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一 章节复习
第1讲 第五章(5.1-5.3)：1课时学案+1课时作业………………………………………………1
第2讲 第五章(5.4-5.7)：2课时学案+2课时作业………………………………………………4
第3讲 第一章(1.1-1.5)：1课时学案+1课时作业………………………………………………11
第4讲 第二章(2.1-2.3)：2课时学案+2课时作业………………………………………………14
第5讲 第三章(3.1-3.4)：2课时学案+2课时作业………………………………………………20
第6讲 第四章(4.1-4.5)：2课时学案+2课时作业………………………………………………27
二 套 题
第十七周（12.19--12.23）周末作业：期末综合复习（一）………………………………36
第十八周（12.26--12.30）周末作业：期末综合复习（二）………………………………40
期末综合复习（三）……………………………………………………………………………
期末综合复习（四）……………………………………………………………………………
期末综合复习（五）……………………………………………………………………………
附件：各部分参考答案
第一讲 第五章(5.1-5.3)（1课时）
一、知识梳理：
1、三角函数的基本概念：
(1)与α终边相同的角的集合为 {β|β＝k·360°＋α，k∈Z} ．
(2)各象限角的集合为：
第一象限： {α|k·360°<α第二象限： {α|k·360°＋90°<α第三象限： {α|k·360°＋180°<α第四象限： {α|k·360°－90°<α2、角度制与弧度制
(1) 1度的角：把圆周分成360份，每一份所对的__圆心角__叫1°的角．
(2) 1弧度的角：__弧长等于半径长__的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角．
(3) 1°＝__弧度；1弧度＝__度．
(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝_|α|·r _，面积S＝__|α|r2___＝_lr_．
3、任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，
则sinα＝_____，cosα＝____，tanα＝_____,其中.
4、同角三角函数基本关系：
(1) ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1 ②商数关系：tanα＝
③变形公式：sin2α＝1 -cos2α cos2α=1-sin2α 1=sin2α＋cos2α
sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为:
(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx;(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx;(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
5、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，“正弦上为正，余弦右为正，正切一三为正”.
二、典型例题：
例1：(1)sin2 040°＝_____；(2)cos＝_____；(3)tan＝_____；(4)＝_____．
例2：(1)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________________．
(2)【多选题】已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
例3：已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)．
(1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值；
(2)若cosα≤0且sinα>0，求实数m的取值范围．
例4：(1)不等式cosx≥－的解集为________________________．
(2)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为__________________________．
例5：已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，求扇形的圆心角的弧度数．
例6：(1)化简：
(2)已知sin＝，则cos(α＋π)的值为________；sin的值为________．
例7：(1)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求sinθ－cosθ．
(2)已知sin2θ＝，且＜θ＜，求cosθ－sinθ的值．
例8：(1)已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
(2)已知tanθ＝2，求＋sin2θ的值.
三、课后作业：
1．sin2·cos3·tan4的值(　　)
A．小于0　　　 B．大于0 C．等于0 D．不存在
2．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于(　　)
A．sin2 B．－sin2 C．cos2 D．－cos2
3．若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A. B. C. D.
4．若sinα＝－，且α为第三象限角，则tanα的值等于(　　)
A.　　 B．－ C. D．－
5．已知α∈，且cosα＝－，则等于(　　)
A. B．－ C. D．－
6.化简的结果是(　　)
A．sin3－cos3 B．cos3－sin3 C．±(sin3－cos3) D．以上都不对
7．已知cos＝，则sin＝(　　)
A. B. C．－ D．－
8．已知sinα＋cosα＝－，则tanα＋＝(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
9．【多选题】下列各式中为负值的是(　　)
A．sin1 125° B．tanπ·sinπ C. D．sin|－1|
10．－2 020°角是第________象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．
11．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为________弧度．
12．若0≤θ≤2π，则使tanθ≤1成立的角θ的取值范围是________．
13．函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域为________．
14．化简：＝________．
15．已知α为钝角，sin(＋α)＝，则sin(－α)＝________，cos(α－)＝________．
16．已知sin(3π＋α)＝2sin(＋α)，则①＝____；②sin2α－cos2α＝__．
第2讲 第五章(5.4-5.6) (2课时)
一、基础梳理
1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为(0，0)，，(π，0),，(2π，0)．
(2)y＝cos x的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为（0,1），，（π，－1）,，（2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数性质　　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
定义域 R R ｛x|x≠kπ＋，k∈Z｝
图象
值域 ［－1，1] ［－1，1] R
对称性 对称轴：x＝kπ＋（k∈Z) 对称中心： (kπ，0）(k∈Z） 对称轴：x＝kπ（k∈Z） 对称中心: 无对称轴 对称中心:
周期 2π 2π π
单调性 单调增区间 ； 单调减区间 单调增区间 ［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）； 单调减区间 ［2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） 单调增区间
奇偶性 奇 偶 奇
3、两条性质:
(1)周期性
函数y＝Asin（ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，y＝tan(ωx＋φ）的最小正周期为
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
三种方法----求三角函数值域（最值）的方法:
（1）利用sin x、cos x的有界性;
（2）形式复杂的函数应化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域;
（3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值）问题．
4、三角函数定义域、值域
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型的题目：
①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t,化为关于t的二次函数求值域(最值）;
②形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
5、三角恒等变换
(1) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：
; ;
对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。
(2) 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：
. .
.
要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 这两个形式常用。
(3)辅助角公式：
;
(4)简单的三角恒等变换
①变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
②变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
③变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
④变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。
(5)常用知识点：
基本恒等式：
三角形中的角：，；
二、典型例题
考点一、三角函数式的化简、求值
1．已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（1）计算：;
（2）化简：.
4．已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
5．已知，且，求的值．
考点二、三角函数的图象与性质
6．要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
7．已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．将曲线各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线
B．将曲线各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线
C．将曲线各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线
D．将曲线各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线
8．把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　)
A．1， B．2， C. ， D. ，
9．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.求函数在上的值域.
考点三、三角恒等变换与三角函数的综合问题
10．已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．
11．已知函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，求的最大值和最小值．
12．已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
三、课后作业：
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
3．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
4．若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，则的值是_________.
6．若，则______．
7．已知cos＋sin α＝，则sin的值为________．
8．已知，点为角终边上的一点，且，则角________．
9．函数的最大值为________．
10．已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值.
11．已知
（1）化简；
（2）若且求的值；
（3）求满足的的取值集合.
12．已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求证：当时，．
13．已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
已知函数
(1)求的解析式及对称中心坐标：
(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
第3讲 第一章(1.1-1.5)（1课时）
一、知识梳理：
1.集合的概念
2．常见的数集及表示符号
集合的表示法： .
4.集合间的基本关系
A是B的子集：
A是B的真子集: .
5.空集： ，记为 .
规定：空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集.
6.有限集的子集个数：若有限集合A中含有个元素，则集合A的子集的个数为 ，真子集的个数为 ，非空子集为 ，非空真子集为 .
7.集合的运算 a.并集： ，符号语言： .
b.交集： .符号语言： .
c.补集: .符号语言: .
8.集合的运算性质：
1).并集的性质:A B A∪B=B. A∪B= A=B= .
2).交集的性质: a. A B A∩B=A. A∩B=A∪B A=B.
b.A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
3).补集的性质
(1)A∪( UA)=U, A∩( UA)= . (2) U( UA)=A, UU= , U =U.
(3) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
9.命题的概念 命题： ，真命题： ；假命题： .
10.全称命题及其否定 全称命题： . 符号表示p:，: .
11.存在性命题及其否定 存在性命题： . 符号表示p:，: .
12.充分条件、必要条件、充要条件: .
13.判断方法:（1）定义法：（2）等价法：(3)利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB.
例如：“AB”“，且”是的充分不必要条件.
“”“”是的充分必要条件.
