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3.2.2奇偶性（第1课时）
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性的定义.
2.掌握判断函数奇偶性的方法.
3.了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.
【教材知识梳理】
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为，如果，都有，且___________，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为，如果，都有，且____ ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称
解读：函数的单调性往往是针对函数定义域上某一个区间而言，是函数的局部性质，而函数的奇偶性是针对整个定义域内而言的，是函数的整体性质．
概念解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(　　)
(2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　)
(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1，1)是偶函数. (　　)
(4)若y＝f(x)是偶函数，则一定有f(－1)＝f(1). (　　)
【答案】f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
概念辨析： （1）×　(2)√　 (3)× (4)×
【教材例题变式】
（源于P84例6）例1判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；　　 (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
【答案】(1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝即f(－x)＝
于是有f(－x)＝－f(x)．
归纳：
1.函数奇偶性判断的方法：
(1)定义法：
(2)图象法：
判断函数的奇偶性有四种可能结果：
（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既奇且偶函数；（4）非奇非偶函数.
如果一个函数满足前三种情况之一，就说这个函数具有奇偶性.
【教材拓展延伸】
例2 设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)| f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
【答案】 D
【详解】当x∈R时，－x∈R，设g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，
所以f(x)＋f(－x)是偶函数．
归纳：
若函数f(x)，g(x)具有共同的定义域，那么由函数f(x)，g(x)的奇偶性可以得到其加、减、乘、除的奇偶性，其规律是：
偶±偶＝偶、奇±奇＝奇、偶×偶＝偶、偶×奇＝奇、奇×奇＝偶，相除时类似于相乘的情况．
例3.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【答案】　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2； (①－②)÷2，得g(x)＝2x.
归纳：任何一个函数都可以拆成一个奇函数与一个偶函数的和
已知一奇一偶两函数之和，对x赋值，令x＝－x. f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
例4.已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
【答案】(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.
(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
例5.（1）已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)
A.26 B.18 C.10 D.－26
（2）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】（1）D （2）C
【详解】（1）由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，
∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
（2）因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，
则f(1)＋g(1)＝1.
归纳：利用函数奇偶性的定义式f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)进行转化求值，或者构造方程组求值．
例6.（1）若函数为偶函数，则a=（ ）
A． B． C． D．
（2）若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
（3）函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝_____，b＝______。
【答案】（1）C (2)－1 （3） 　0
【详解】（1）因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)=f(-x),那么可知a=1,则a等于1，故选C；
（2）∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.
（3）由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－＝0，解得b＝0.
归纳：
1.定义域含参数：
奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，可得a＋b＝0.
2.解析式含参数的解发表：
(1)根据奇偶性定义，即利用f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比较系数求解.
(2)利用特殊点的函数值情况，比如，得到等式.
【课外作业】
基础过关
1．对于定义域是的任意奇函数，都有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵为奇函数，∴，，
又，∴，故选：C.
2．已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【详解】函数是奇函数，当时，，
. 故选：A.
3．已知函数，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【详解】解：，，
，，
. 故选：B.
4．已知函数，则为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】D
【详解】因，则，得定义域为：.
因定义域不关于原点对称，则既不是奇函数又不是偶函数. 故选：D.
5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B.
6．（多选）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图像如图，则下列说法正确的是（ ）
A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值
【答案】BC
【详解】由题意作出该函数在上的图象，如图所示．
由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不为，故选：BC.
7.若函数为奇函数，则________.
【答案】
【详解】在定义中令，则，，解得.
8．已知函数|为偶函数，则实数___________．
【答案】0
【详解】∵f（x）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）恒成立，即x2﹣|x+a|=x2﹣|x﹣a|恒成立
即|x+a|=|x﹣a|恒成立，所以a=0，故答案为0.
9.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
（3）；（4）.
【答案】(1)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
（3）由，得，且，所以义域为，关于原点对称，
所以.
又，所以是奇函数.
（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.
①当时，，
所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
能力提升
10．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为；
因为是奇函数，是偶函数，所以，
对于A，，故是奇函数，即A错误；
对于B，，故是偶函数，即B错误；
对于C，，故是奇函数，即C正确；
对于D，，故是偶函数，即D错误；
故选：C.
11．（多选）已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的最大值为
【答案】BCD
【详解】因为函数是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称．
又因为函数的定义域为，所以，解得．故A错误；
又因为函数是偶函数，所以，解得．所以函数的解析式为．
定义域为，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，
所以当时，取得最大值．故BCD正确；故选：BCD.
12．（多选）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由得：，
又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；
由得：，；
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于CD，，C正确，D错误.
故选：AC.
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．
【答案】或
【详解】当x>0时，不等式f（x）>x转化为，由函数是奇函数，图像关于原点对称，因此当时不等式f（x）>x的解集为，综上不等式的解为（－5，0）∪（5，＋∞）.
14.已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是___________．
【答案】（﹣7，3）
【详解】设x<0，则－x>0.∵当x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．
∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，
∴f(x)＝
由f(x)＝5得或∴x＝5或x＝－5.
观察图像可知由f(x)<5，得－5∴由f(x＋2)<5，得－515．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
【答案】(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．
（2）因为f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.
16．设是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；(2)时，都有，求实数m的取值范围．
【答案】（1）是定义在上的奇函数，当时，．
当时，，则，整理得，
所以时，；故，
（2）由（1）知，当时，．
，
所以在 上恒成立，
化简为在上恒成立
设，所以其对称轴为： ，
①当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为 ，此时，恒成立；
②当时，即或时，上述不等式恒成立问题转化为 ，此时，，
整理得，，解得，解得或；
综上①②得的取值范围为：.3.2.2奇偶性（第1课时）
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性的定义.
2.掌握判断函数奇偶性的方法.
3.了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.
【教材知识梳理】
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为，如果，都有，且___________，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为，如果，都有，且____ ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称
解读：函数的单调性往往是针对函数定义域上某一个区间而言，是函数的局部性质，而函数的奇偶性是针对整个定义域内而言的，是函数的整体性质．
概念解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(　　)
(2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　　)
(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1，1)是偶函数. (　　)
(4)若y＝f(x)是偶函数，则一定有f(－1)＝f(1). (　　)
【教材例题变式】
（源于P84例6）例1判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；　　 (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
【教材拓展延伸】
例2 设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)| f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
例3.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
例4.已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
例5.（1）已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)
A.26 B.18 C.10 D.－26
（2）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
例6.（1）若函数为偶函数，则a=（ ）
A． B． C． D．
（2）若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
（3）函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝_____，b＝______。
【课外作业】
基础过关
1．对于定义域是的任意奇函数，都有（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
3．已知函数，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．10
4．已知函数，则为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图像如图，则下列说法正确的是（ ）
A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值
7.若函数为奇函数，则________.
8．已知函数|为偶函数，则实数___________．
9.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
（3）；（4）.
能力提升
10．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
11．（多选）已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的最大值为
12．（多选）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．
14.已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是___________．
15．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
16．设是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；(2)时，都有，求实数m的取值范围．

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