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2.4 单摆
第二章 机械振动
生活中生活常见的摆动
秋千
摆钟
风铃
曾经有个广东人到瑞士旅游，看到摆钟很漂亮，就买了一个回家，但是回到广东之后发现摆钟计时不准了，而在瑞士买的时候是很准的。后来就打电话投诉，但经过鉴定摆钟的质量是没有问题的。那问题出现在哪里？
如何设置钟摆才能让摆钟时间准确？
将一小球用细绳悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。
问题？
小球的摆动是否为简谐运动呢？
方法一：从单摆的振动图象（x-t图像）判断
方法二：从单摆的受力特征判断
一、单摆
定义：
在细线的一端拴上一个小球，另一端固定在悬点上，如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
单摆是实际摆的理想化模型
摆线不可伸长
摆线质量不计
摆球大小可忽略
空气阻力可忽略
一、单摆
判断：谁能看作单摆？
铁球
（1）
橡皮筋
粗麻绳
铁球
（2）
大木球
（3）
乒乓球
细绳
（4）
细绳
细绳
铁球
（5）
细绳
（6）
铁球
我可以
一、单摆
方法一：从单摆的振动图象（x-t图像）判断
单摆的振动图像：
正弦图像
二、单摆的回复力
l
m
O
θ
分析单摆的回复力
P
FT
G
F1
F
将摆球拉离平衡位置O后释放，摆球沿圆弧做往复运动。
重力G沿圆弧切线方向的分力:F=mgsinθ
充当回复力
思考？
这个力与小球偏离O点的位移有什么关系？
下面我们分析小球的受力情况
二、单摆的回复力
摆角θ 正弦值 弧度值
1° 0.01754 0.01745
2° 0.03490 0.03491
3° 0.05234 0.05236
4° 0.06976 0.06981
5° 0.08716 0.08727
6° 0.10453 0.10472
7° 0.12187 0.12217
8° 0.13917 0.13963
sinθ≈θ（弧度值）
在摆角很小的情况下：
x

位移x≈弧长
二、单摆的回复力
l
m
O
θ
分析单摆的回复力
P
FT
G
F1
F
x
回复力F指向平衡位置O，与位移x反向。
单摆在摆角很小的情况下(θ<5°)做简谐运动
故回复力可表示为：
F回=-kx
在θ很小时,
mg、l是定值
F =mgsinθ
令
二、单摆的回复力
B
A
O
P
T
G
G2
G1
沿切线指向平衡位置
(重力沿切线的分力提供回复力)：
与该点速度方向平行，不断改变速度大小
与该点速度方向垂直，只改变速度方向
总结
F回=mgsinθ
回复力大小:
回复力方向:
作用:
向心力大小:
F向=T-mgcosθ
向心力方向:
沿半径指向悬点
作用:
【典例1】（多选）关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　　)
A．摆球受重力、摆线的张力作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零
C．摆球的回复力为零时，向心力最大
D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
E．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向　
ABC
ABE
三、单摆的周期
单摆的周期跟哪些因素有关呢？
思考：
摆球质量？
振幅？
摆长？
实验探究：影响单摆周期的因素
实验方法：控制变量法
操作方法：在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照以下几种情况，把它们拉起一定角度（<5°）后同时释放，观察两摆的振动周期。
探究内容：
实验1：两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同（都在小偏角下）实验2：两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同.
实验3：两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同.
……
三、单摆的周期
实验1：周期是否与振幅有关？
结论：单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。
实验2：周期与摆球的质量是否有关
结论：单摆振动周期和摆球质量无关。
实验3：周期与摆球的摆长是否有关
结论：单摆振动周期和摆长有关。
三、单摆的周期
荷兰物理学家惠更斯（1629---1695）通过实验进一步得到：
单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，与振幅、摆球质量无关.
单摆周期公式：
T=2π
惠更斯在1656年首先利用摆的等时性发明了带摆的计时器（1657年获得专利权）．
惠更斯（荷兰）
理解:（1）单摆周期与摆长和重力加速度有关，与振幅和质量
无关。
（2）摆长、重力加速度都一定时，周期和频率也一定，
通常称为单摆的固有周期和固有频率。
三、单摆的周期
理解:
（3）注意事项:
摆长L:悬点到球心的距离
适用条件:单摆做简谐运动θ<50
利用 单摆测重力加速度
等效摆长：
做垂直纸面的小角度摆动：l等效＝lsin α 垂直纸面摆动： l等效＝lsin α＋l 纸面内摆动：
左侧：l等效＝l
右侧：
纸面内摆动：l等效＝l 三、单摆的周期
理解:
（3）注意事项:
摆长L:悬点到球心的距离
适用条件:单摆做简谐运动θ<50
利用 单摆测重力加速度
等效摆长：
做垂直纸面的小角度摆动：l等效＝lsin α 垂直纸面摆动： l等效＝lsin α＋l 纸面内摆动：
左侧：l等效＝l
右侧：
纸面内摆动：l等效＝l 【典例3】一个做简谐运动的单摆,周期是1s（ ）
A.摆长缩短为原来的1/4时，频率是2Hz
B.摆球的质量减小为原来的1/4时，周期是4秒
C.振幅减为原来的1/4时周期是1秒
D.如果重力加速度减为原来的1/4时，频率是0.5Hz.
ACD
T ’=0.5s，f ’=2Hz
g ’=0.25g，T ’=2s，f ’ =0.5Hz
【典例4】已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m，则两单摆长la与lb分别为多少？
解析
设两个单摆的周期分别为Ta和Tb
Ta∶Tb＝3∶5
【典例5】 一个摆长为2 m的单摆，在地球上某地振动时，测得完成100次全振动所用的时间为284 s。
(1)求当地的重力加速度g的大小。
(2)把该单摆拿到月球上去，已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2，则该单摆振动周期是多少
解析：(1)周期T= =2.84s
由周期公式T=2π 得g=9.78m/s2
(2)T'=2π =7.02 s
【练习1】如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有(　　)
A．A球先到达C点
B．B球先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪一个球先到达C点
A

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