二、典型例题：
例1：已知．
若，用列举法表示；
当中有且只有一个元素时，求的值组成的集合．
例2：已知集合，集合．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围；
是否存在实数使，相等？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
例3：(1)已知集合，则集合的所有子集的元素之和为 ．
（2）若全集,集合，，则(M)=( )
A． B． C． D．
（3）已知，，，，则有（ ）
A．=B B． C． D．
例4：已知集合，集合，．
求，；
若是的必要条件，求的取值范围．
例5：已知命题：两个正实数，满足，且恒成立，命题：“，使”，若命题，命题都为真命题，求实数的取值范围．
例6：已知集合，，集合为函数的定义域，全集为实数集．
求，；
若，求实数的取值范围．
四、课后作业：
1．若“”是“或”的充分不必要条件，则的取值范围（ ）
A． B．m≤1 C． D．
2．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．“不等式在上恒成立”的充要条件是( )
A． B． C． D．
4．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（　）
A．对任意的、，都有 B．菱形的两条对角线相等
C．， D．正方形是矩形
5．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解 D．有一个m使与异号
6．已知命题：，，则命题的否定为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．已知命题使得成立，则为（ ）
A．都有恒成立 B．都有恒成立
C．都有恒成立 D．都有恒成立
8．若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．或 C． D．或
10．已知集合，函数的定义域为集合．
求；
求；
若，求时的取值范围．
11．已知全集，集合，.
（1）若=1，求；
（2）若>0，设命题，命题，已知命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值围.
第4讲 第二章(2.1-2.3)（2课时）
一、知识梳理：
不等式的性质
1.不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
2.比较两个实数（或代数式）大小
作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
（二）基本不等式：
1. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则
(2)若，则（当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
3. 若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）；
若，则 (当且仅当x=1或x=-1时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）；
若，则（当且仅当时取“=”） “一正”“二定”“三相等”.
6、一元二次不等式的解法：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
一元二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
口诀：大于取两边，小于取中间
8、 解一元二次不等式的基本步骤：
整理系数，使最高次项的系数为正数；
尝试用“十字相乘法”分解因式；
计算
结合二次函数的图象特征写出解集。
二、典型例题：
题型一 不等式及其性质
例1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B C．AB D．A>B
（2）已知-1（3）设a，bR，则下列命题正确的是( )．
A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a≠b，则a2≠b2 C．若a＜|b|，则a2＜b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2
题型二 利用基本不等式求最值：“一正、二定、三相等”.
(1)若0A．2 B. C．1 D.
已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＝______；b＝_______.
正实数，满足，则的最小值为
（4）已知x>0，y>0，2x+3y=6，则xy的最大值为_____.
题型三 一元二次不等式的解法
例3、解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；
例4、(1) 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
（2）设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
例5、已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
例6、解下列不等式：(1) <0； (2)≤2.
例7、（1）不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围。
（2）当，若不等式恒城立，则a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
（3）已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
（4）已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2题型四 一元二次不等式的实际应用
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
三、课后作业
1．若，则下列不等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
3．若，则不等式的解集是（ )
A． B． C． D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ )
A. B. C. D.
6、若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知不等式的解集为，则的值为 .
8. 若命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．
9、不等式的解集为 .
10、不等式x2﹣3x+2＞0的解集记为p，关于x的不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
11．(1)解这个关于x的不等式.
(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
12、如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米800元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．
（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．
第5讲 第三章(3.1-3.4)（2课时）
一、知识梳理
1.函数的定义：数集A中_____自变量x,在集合B中都有______的函数值y对应。
2.求定义域：注意没有意义的式子，⑴分式分母________，⑵偶次根式被开方数______，⑶对数式真数等。
3.求值域的方法：⑴__________，⑵__________，⑶换元法，⑷分离常数法，⑸反表示法等。
4.求解析式：⑴_________，⑵___________，⑶配凑法，⑷解方程组法等。
5.分段函数求自变量：要用到___________思想。
6.增（减）函数的定义：对于函数的定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有____________（_____________）。
7.判断单调性的方法：
⑴______
⑵_______：分三步：“一设二证三下”，证明时常用作差比较法，
⑶复合函数：“__________”，
⑷结论：奇函数在对称区间上单调性_____，偶函数在对称区间上单调性_____。
8.单调性的应用题型及解法
⑴求参数的范围，⑵解抽象不等式，⑶比较大小等。
9.奇（偶）函数的定义：
对于函数的定义域I内任意x都有____________（______________）。
10.判断奇偶性的方法：
⑴________，
⑵________：分三步：①看定义域是否关于原点对称，不对称时直接为非奇非偶函数，对称时进行第二步，②看 等于还是，还是都不恒等，③下结论。
11.奇偶性的应用题型及解法
⑴求参数值：①一般法：奇函数，偶函数，注意等式为恒等式，化简后可利用方程两边x的系数对应相等。
②特殊值法：如奇函数，奇函数自变量可取0 ，这样可直接得到关于参数的方程，但要注意检验。
⑵解抽象不等式
注意要将自变量化到同一单调区间上，偶函数可以利用。
⑶求对称区间上的解析式
分三步：①求谁设谁，②求出，③利用奇偶性将转化为。
⑷比较大小
⑸利用函数的局部奇函数求函数值
12.幂函数
⑴定义：形如_________的函数。只要求掌握五个函数。
⑵图像和性质：①都过定点______，
②当______时，在上为增函数，当时，在上为减函数。
二、例题讲解
题型一 函数的概念
例1．对于集合，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是(　　)
A． B．C． D．
题型二 判断是否为同一个函数
例2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 求函数的定义域
例3.函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例4.已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例5函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四 求函数解析式
例6.已知是一次函数，且满足：，则＝________.
例7.设函数，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
题型五 函数性质及其应用
例8.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
例9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.
例10.若函数在上为奇函数，则___________.
例11.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例12.已知函数是偶函数，且在上单调递减。若，则实数a的取值范围为______。
例13.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
例14.定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例15.函数是定义在上的奇函数且单调递减，若则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例16.已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)当时判断函数的单调性，并证明；
题型六 分段函数
例17.若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例18.设，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型七 幂函数的应用
幂函数y＝xα的性质
(1)当α>0时，
①图象都通过点(0，0)，(1，1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
③在第一象限内，α>1时，图象是向下凸上升的；0<α<1时，图象是向上凸上升的；
④在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.
(2)当α<0时，
①图象都通过点(1，1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；
③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；
④在第一象限内，过点(1，1)后，|α|越大，图象下降的速度越快.
例19.当时，幂函数为减函数，则_________．
例20.已知幂函数在上单调递增，则m＝______．
题型八 抽象函数
例21. 已知函数对任意,总有，且当时，
。
⑴求证：是奇函数；
⑵求证：是R上的单调递减函数；
⑶求在上的最大值和最小值。
三、课后作业:
一、单选题：
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数的图象经过点(2，4)，则＝（　　）
A．-9 B．9 C．4 D．-4
3．已知则（ ）
A．7 B．2 C．10 D．12
4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
A． B．C． D．
6．偶函数的图象关于轴对称，下列图象中，可以表示偶函数的是（ ）．
A． B． C． D．
7．若幂函数在上为减函数,则的值为（　 　）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
8．已知，若对任意，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：
9．已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（ ）
A． B．在区间单调递增 C．的最小值为 D．的最大值为2
10．函数 ()的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （ ）
A．最小值为 B．最大值为4 C．无最大值 D．无最小值
11．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
12．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，．若函数，则关于函数的叙述中正确的有（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．是上的增函数
三 填空题：
13．函数，则_________
14．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．
15．已知函数分别由下表给出：
1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1
满足的值是___________
16.函数的定义域是__________，值域是__________.
四、解答题
17．已知函数是定义域为的奇函数，当时，f(x).
（1）求；
（2）求出函数在上的解析式；
18．若二次函数满足且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求函数在的解析式；
（2）当时，若，求实数的值．
20．已知二次函数，满足，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）设函数，函数，求函数在区间上的最值.
