，
， 上单增，要使不等式①成立，
当且仅当
（III）由
令，
当上递增；
上递减而，
恰有两个不同实根等价于
…………………………………………12分
（文）解：（I）由的图象上得
两式相加得，
化简得恒成立，……………………………………（2分）
∴解析式为…………………………（4分）
（II）
.…………………………………………………………（8分）
（III）为递增函数，
恒成立，化简为 ……（9分）
显然t≠0.
（1）当不成立，
所以t<0不合题意.………………………………（10分）
（2）当t>0时，.
又.
综上可知，t>.………………………………………………（12分）
8(天津市十二区县重点中学)
1.如图，若为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线左支上，在右准线上，且满足
（Ⅰ）求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若此双曲线过点求双曲线的方程；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中双曲线的虚轴端点为在y轴的正半轴上），过点作直线与双曲线交于两点，当时，求直线的方程。
2．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）判断的奇偶性；
（Ⅱ）在上求函数的极值；
（Ⅲ）用数学归纳法证明：当时，对任意正整数都有
1．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由知四边形PF1OM是平行四边形，
又，四边形PF1OM是菱形 …………2分
设焦半距为c，则
∴=c+2a， …………4分
由双曲线第二定义
可知 （6分）
（Ⅱ）∵e=2= ∴c=2a
∴双曲线方程为
又∵双曲线过点N（2，），∴，即
∴所求双曲线方程为 …………8分
（Ⅲ）由题意知B1（0，3），B2（0，-3），
设直线l的方程为y=kx-3，A（x1，y1），B（x2，y2）
则由
消去y得 …………9分
∵双曲线的渐近线为，
∴当时，直线l与双曲线只有一个交点，即 …………10分

又∵
而 …………13分
即
直线l的方程为 …………14分
2．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） 。……3分
(Ⅱ)当时，
………5分
令有，
当x变化时的变化情况如下表: 由表可知：
（
+
0
－
增
极大值
减
当时取极大值. ………7分
(Ⅲ)当时 ………8分
考虑到：时，不等式等价于…（1）
所以只要用数学归纳法证明不等式（1）对一切都成立即可………9分
（i）当时，设
， ………10分
故，即
所以，当时，不等式（1）都成立 ………11分
（ii）假设时，不等式（1）都成立，即
当时设
有 ………12分
故为增函数，
所以，，即， ………13分
这说明当时不等式（1）也都成立，
根据(i)(ii)可知不等式（1）对一切都成立，
故原不等式对一切都成立. ………14分
9(浙江省重点中学2007年5月)
1．如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，设，当时，求直线的斜率的取值范围.
2．已知函数，数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）探究：数列是否单调？
1．（Ⅰ）设双曲线方程为（，），
则…①，，∴…②．
又在双曲线上，∴…③．（4分）
联立①②③，解得，．∴双曲线方程为．（2分）
注：对点M用第二定义，得，可简化计算．
（Ⅱ），设，，m：，则
由，得，．（2分）
由，得．
∴，．．（2分）
由，，，消去，，
得．
∵，函数在上单调递增，
∴，∴．（2分）
又直线m与双曲线的两支相交，即方程两根同号，
∴．
∴，故．（2分）
2．（Ⅰ）∵，∴．
∵=，（2分）
∴当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
∴在区间内，．（2分）
（Ⅱ）用数学归纳法证明：
① 当时， ∵，∴，成立；
② 假设当时，成立．
当时，由及，得，（2分）
由(Ⅰ) 知，在上单调递增，所以，
而，， 故．
∴当时，也成立．
由①、②知，对任意都成立．（4分）
（Ⅲ）数列单调递减．（1分）
理由如下：
当时， ∴；
当时，由得．
∵，（2分）
又由 (Ⅱ) 知，，∴，
∴，即
∴，
∴，∴．（3分）
综上，数列单调递减．
10(湖南师大附中2006—2007学年度高三模拟（一）)
1．（本小题满分14分）已知函数
（Ⅰ）试判断函数上单调性并证明你的结论；
（Ⅱ）若恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3.
．解：（I）…………（2分）

上是减函数.……………………………………………………（4分）
（II）
即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………（6分）

则上单调递增，
又
存在唯一实根a，且满足
当
∴
故正整数k的最大值是3 ……………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
∴ ………………11分
令，则
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3 ………………14分
11(江苏省启东中学)
（1）求右焦点坐标是，且经过点的双曲线的标准方程；
（2）已知双曲线的方程是. 设斜率为的直线，交双曲线于两点，的中点为. 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的双曲线几何性质，用作图方法找出下面给定双曲线的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出双曲线的中心.
[解]（1）设双曲线的标准方程为，，
∴ ，即双曲线的方程为，
∵ 点在双曲线上，∴ ，
解得 或（舍），
由此得，即双曲线的标准方程为. …… 5分
（2）设直线的方程为， …… 6分
与双曲线的交点()、()，
则有，
解得 ，
∵ ，∴ ，即 .
则 ，
∴ 中点的坐标为. …… 10分
∴ 线段的中点在过原点的直线 上. …… 11分
注：本题用点差法求解更好。如上将A、B点坐标代入双曲线方程得，
，两式相减得 (※),设中点坐标为（x,y）,又,代入（※）式整理得，
∴ 线段的中点在过原点的直线 上.
（3）如图，作两条平行直线分别交双曲线于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交交双曲线于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为交双曲线中心. …… 16分
12(2007年潍坊市高三统一考试)
定义在的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= ,且g(x)在[1，2]为增函数，h(x)在（0，1）为减函数.
（I）求g(x)，h(x)的表达式；
（II）求证：当1（III）把h(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线，求与g(x)对应曲线的交点个数，并说明道理.
解（I）由题意：
∴恒成立.
又恒成立.
∴即
（II）
欲证：
只需证：
即证：
记
∴
∴当x>1时，为增函数…………….9分
即
∴结论成立………………………………………………..10分
（III）由 （1）知：
∴对应表达式为
∴问题转化成求函数
即求方程：
即：
设
∴当时，为减函数.
当时，为增函数.
而的图象开口向下的抛物线
∴与的大致图象如图：
∴与的交点个数为2个.
即与的交点个数为2个.
13(陕西师大附中2007年高三第八次)
1.（Ⅰ）已知函数,求证:函数在区间上为减函数；
（Ⅱ）已知函数,若在上至少存在一点, 使得成立,求实数的取值范围.
2.（本小题满分14分）设数列满足，前项和为，且.
（Ⅰ）证明数列为等比数列并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，比较与的大小；
（Ⅲ）若,，求证：．
1. 解：(Ⅰ)∵, 而,
∴当时, , 因此在[2,＋∞)上为减函数.
(Ⅱ)记, 则,
当时，当时,
故在时取极大值,同时也为最大值
∴
依题意, 要在(0,＋∞)上存在一点, 使成立.
即使只需，即，∴
因此, 所求实数的取值范围为.
2. 解：（Ⅰ）由，
得，即, 而
∴数列是以t为首项，t为公比的等比数列.∴.
（Ⅱ）∵且
∴且　　 ∴ ∴
（Ⅲ）∵
∴

∴

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