第6讲 第四章(4.1-4.5)(2课时)
4.1 指数
一、知识梳理：
知识点一、次方根的定义及性质
定义：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数。
性质：（1）；（2）
知识点二、分数指数幂和有理数指数幂
分数指数幂
正数的正分数指数幂：
正数的负分数指数幂：
2、有理数指数幂的运算性质
；
；
知识点三、无理数指数幂和实数指数幂的概念
（1）；
（2）；
（3）
二、典型例题
题型一、根式的化简与求值
例1：求下列各式的值：
； （2）；
（3）。
题型二、幂的化简与求值
例2：计算下列各式的值：
（1）； （2）。
题型三、含附加条件的求值问题
例3：若，求的值。
题型四、与指数幂有关的等式的证明
例4：设，，都是正数，且，求证：。
4.2 指数函数
一、知识梳理
知识点一、指数函数
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是。
知识点二、指数函数的图象和性质
1、指数函数的图象与性质
函数
图象
图象特征 在轴上方，且过定点
当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降
性质 定义域
值域
单调性 在上单调递增 在上单调递减
奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数
函数值变化规律 当时，
当时，； 当时， 当时，； 当时，
2、指数函数的图象
（1）对称性：函数与的图象关于轴对称，即底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称。根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象。
（2）指数函数与的图象都经过点，且图象都在轴上方。
二、典型例题
题型一、与指数函数有关的定义域和值域问题
1、形如的函数的定义域和值域问题
例1：求下列函数的定义域和值域：
； （2）
2、形如的函数的定义域和值域问题
例2：求函数的定义域和值域。
题型二、指数函数的图象及应用
1、图象过定点问题
例3：函数且的图像恒过定点 ．
2、函数图象的识别
例4：函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
题型三、指数函数的单调性及应用
1、利用指数函数的单调性研究最值问题
例5：已知函数，则下列叙述正确的是( )
A. 当时，函数在区间上是增函数
B. 当时，函数在区间上是减函数
C. 若函数有最大值，则
D. 若函数在区间上是增函数，则的取值范围是
2、利用指数函数的单调性比较大小
例6：设，则，，的大小顺序是．( )
A. B. C. D.
3、利用指数函数的单调性解指数不等式
例7：已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4、指数型复合函数的单调性与奇偶性
例8：已知函数且，．
判断并证明函数的奇偶性；
求不等式的解集．
4.3 对数
一、知识梳理：
知识点一、对数的概念
1、对数的定义
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作。
两类常见对数
常用对数：以为底的对数叫做常用对数记为.
自然对数：以为底的对数叫做自然对数，是无理数，记为
3、对数与指数间的关系：
知识点二、对数的性质
1、对数的性质
（1）负数和没有对数，即。
（2）的对数等于，即。
（3）底的对数等于，即。
2、两个常用结论
（1）对数恒等式：。
（2）。
知识点三、对数的运算性质
如果，, ，那么
（1）.（2）.（3）。
知识点四、换底公式
1、换底公式:。
2、几个常用推论
推论1: ，即。
推论2: 。
推论3: 。
二、典型例题
题型一、对数式的化简与求值
例1、计算下列各式的值：
； ．
题型二有附加条件的对数求值问题
例2、若，，则等于( )
A. B. C. D.
4.4 对数函数
一、知识梳理
知识点一、对数函数的定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是。
知识点二、对数函数的图象和性质
1、对数函数的图象和性质
图象
性质 定义域：
值域：
图象过点，即当时，
当时，； 当时， 当时，； 当时，
在上是增函数 在上是减函数
2、底数对对数函数图象的影响
（1）函数与的图象关于轴对称。
（2）底数决定函数的图象相对位置的高低：
知识点三、反函数
1、反函数
指数函数与对数函数互为反函数。
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换。
（2）互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。
（3）若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上；反之，若点在反函数的图象上，则点必在原函数的图象上。
二、典型例题
题型一、与对数函数有关的定义域问题
1、求对数型函数的定义域
例1：函数的定义域为( )
A. B. C. D.
2、已知函数的定义域，求字母的取值
例2：已知函数，若它的定义域为，则的范围是 。
题型二、对数函数的图象及应用
1、对数过定点问题
例3：已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ．
2、图象的识别问题
例4：在同一平面直角坐标系中，函数，，且的图象可能是( )
A. B. C. D.
3、图象的作法及应用-数形结合思想
例5：设函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是 ．
题型三、对数函数的单调性及应用
1、比较大小
例6：三个数，，的大小顺序是( )
A. B. C. D.
2、解不等式
例7：若，则下列不等式正确的是( )
．
A. B. C. D.
题型四、与对数函数有关的值域与最值问题
例8：若函数的值域是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
例9：已知函数的定义域是设
求函数的解析式及定义域；
求函数的最值．
题型五、对数型复合函数的单调性与奇偶性问题
例10：已知．
求的定义域；
判断的奇偶性并予以证明；
若，求使的的取值范围．
4.5函数的应用（二）
一、知识梳理
知识点一、函数的零点与方程的解
1、函数零点的定义
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点。
2、函数零点与方程解的联系
函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标。
3、常见函数的零点
知识点二、函数零点存在定理
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程
的解。
2、函数零点存在定理的几何意义
在闭区间上有连续曲线，若连续曲线的始点与终点分别在横轴的两侧，则此连续曲线与横轴至少有一个交点。
3、函数零点存在定理的推论
若函数在区间上单调，其图象是一条连续不断的曲线，且有，则函数在区间内有且只有一个零点，即存在唯一的，使得。
知识点、用二分法求方程的近似解
1、二分法的定义
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2、区间的中点：一般地，我们把称为区间的中点。
二、典型例题
题型一、函数的零点及个数的判断
1、求函数的零点或零点个数
例1：函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
例2：已知在上为奇函数，在上为偶函数，设，则函数在上的零点个数可能为( )
A. B. C. D.
2、已知函数的零点个数求参数的取值范围
例3：已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的可能取值是
A. B. C. D.
题型二、判断函数零点所在的区间
1、确定零点所在的区间
例4：函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
2、与函数的零点（或方程的根）有关的参数问题
例5：函数的零点所在区间为，则为( )
A. B. C. D.
例6、已知关于的方程有两个实数解，则实数的取值范围是 ．
例7、已知一元二次方程的一根在中，另一根在中，则的取值范围为 ．
题型四、对二分法的理解
例8、用二分法求出函数零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
第十七周（12.19--12.23）周末作业
期末综合复习（一）
第Ⅰ卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知，，则等于（ ）
A． B．7 C． D．－7
5．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C．y=|x| D．
6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：）
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
7．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数．已知函数是“函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式中，值为的有（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．不是周期函数 B．在(0，)上是单调递增函数
C．在(0，)内有且只有一个零点 D．关于点(，0)对称
12．已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是 C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知，则____________.（可用对数符号作答）
14．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
15．已知，且，写出一个满足条件的的值___________．
16．已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．(10分)已知角终边上有一点，且.
(1)求的值，并求与的值；
(2)化简并求的值.
18．(12分)已知函数．
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)求在区间上的值域．
19．(12分)已知定义在上的函数（其中）.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
20．(12分)冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
21．(12分)已知函数（其中且）是奇函数.
(1)求的值；
(2)若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．(12分)已知函数，.
(1)若在区间上是单调函数，则的取值范围；
(2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由
第十八周（12.26--12.30）周末作业
期末综合复习（二）
第Ⅰ卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．设全集，则A)=（ ）
A． B． C． D．
2．设，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知.给出下列判断：
①若，且，则；
②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；
④若在上单调递增，则的取值范围为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数，若在定义域上恒成立，则的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9．如图，是全集，是的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
M) B． N)
C． M D．M
10．已知函数，则（ ）
A．的最小值为 B．的图像关于轴对称
C．的图像关于直线对称 D．的图像关于直线对称
11．若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为2
C．的最小值是 D．的最小值为4
12．已知函数，则（ ）
A．当时，函数有且仅有一个零点 B．当时，函数没有零点
C．当时，函数有两个不同的零点 D．当，函数有四个不同的零点
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为________．
14．若，，则的值___________.
15．写出一个最小正周期为3的奇函数___________.
16．已知函数恰有3个零点，则的取值范围是___________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．(10分)集合，集合，
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．(12分)已知函数是定义在R上的增函数，并且满足．
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若，求x的取值范围．
19．(12分)已知是定义在R上的奇函数，当时，．
(1)函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间单调递增，求实数m的取值范围．
20．(12分)已知函数（其中，，）图象上两相邻最高点之间的距离为，且点是该函数图象上的一个最高点
(1)求函数的解析式；
(2)把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若恒有，求实数的最小值.
21．(12分)已知重庆地铁1号线路通车后，轨道交通的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁的载客量为.
(1)求的表达式，并求发车时间间隔为分钟时地铁的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为（元）.问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？
22．(12分)已知且是上的奇函数，且
(1)求的解析式；
(2)若不等式对恒成立，求的取值范围.一 章节复习
第1讲 第五章(5.1-5.3)：1课时学案+1课时作业………………………………………………
第2讲 第五章(5.4-5.7)：2课时学案+2课时作业………………………………………………
第3讲 第一章(1.1-1.5)：1课时学案+1课时作业………………………………………………
第4讲 第二章(2.1-2.3)：2课时学案+2课时作业………………………………………………
第5讲 第三章(3.1-3.4)：2课时学案+2课时作业………………………………………………
第6讲 第四章(4.1-4.5)：2课时学案+2课时作业………………………………………………
二 套 题
第十七周（12.19--12.23）周末作业：期末综合复习（一）………………………………
第十八周（12.26--12.30）周末作业：期末综合复习（二）………………………………
期末综合复习（三）……………………………………………………………………………
期末综合复习（四）……………………………………………………………………………
期末综合复习（五）……………………………………………………………………………
附件：各部分参考答案
第一讲 第五章(5.1-5.3)（1课时）
一、知识梳理：
1、三角函数的基本概念：
(1)与α终边相同的角的集合为 {β|β＝k·360°＋α，k∈Z} ．
(2)各象限角的集合为：
第一象限： {α|k·360°<α第二象限： {α|k·360°＋90°<α第三象限： {α|k·360°＋180°<α第四象限： {α|k·360°－90°<α2、角度制与弧度制
(1) 1度的角：把圆周分成360份，每一份所对的__圆心角__叫1°的角．
(2) 1弧度的角：__弧长等于半径长__的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角．
(3) 1°＝__弧度；1弧度＝__度．
(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝_|α|·r _，面积S＝__|α|r2___＝_lr_．
3、任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，
则sinα＝_____，cosα＝____，tanα＝_____,其中.
4、同角三角函数基本关系：
(1) ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1 ②商数关系：tanα＝
③变形公式：sin2α＝1 -cos2α cos2α=1-sin2α 1=sin2α＋cos2α
sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为:
(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx;(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx;(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
5、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，“正弦上为正，余弦右为正，正切一三为正”.
二、典型例题：
例1：(1)sin2 040°＝_____；(2)cos＝_____；(3)tan＝_____；(4)＝_____．
【解析】(1)sin2 040°＝sin(5×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.
(2)cos＝cos＝－cos＝－.
(3)tan＝－tan＝－tan＝－.
(4)＝|cos120°|＝＝.
例2：(1)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________________．
【解析】　如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为.
(2)【多选题】已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】AC
例3：已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2)．
(1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值；
(2)若cosα≤0且sinα>0，求实数m的取值范围．
【解析】　(1)因为m＝2，所以P(－3，4)，所以x＝－3，y＝4，r＝5.
所以sinα＝＝，tanα＝＝－.所以5sinα＋3tanα＝5×＋3×＝0.
(2)因为cosα≤0且sinα>0，所以所以－2例4：(1)不等式cosx≥－的解集为________________________．
(2)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为__________________________．
(1)【解析】　数形结合，cosx≥－的解集为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)【解析】　∵3－4sin2x>0，∴sin2x<.∴－例5：已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，求扇形的圆心角的弧度数．
【解析】　设扇形的圆心角为α，半径为r，由扇形周长公式和扇形面积公式得2r＋αr＝6，αr2＝4，消去r得36α＝4(2＋α)2，即α2－5α＋4＝0，解得α＝1或α＝4.故填1或4.
例6：(1)化简：
(2)已知sin＝，则cos(α＋π)的值为________；sin的值为________．
(1)【解析】　原式＝＝－.
(2)【解析】　cos＝cos(＋α＋)＝－sin(α＋)＝－.
sin＝sin[π－]＝sin(α＋)＝.
例7：(1)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求sinθ－cosθ．
(2)已知sin2θ＝，且＜θ＜，求cosθ－sinθ的值．
(1)【解析】　∵sinθ＋cosθ＝，
∴(sinθ＋cosθ)2＝. ∴2sinθcosθ＝－.
又θ∈(0，π)， ∴sinθ>0，cosθ<0.
∴sinθ－cosθ＝＝＝.
(2)【解析】　∵(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－sin2θ＝，
∴要求cosθ－sinθ，只需判断cosθ－sinθ的符号．
∵＜θ＜，∴cosθ＜sinθ，即cosθ－sinθ＜0.
∴cosθ－sinθ＝－＝－.
例8：(1)已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
(2)已知tanθ＝2，求＋sin2θ的值.
(1)【解析】　∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α－3sinαcosα＋1＝＋1＝＋1＝＋1＝1.
(2)【解析】　方法一：＋sin2θ＝＋＝＋，将tanθ＝2代入，得原式＝.
方法二：tanθ＝2＝，在平面直角坐标系xOy中，不妨设θ为锐角，角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上取点P(1，2)，则|OP|＝，由三角函数的定义，得sinθ＝，cosθ＝，所以＋sin2θ＝＋＝.
三、课后作业：
1．sin2·cos3·tan4的值(　　)
A．小于0　　　 B．大于0 C．等于0 D．不存在
答案　A
2．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于(　　)
A．sin2 B．－sin2 C．cos2 D．－cos2
答案　D
3．若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
4．若sinα＝－，且α为第三象限角，则tanα的值等于(　　)
A.　　 B．－ C. D．－
答案　C
5．已知α∈，且cosα＝－，则等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C解析　由已知得sinα＝＝，
∴＝＝＝＝.
6.化简的结果是(　　)
A．sin3－cos3 B．cos3－sin3 C．±(sin3－cos3) D．以上都不对
答案　A
解析　sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，
∴原式＝＝＝|sin3－cos3|.
∵<3<π，∴sin3>0，cos3<0.
∴原式＝sin3－cos3，故选A.
7．已知cos＝，则sin＝(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　本题考查三角函数的诱导公式．
方法一：由题意可得，sin＝sin＝－cos＝－.
方法二：sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－cos＝－.
8．已知sinα＋cosα＝－，则tanα＋＝(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
答案　A
解析　由已知可得(sinα＋cosα)2＝2，∴sinαcosα＝，tanα＋＝＋＝＝＝2.故选A.
9．【多选题】下列各式中为负值的是(　　)
A．sin1 125° B．tanπ·sinπ C. D．sin|－1|
答案　BC
解析　确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．
对于A，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin1 125°>0；
对于B，因为π＝2π＋π，则π是第三象限角，所以tanπ>0，sinπ<0，故tanπ·sinπ<0；
对于C，因为4弧度的角在第三象限，所以sin4<0，tan4>0，故<0；
对于D，因为<1<，所以sin|－1|>0，综上，BC为负数．
10．－2 020°角是第________象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．
答案　二　140°　－220°
解析　∵－2 020°＝－6×360°＋140°，∴－2 020°角的终边与140°角的终边相同．
∴－2 020°角是第二象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是140°.又140°－360°＝－220°，故与－2 020°终边相同的最大负角是－220°.
11．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为________弧度．
答案　1
解析　由得α＝1.
12．若0≤θ≤2π，则使tanθ≤1成立的角θ的取值范围是________．
答案　∪∪
13．函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域为________．
答案　{x|＋2kπ解析　要使sinx>cosx，只需14．化简：＝________．
答案　1
15．已知α为钝角，sin(＋α)＝，则sin(－α)＝________，cos(α－)＝________．
答案　－　
解析　sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)，
∵α为钝角，∴π<＋α<π.∴cos(＋α)<0.
∴cos(＋α)＝－＝－.∴sin(－α)＝－.
cos(α－)＝sin[＋(α－)]＝sin(＋α)＝.
16．已知sin(3π＋α)＝2sin(＋α)，则①＝____；②sin2α－cos2α＝__．
答案　①－　②
解析　∵sin(3π＋α)＝2sin(＋α)，
∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα.
①原式＝＝＝－.
②∵sinα＝2cosα，∴cosα≠0，∴tanα＝2，
∴原式＝2sin2α－cos2α＝＝＝.
第2讲 第五章(5.4-5.6) (2课时)
一、基础梳理
1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为(0，0)，，(π，0),，(2π，0)．
(2)y＝cos x的图象在[0,2π］上的五个关键点的坐标为（0,1），，（π，－1）,，（2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数性质　　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
定义域 R R ｛x|x≠kπ＋，k∈Z｝
图象
值域 ［－1，1] ［－1，1] R
对称性 对称轴：x＝kπ＋（k∈Z) 对称中心： (kπ，0）(k∈Z） 对称轴：x＝kπ（k∈Z） 对称中心: 无对称轴 对称中心:
周期 2π 2π π
单调性 单调增区间 ； 单调减区间 单调增区间 ［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）； 单调减区间 ［2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） 单调增区间
奇偶性 奇 偶 奇
3、两条性质:
(1)周期性
函数y＝Asin（ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，y＝tan(ωx＋φ）的最小正周期为
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
三种方法----求三角函数值域（最值）的方法:
（1）利用sin x、cos x的有界性;
（2）形式复杂的函数应化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域;
（3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值）问题．
4、三角函数定义域、值域
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型的题目：
①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t,化为关于t的二次函数求值域(最值）;
②形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
5、三角恒等变换
(1) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：
; ;
对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。
(2) 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：
. .
.
要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 这两个形式常用。
(3)辅助角公式：
;
(4)简单的三角恒等变换
①变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
②变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
③变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
④变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。
(5)常用知识点：
基本恒等式：
三角形中的角：，；
二、典型例题
考点一、三角函数式的化简、求值
1．已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵，平方得，∴2cossin＝﹣
∴，
∵为第二象限角， ∴ 故选B．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．
3．（1）计算：;
（2）化简：.
【详解】（1）.
（2）.
4．已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【详解】（1）.
（2）由于，，所以，
所以，
，
所以
5．已知，且，求的值．
【详解】∵，∴，
∵，∴．
所以,
∴．
考点二、三角函数的图象与性质
6．要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
【解析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可
【详解】解：由函数，，
所以先向左平移个单位长度，得的图像，再向上平移2个单位长度，得 的图像，故选：B
7．已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．将曲线各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线
B．将曲线各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线
C．将曲线各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线
D．将曲线各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线
【详解】A.得到曲线：，所以该选项错误；
B.得到曲线：，所以该选项错误；
C.得到曲线：，所以该选项错误；
D.得到曲线：，所以该选项正确.
故选：D
8．把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　)
A．1， B．2， C. ， D. ，
【详解】依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos，则函数g(x)＝2cos.
因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，
则g(x)＝2cos.又因为函数为奇函数，所以φ＋＝kπ＋，k∈Z， 又0<φ<π，则φ＝.
9．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再把图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.求函数在上的值域.
【详解】（1）由的部分图象可知，
，可得，所以，
由五点作图法可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再把后者图象上所有点向左平行移动个单位长度，
得到函数的图象.
当时，，
所以.所以函数在上的值域为.
考点三、三角恒等变换与三角函数的综合问题
10．已知．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）化简得
==，
令，解得
所以单调递增区间为，.
（2）由（1）可得，
即，对任意的恒成立，
只需要即可，
，
令，因为，则，所以，
所以，
由对勾函数性质可得，当时，为减函数，
所以当时，， 所以．
11．已知函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，求的最大值和最小值．
【详解】（Ⅰ）∴的最小正周期为，
令，则，∴的对称中心为；
（Ⅱ）∵ ∴ ∴∴
∴当时，的最小值为； 当时，的最大值为．
12．已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
【详解】（1），
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为， 所以，
令，所以.又，
所以在上的单调递减区间为.
三、课后作业：
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
.
2．已知 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
所以.
3．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
4．若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的图象向左平移个单位长度得的图象,
向右平移（）个单位长度得的图象,
由题意得 （）
所以（）
又 ,故的最小值为,
5．已知，且，则的值是_________.
【答案】
【详解】，因为，所以，所以，所以，所以.
6．若，则______．
【答案】
【详解】
， 所以.
7．已知cos＋sin α＝，则sin的值为________．
【答案】－ 【详解】由已知得cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝，即sin＝，
因此sin＝－sin＝－.
8．已知，点为角终边上的一点，且，则角________．
【答案】． 【详解】∵，∴，∴，．
又，∴．
∵，∴，∴，
∴．
∵，∴．
9．函数的最大值为________．
【答案】1 【详解】试题分析：
，故函数的最大值为1．
10．已知函数.
（1）化简；
（2）若，且，求的值.
【详解】（1）由诱导公式化简可
（2）由，可得，所以，即，
又，
所以
因为，，所以，所以的值为
11．已知
（1）化简；
（2）若且求的值；
（3）求满足的的取值集合.
【详解】（1）；
（2）由（1）可得，则，
，即；
（3）由题意得，，
，即，
所以的取值集合为.
12．已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求证：当时，．
【详解】（1）.
所以的最小正周期.
（2）因为，所以.所以.
所以当时，.
13．已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
【详解】(1)，
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，函数的对称中心为；
解不等式，解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．
已知函数
(1)求的解析式及对称中心坐标：
(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，
由可得，
因为，所以，，所以.
令可得，所以对称中心为.
（2）由题意可得：，
当时，，，
若关于的方程有实数根，则有实根，所以，可得：.
所以实数的取值范围为.
第3讲 第一章(1.1-1.5)（1课时）
一、知识梳理：
1.集合的概念
2．常见的数集及表示符号
集合的表示法： .
4.集合间的基本关系
A是B的子集：
A是B的真子集: .
5.空集： ，记为 .
规定：空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集.
6.有限集的子集个数：若有限集合A中含有个元素，则集合A的子集的个数为 ，真子集的个数为 ，非空子集为 ，非空真子集为 .
7.集合的运算 a.并集： ，符号语言： .
b.交集： .符号语言： .
c.补集: .符号语言: .
8.集合的运算性质：
1).并集的性质:A B A∪B=B. A∪B= A=B= .
2).交集的性质: a. A B A∩B=A. A∩B=A∪B A=B.
b.A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
3).补集的性质
(1)A∪( UA)=U, A∩( UA)= . (2) U( UA)=A, UU= , U =U.
(3) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
9.命题的概念 命题： ，真命题： ；假命题： .
10.全称命题及其否定 全称命题： . 符号表示p:，: .
11.存在性命题及其否定 存在性命题： . 符号表示p:，: .
12.充分条件、必要条件、充要条件: .
13.判断方法:（1）定义法：（2）等价法：(3)利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB.
例如：“AB”“，且”是的充分不必要条件.
“”“”是的充分必要条件.
二、典型例题：
例1：已知．
若，用列举法表示；
当中有且只有一个元素时，求的值组成的集合．
解：．
当时，则是方程的实数根，
，解得；方程为，解得或；；
当时，方程为，解得，所以；
当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程有相等实根，判别式，
解得；综上，当或时，集合只有一个元素．所以的值组成的集合．
例2：已知集合，集合．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围；
是否存在实数使，相等？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
解：当时，，解得，此时满足；
当时，要使，则解得；综上，实数的取值范围．
，解得．故实数的取值范围是．
若，则且．由的结论可知不存在．
例3：(1)已知集合，则集合的所有子集的元素之和为 ．
（2）若全集,集合，，则(M)=( )
A． B． C． D．
（3）已知，，，，则有（ ）
A．=B B． C． D．
【答案】（1）36（2）B (3)A
例4：已知集合，集合，．
求，；
若是的必要条件，求的取值范围．
解：由得，，
所以，，或．
由得，，，是的必要条件，，
，得，故的取值范围．
例5：已知命题：两个正实数，满足，且恒成立，命题：“，使”，若命题，命题都为真命题，求实数的取值范围．
解：，，，
当且仅当，时取等号，
命题为真命题时，，可得，令，
，命题为真命题时，，命题，命题都为真命题时，．
例6：已知集合，，集合为函数的定义域，全集为实数集．
求，；
若，求实数的取值范围．
解：，
，，
因为，所以即，
若，即，此时函数无意义，舍去；故，因为，所以，
当，即时，，则，所以；
当，即时，，则，所以
综上，实数的取值范围为．
三、课后作业：答案：1.A 2. B 3.A 4.D 5. B 6. A 7. B 8. A 9.C
1．若“”是“或”的充分不必要条件，则的取值范围（ ）
A． B．m≤1 C． D．
2．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．“不等式在上恒成立”的充要条件是( )
A． B． C． D．
4．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（　）
A．对任意的、，都有 B．菱形的两条对角线相等
C．， D．正方形是矩形
5．下列命题不是存在量词命题的是（ ）
A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解 D．有一个m使与异号
6．已知命题：，，则命题的否定为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．已知命题使得成立，则为（ ）
A．都有恒成立 B．都有恒成立
C．都有恒成立 D．都有恒成立
8．若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．或 C． D．或
10．已知集合，函数的定义域为集合．
求；
求；
若，求时的取值范围．
解：集合，由，得或，
则集合或，所以；
由得或，所以；
若，则，故的取值范围是．
11．已知全集，集合，.
（1）若=1，求；
（2）若>0，设命题，命题，已知命题p是命题q的充分不必要条件，求实数的取值围.
解:（1）当时，，可得，
又由，所以.
当时，可得.因为命题是命题的充分不必要条件，则，
可得，等号不能同时成立，解得，所以实数的取值范围为.
第4讲 第二章(2.1-2.3)（2课时）
一、知识梳理：
不等式的性质
1.不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
2.比较两个实数（或代数式）大小
作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
（二）基本不等式：
1. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则
(2)若，则（当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
3. 若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）；
若，则 (当且仅当x=1或x=-1时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）；
若，则（当且仅当时取“=”） “一正”“二定”“三相等”.
6、一元二次不等式的解法：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
一元二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
口诀：大于取两边，小于取中间
8、 解一元二次不等式的基本步骤：
整理系数，使最高次项的系数为正数；
尝试用“十字相乘法”分解因式；
计算
结合二次函数的图象特征写出解集。
二、典型例题：
题型一 不等式及其性质
例1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B C．AB D．A>B
【答案】B
（2）已知-1【答案】(3，8)
（3）设a，bR，则下列命题正确的是( )．
A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a≠b，则a2≠b2 C．若a＜|b|，则a2＜b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2
【答案】D
题型二 利用基本不等式求最值：“一正、二定、三相等”.
(1)若0A．2 B. C．1 D.
【答案】C
已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＝______；b＝_______.
【答案】a＝___2_____；b＝_____1___.
正实数，满足，则的最小值为
【答案】
已知x>0，y>0，2x+3y=6，则xy的最大值为_____.
【答案】
题型三 一元二次不等式的解法
例3、解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；
【答案】(1). (2). (3).
例4、(1) 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
（2）设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
解：（1）方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，
则当a＜－1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为；
当a＞－1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}．
（2）①m＝0时，－3<0恒成立，所以x∈R.
②当m>0时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)<0，即<0，解得－③当m<0时，原不等式变为<0，解得综上，m＝0时，解集为R；
m>0时，解集为；m<0时，解集为.
例5、已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
【答案】{x|x<或x>1}.
例6、解下列不等式：(1) <0； (2)≤2.
【答案】 (1){x|x<－2或x>1}． (2){x|x<2或x≥5}．
例7、（1）不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围。
【答案】{a|a<-2或a>2}
（2）当，若不等式恒城立，则a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
（3）已知函数的定义域是一切实数，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
（4）已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2【答案】D　[∵x>0，y>0，∴＋≥8.
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解之得－4题型四 一元二次不等式的实际应用
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
即解得0所以投入成本增加的比例x的取值范围为.
三、课后作业
1．若，则下列不等式错误的是（ B ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ D ）
A． B．且 C． D．且
3．若，则不等式的解集是（ D ）
A． B． C． D．
4．设，则“”是“”的（ A ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
6、若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
7．已知不等式的解集为，则的值为 1 .
8. 若命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．
9、不等式的解集为 .
10、不等式x2﹣3x+2＞0的解集记为p，关于x的不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】﹣2＜a≤﹣1
11．(1)解这个关于x的不等式.
(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）原不等式可化为，
时，解不等式得或，
时，不等式恒成立，即，
时，解不等式得或，
综上：时解集为或，时解集为R，时解集为或；
（2）因时，，当且仅当时取“=”，
又不等式对任意实数x恒成立，即有，解得，
所以实数a的取值范围.
12、如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米800元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．
（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．
解：（1）设米，则由题意得，且
故，可得则，
所以关于的函数解析式为．
（2），当且仅当，即时等号成立．
故当为20米时，最小．的最小值为96000元．
第5讲 第三章(3.1-3.4)（2课时）
一、知识梳理
1.函数的定义：数集A中__任意__自变量x,在集合B中都有_唯一_的函数值y对应。
2.求定义域：注意没有意义的式子，⑴分式分母__不为0__，⑵偶次根式被开方数_大于等于0_，⑶对数式真数 大于0 等。
3.求值域的方法：⑴__图像法__，⑵__单调性法_，⑶换元法，⑷分离常数法，⑸反表示法等。
4.求解析式：⑴__换元法_，⑵__待定系数法__，⑶配凑法，⑷解方程组法等。
5.分段函数求自变量：要用到___分类讨论_思想。
6.增（减）函数的定义：对于函数的定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有____（___）。
7.判断单调性的方法：
⑴_图像法_
⑵_定义法_：分三步：“一设二证三下”，证明时常用作差比较法，
⑶复合函数：“_同增异减_”，
⑷结论：奇函数在对称区间上单调性_一致_，偶函数在对称区间上单调性_相反_。
8.单调性的应用题型及解法
⑴求参数的范围，⑵解抽象不等式，⑶比较大小等。
9.奇（偶）函数的定义：
对于函数的定义域I内任意x都有___（__）。
10.判断奇偶性的方法：
⑴__图像法_，
⑵_定义法_：分三步：①看定义域是否关于原点对称，不对称时直接为非奇非偶函数，对称时进行第二步，②看 等于还是，还是都不恒等，③下结论。
11.奇偶性的应用题型及解法
⑴求参数值：①一般法：奇函数，偶函数，注意等式为恒等式，化简后可利用方程两边x的系数对应相等。
②特殊值法：如奇函数，奇函数自变量可取0 ，这样可直接得到关于参数的方程，但要注意检验。
⑵解抽象不等式
注意要将自变量化到同一单调区间上，偶函数可以利用。
⑶求对称区间上的解析式
分三步：①求谁设谁，②求出，③利用奇偶性将转化为。
⑷比较大小
⑸利用函数的局部奇函数求函数值
12.幂函数
⑴定义：形如___的函数。只要求掌握五个函数。
⑵图像和性质：①都过定点___，
②当__时，在上为增函数，当时，在上为减函数。
二、例题讲解
题型一 函数的概念
例1．对于集合，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是(　　)
A． B．C． D．
【答案】D
题型二 判断是否为同一个函数
例2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，可化为，
显然对任意（除外），y值不唯一，故不符合函数的定义；
对于B，符合函数的定义；
对于C，当时，对应关系无意义，故不符合函数的定义；
对于D，当为非正整数时，对应关系无意义，故不符合函数的定义.
故选：B
题型三 求函数的定义域
例3.函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由解析式有意义可得，故，故函数的定义域为故选：D.
例4.已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为函数的定义域为，所以对函数来说有，即，
所以函数的定义域为.故选：C.
例5函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】f（x）的定义域是R，则恒成立，即恒成立，则，解得，
所以实数m的取值范围为.故选：B.
题型四 求函数解析式
例6.已知是一次函数，且满足：，则＝________.
【解析】设，，
，，
。
例7.设函数，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，则可得所以，所以，故选：B
题型五 函数性质及其应用
例8.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【解析】函数，由复合函数的增减性可知，若在为增函数，，
例9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________.
【解析】函数是定义在上的奇函数，，则，
.
例10.若函数在上为奇函数，则___________.
【解析】因为函数在上为奇函数，所以，得，
又，即，即恒成立，
所以，所以.
故答案为：.
例11.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当时，显然满足题意；
当时，要使在区间上单调递减，需满足，解得．
综上所述：可知实数的取值范围是．故选A．
例12.已知函数是偶函数，且在上单调递减。若，则实数a的取值范围为______。
【解析】 解法1:原不等式等价于①或②，由①得；由②得。故实数a的取值范围为或。
解法2:（利用偶函数有）：可化为，又在上单调递减，，即实数a的取值范围为或。
例13.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即，解得，
当时，，当时，，则，
因为是奇函数，所以．故选：．
例14.定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵是偶函数，，故可变形为，
∵在区间上单调递减，故.故选：C.
例15.函数是定义在上的奇函数且单调递减，若则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数是定义在上的奇函数且单调递减，
可化为则，解之得故选：C
例16.已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)当时判断函数的单调性，并证明；
(1)解：由函数是定义在上的奇函数，
可得，即，所以，解得，所以，
又由，即，解得，所以.
(2)解：函数在上是单调递增函数.
证明：对区间上得任意两个值，且，
则，
因为，可得，，，，
所以，即，所以函数在区间上是增函数.
题型六 分段函数
例17.若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，，解得，
所以数的取值范围为故选：.
例18.设，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】当时，若，则，解得，
则；
当时，若，则，显然无解．
综上，．故选：C
题型七 幂函数的应用
幂函数y＝xα的性质
(1)当α>0时，
①图象都通过点(0，0)，(1，1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
③在第一象限内，α>1时，图象是向下凸上升的；0<α<1时，图象是向上凸上升的；
④在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.
(2)当α<0时，
①图象都通过点(1，1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；
③在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；
④在第一象限内，过点(1，1)后，|α|越大，图象下降的速度越快.
例19.当时，幂函数为减函数，则_________．
【解析】函数为幂函数，则，解得或，
又因为函数在上单调递减，可得，可得，故答案为：2
例20.已知幂函数在上单调递增，则m＝______．
【解析】由题意可得，解得,故答案为：4.
题型八 抽象函数
例21. 已知函数对任意,总有，且当时，
。
⑴求证：是奇函数；
⑵求证：是R上的单调递减函数；
⑶求在上的最大值和最小值。
解：⑴证明; 因为对任意,总有，所以可令，
得。再令，得，
即，所以是奇函数。
⑵证明：任取，则。∵当时，，。
，即.所以是R上的单调递减函数.
⑶.∵在上单调递减函数.
，.
三、课后作业:
一、单选题：
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数有意义，则有，解得且，
所以原函数的定义域是.
2．已知幂函数的图象经过点(2，4)，则＝（　　）
A．-9 B．9 C．4 D．-4
【答案】C
【详解】依题意，设幂函数，于是得，解得，则有，
所以.
3．已知则（ ）
A．7 B．2 C．10 D．12
【答案】D
【详解】由题意．
4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，当时，，可得，
函数是定义在上的奇函数，可得.
5．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；
选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；
选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
6．偶函数的图象关于轴对称，下列图象中，可以表示偶函数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】A的图像关于轴对称，故A符合题意.
BCD的图像都不关于轴对称，故BCD均不符合题意.
7．若幂函数在上为减函数,则的值为（　 　）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【详解】函数是幂函数，则，解得：或
又函数在区间上为减函数，则，所以，
8．已知，若对任意，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易知在上单调递增，，
在上单调递减，，
对任意，，使得，则,所以，即.
二 多选题：
9．已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（ ）
A． B．在区间单调递增 C．的最小值为 D．的最大值为2
【答案】AC
【详解】函数是奇函数，则，代入可得，故A正确；
由，对勾函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B错误；由，所以，所以，故C正确、D错误.
10．函数 ()的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （ ）
A．最小值为 B．最大值为4 C．无最大值 D．无最小值
【答案】BD
【详解】函数在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，
由于x=5取不到，则最小值取不到．
11．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】对于选项AC，由，可知、，不是偶函数，故AC错；
对于选项BD，都满足，且结合图象可知在上都是单调递减的，故BD正确.
12．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，．若函数，则关于函数的叙述中正确的有（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．是上的增函数
【答案】AC
【详解】因为，
所以当，即或时，，，
当，即时，，，所以，
所以为偶函数，的值域为.
三 填空题：
13．函数，则_________
【答案】
【详解】，由，可得，所以，.
14．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】函数的对称轴是，开口向上，
若函数在区间是单调递增函数，则，
15．已知函数分别由下表给出：
1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1
满足的值是___________
【答案】
【详解】
当时，，则，而，则，即；
当时，，则，而，则，即；
当时，，则，而，则，即；
∴满足的的值是.
16.函数的定义域是__________，值域是__________.
【答案】
【详解】对于函数，有，即，解得，
且.因此，函数的定义域为，值域为.
四、解答题
17．已知函数是定义域为的奇函数，当时，f(x).
（1）求；
（2）求出函数在上的解析式；
【详解】由于函数f（x）是定义在（∞，+∞）内的奇函数，因此对于任意的x都有f（x）=f（x）.
（1）f（2）=f（2）；又f（2）=222×2=0，故f（2）=0.
（2）①因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0；
②当x<0时，x>0，由f（x）是奇函数，知f（x）=f（x）.
则f（x）=f（x）= [（x）22（x）]= x22x.综上，
18．若二次函数满足且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，
∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.
∵f（x＋1）－f（x）＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f（x）＝x2－x＋1.
（2）由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.
令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝，
∴g（x）在区间[－1，1]上是减函数，
∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
19．（函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求函数在的解析式；
（2）当时，若，求实数的值．
【详解】（1）令，则，由，此时；
（2）由，，所以，
解得或或（舍）.
20．已知二次函数，满足，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）设函数，函数，求函数在区间上的最值.
【详解】
（1）因为，所以，
由二次函数的性质得，解得，
所以
（2）依题得： ，函数在区间内单调递减
当时，有最大值14
当时，有最小值
第6讲 第四章(4.1-4.5)(2课时)
4.1 指数
一、知识梳理：
知识点一、次方根的定义及性质
定义：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数。
性质：（1）；（2）
知识点二、分数指数幂和有理数指数幂
分数指数幂
正数的正分数指数幂：
正数的负分数指数幂：
2、有理数指数幂的运算性质
；
；
知识点三、无理数指数幂和实数指数幂的概念
（1）；
（2）；
（3）
二、典型例题
题型一、根式的化简与求值
例1：求下列各式的值：
； （2）；
（3）。
解：（1）原式
（2）原式
当时，原式
当时，原式 所以原式
原式
题型二、幂的化简与求值
例2：计算下列各式的值：
（1）； （2）。
解：（1）原式
（2）原式
题型三、含附加条件的求值问题
例3：若，求的值。
解：
则
题型四、与指数幂有关的等式的证明
例4：设，，都是正数，且，求证：。
证明：令则，，
因为，即所以。
4.2 指数函数
一、知识梳理
知识点一、指数函数
一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是。
知识点二、指数函数的图象和性质
1、指数函数的图象与性质
函数
图象
图象特征 在轴上方，且过定点
当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降
性质 定义域
值域
单调性 在上单调递增 在上单调递减
奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数
函数值变化规律 当时，
当时，； 当时， 当时，； 当时，
2、指数函数的图象
（1）对称性：函数与的图象关于轴对称，即底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称。根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象。
（2）指数函数与的图象都经过点，且图象都在轴上方。
二、典型例题
题型一、与指数函数有关的定义域和值域问题
1、形如的函数的定义域和值域问题
例1：求下列函数的定义域和值域：
； （2）
解：（1）由题知：，解得或所以原函数的定义域为
因为，所以所以原函数的值域为
（2）由题知：，解得所以原函数的定义域为
又所以，且
故原函数的值域为。
2、形如的函数的定义域和值域问题
例2：求函数的定义域和值域。
解：由题知：，即，解得所以原函数的定义域为
由，得故原函数的值域为。
题型二、指数函数的图象及应用
1、图象过定点问题
例3：函数且的图像恒过定点 ．
解：函数的图像恒过定点，而函数且的图象是把向右平移个单位，再向上平移个单位得到，函数且的图像恒过定点．
2、函数图象的识别
例4：函数的图象大致是( )
B. C. D.
解：，则是偶函数，则图象关于轴对称，排除，，
恒成立，排除，故选：．
题型三、指数函数的单调性及应用
1、利用指数函数的单调性研究最值问题
例5：已知函数，则下列叙述正确的是( )
当时，函数在区间上是增函数
B. 当时，函数在区间上是减函数
C. 若函数有最大值，则
D. 若函数在区间上是增函数，则的取值范围是
解：对于，选项：当时，，因为在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的性质可得，函数在上单调递减，故A错误，B正确；对于选项：若有最大值，显然不成立，则函数有最小值，可得，解得，故C正确；对于选项：若函数在上是增函数，则在是减函数，当时，显然成立，当时，由二次函数的性质可得，解得，所以的取值范围为，故D正确；故选BCD．
2、利用指数函数的单调性比较大小
例6：设，则，，的大小顺序是．( )
B. C. D.
解：因为，，；
且，函数在上是单调增函数，所以，所以；
综上知，．故选：．
3、利用指数函数的单调性解指数不等式
例7：已知函数，则不等式的解集为( )
B. C. D.
解：由题意可得，即，结合函数的单调性可得，解得．选：B
4、指数型复合函数的单调性与奇偶性
例8：已知函数且，．
判断并证明函数的奇偶性；
求不等式的解集．
解：，解得舍去或，所以
因为的定义域为，且，所以为奇函数．
因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，
不等式，即
因为为奇函数，所以
又因为为增函数，所以， 解得， 的解集为．
4.3 对数
一、知识梳理：
知识点一、对数的概念
1、对数的定义
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作。
两类常见对数
常用对数：以为底的对数叫做常用对数记为.
自然对数：以为底的对数叫做自然对数，是无理数，记为
3、对数与指数间的关系：
知识点二、对数的性质
1、对数的性质
（1）负数和没有对数，即。
（2）的对数等于，即。
（3）底的对数等于，即。
2、两个常用结论
（1）对数恒等式：。
（2）。
知识点三、对数的运算性质
如果，, ，那么
（1）.（2）.（3）。
知识点四、换底公式
1、换底公式:。
2、几个常用推论
推论1: ，即。
推论2: 。
推论3: 。
二、典型例题
题型一、对数式的化简与求值
例1、计算下列各式的值：
； ．
解：；
．
题型二有附加条件的对数求值问题
例2、若，，则等于( )
A. B. C. D.
解：，，又，．故选D．
4.4 对数函数
一、知识梳理
知识点一、对数函数的定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是。
知识点二、对数函数的图象和性质
1、对数函数的图象和性质
图象
性质 定义域：
值域：
图象过点，即当时，
当时，； 当时， 当时，； 当时，
在上是增函数 在上是减函数
2、底数对对数函数图象的影响
（1）函数与的图象关于轴对称。
（2）底数决定函数的图象相对位置的高低：
知识点三、反函数
1、反函数
指数函数与对数函数互为反函数。
2、反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换。
（2）互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。
（3）若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上；反之，若点在反函数的图象上，则点必在原函数的图象上。
二、典型例题
题型一、与对数函数有关的定义域问题
1、求对数型函数的定义域
例1：函数的定义域为( )
B. C. D.
解：要使函数有意义，只需，得，即或
所以函数定义域为 故选D．
2、已知函数的定义域，求字母的取值
例2：已知函数，若它的定义域为，则的范围是 。
解：函数的定义域为，则恒成立，故对方程，，即。
题型二、对数函数的图象及应用
1、对数过定点问题
例3：已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 ．
解：由题意函数的图象恒过定点，故得，
又点也在函数的图象上，，解得，故答案为．
2、图象的识别问题
例4：在同一平面直角坐标系中，函数，，且的图象可能是( )
B. C. D.
解： 当时，在上单调递增，在上单调递减，所以符合题意，不符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以符合题意，不符合题意．故选AD．
3、图象的作法及应用-数形结合思想
例5：设函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是 ．
解：由题意可画出的图象，
观察图象可得的解集是
故答案为．
题型三、对数函数的单调性及应用
1、比较大小
例6：三个数，，的大小顺序是( )
B. C. D.
解：，，，故选C．
2、解不等式
例7：若，则下列不等式正确的是( )
．
A. B. C. D.
解：因为函数为增函数，，即，所以，，则，所以，故正确
由，得，所以，故错误
，所以，故正确
，所以，故错误故不等式正确的是． 故选A．
题型四、与对数函数有关的值域与最值问题
例8：若函数的值域是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：因为函数的值域是，所以要取尽大于的所有数，
即二次函数有零点，因此，解得或，故选：．
例9：已知函数的定义域是设
求函数的解析式及定义域；
求函数的最值．
解：由题意可得：，由，解得：，
故，且定义域为
（2）令，因为，则，则等价于，，
在递增，
当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值
故的最小值为，最大值为．
题型五、对数型复合函数的单调性与奇偶性问题
例10：已知．
求的定义域；
判断的奇偶性并予以证明；
若，求使的的取值范围．
解：，需有，即，即，
，函数的定义域为；
为奇函数，证明如下：
为奇函数；
，
当时，可得，解得．即当时，的的取值范围为．
4.5函数的应用（二）
一、知识梳理
知识点一、函数的零点与方程的解
1、函数零点的定义
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点。
2、函数零点与方程解的联系
函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标。
3、常见函数的零点
知识点二、函数零点存在定理
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程
的解。
2、函数零点存在定理的几何意义
在闭区间上有连续曲线，若连续曲线的始点与终点分别在横轴的两侧，则此连续曲线与横轴至少有一个交点。
3、函数零点存在定理的推论
若函数在区间上单调，其图象是一条连续不断的曲线，且有，则函数在区间内有且只有一个零点，即存在唯一的，使得。
知识点、用二分法求方程的近似解
1、二分法的定义
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2、区间的中点：一般地，我们把称为区间的中点。
二、典型例题
题型一、函数的零点及个数的判断
1、求函数的零点或零点个数
例1：函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
解：函数，由，可得，作出和的图象，
由图象可得它们有个交点，则的零点个数为，故选：．
例2：已知在上为奇函数，在上为偶函数，设，则函数在上的零点个数可能为( )
A. B. C. D.
解：因为在上为奇函数，在上为偶函数，则，，
设，则，所以是上的奇函数，
由奇函数图象关于原点对称，所以其图象与轴的交点有奇数个，即函数在上的零点个数为奇数，
故选BD．
2、已知函数的零点个数求参数的取值范围
例3：已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的可能取值是
A. B. C. D.
解：因为函数是定义域为的单调函数，对于任意的，都有，
所以必存在唯一的正实数满足，，
所以，可得，即，所以，
所以，所以函数，
由方程在区间上有两解，则在区间上有两解，
设， 结合图象，可得方程在区间上有两解， 实数满足．故选CD．
题型二、判断函数零点所在的区间
1、确定零点所在的区间
例4：函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
解：在上是增函数，
，所以，
所以函数的零点所在区间是．故选B．
2、与函数的零点（或方程的根）有关的参数问题
例5：函数的零点所在区间为，则为( )
A. B. C. D.
解：，在上单调递增且连续，，，
．根据函数零点的存在性定理可得的零点所在区间为．
，，，故为．故选B．
例6、已知关于的方程有两个实数解，则实数的取值范围是 ．
解：令，因为关于的方程有两个实数解，
所以函数的图象与直线的图象有两个交点，
作出函数图象如图所示，由图象可知，，
所以实数的取值范围为．故答案为：．
例7、已知一元二次方程的一根在中，另一根在中，则的取值范围为 ．
解：依题意可设函数，因为一元二次方程的一根在中，另一根在中， 所以，即， 解得，所以的取值范围为．
题型四、对二分法的理解
例8、用二分法求出函数零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
解：因为函数在定义域内单调递增，
所以，，，，所以，
根据函数的零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间是，故选：．

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