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2.2简谐运动的描述
第二章 机械振动
知识回顾：什么样的运动叫做简谐运动？
简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象（x—t图象）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
物体做简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系，因此我们如何表达x与t的关系式？
根据上述表达式，请你尝试说明A有什么物理意义？
弹簧振子偏离平衡位置的最大距离。
一、振幅
2.物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量，常用字母A表示;
1.定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。
注意：振子振动范围的大小是振幅的两倍----2A;振幅的大小直接反映了振子振动能量(E=EK+EP)的高低。
3.单位：国际单位——米（m）
4.标量：只有大小没有方向
一、振幅
5.振幅和位移的区别
对于一个给定的振动：
（1）振子的位移大小等于其偏离平衡位置的距离，时刻在变化；但振幅是不变的。
（2）位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的数值。
二、周期和频率
振动物体从某一初始状态开始，再次回到初始状态（即位移、速度均与初态完全相同）所经历的过程。
1.全振动：
若从振子向右经过某点p起，经过怎样的运动才叫完成一次全振动？
O
A
P
v
平衡位置
A′
P
A′
O
A
O
P
振动物体连续两次以相同速度通过同一点所经历的过程。
【典例1】 如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则(　 )
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
解析：一次全振动不是必须从平衡位置开始计时，只要再次同向经过某一位置，就完成了一次全振动，运动时间就是一个周期，运动的路程为4个振幅。故C正确 。
C
二、周期和频率
2.周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，称为周期T，
单位：s。
3.频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作频率f，数值等于
单位时间内完成的全振动的次数。单位：赫兹(Hz)。1Hz=1s-1。
5.周期和频率的关系：Ｔ＝1/f。
4.意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率
越大， 表示振动越快。
6.简谐运动路程和周期的关系
M
M′
P0
O
(1)1个T内物体的路程为4A
(2)T内物体的路程为2A
(3)T内物体的路程：
①若从平衡位置或最大位移处开始运动，路程为A
②若从平衡位置与最大位移之间某处向着平衡位置运动，路程大于A
③若从平衡位置与最大位移之间某处向着最大位移处运动，路程小于A
二、周期和频率
【典例2】 一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动的周期为多少？
解析：设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O点到M点运动时间为0.13 s，再由M点经最右端A点返回M点经历时间为0.1 s。
O
M
A
0.13 s
0.1 s
根据以上分析，可以看出从O→M→A历时t=0.13 s+0.05 s=0.18 s，根据简谐运动的对称性，可得到T1＝4t＝0.72 s。
O
M
A
A′
A′
0.13 s
0.1 s
二、周期和频率
对于正弦函数x=Asin(ωt+φ)，要使函数值循环变化一次，(ωt+φ)需要增加多少？这一变化过程所需的时间为多少？
于是有：[ω(t+T)+φ]-(ωt+φ)=2π
由此解出：
根据周期与频率的关系，则：ω=2πf
6.圆频率ω：是一个与周期成反比，与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”。它也表示简谐运动的快慢。
圆频率：
二、周期和频率
实验：测量小球振动的周期
如图，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离 A，放手让其运动，A 就是振动的振幅。给你一个停表，怎样测出振子的振动周期T？
用停表测出钢球完成 n 个全振动所用的时间 t， t /n就是振动的周期。n 的值取大一些可以减小测量误差。再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动的周期。
T=t/n
换用不同的弹簧和小球，你发现有何不同？
二、周期和频率
结论：弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，而与振幅无关，所以常把周期和频率叫做固有周期和固有频率。
实验探究：小球的振动周期与什么有关？
实验方法：控制变量法
3.振动周期与振子的质量有关，质量较小时，周期较小。
2.振动周期与弹簧的劲度系数有关，劲度系数较大时，周期较小。
1.振动周期与振幅大小无关。
实验结果：
三、相位
1.定义：物理学中把(ωt+φ)叫作相位。其中φ是t=0时的相位，称作初相位或初相。
2.意义：是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在各个时刻所处的不同状态。
3.相位差：实际上经常用到的是两个相同频率的简谐运动的相位差，简称相差。
当 ， 即2的相位比1超前 ，或者说1的相位比2落后
相位与相位差
两球相位相同
4球相位落后于3球
1
2
3
4
四、简谐运动的表达式与图像
振幅
角速度
（圆频率）
相位
初相位
（平衡位置处开始计时）
（最大位移处开始计时）
同理：画出它的图像
简谐运动的描述
周期
相位
弹簧振子的振动周期与其振幅无关
弹簧劲度系数越大，振子的周期越小
振子质量越大，振子的周期越大
描述振动物体所处的状态
简谐运动的表达式
x=Asin( t+φ0 )
【典例3】如图所示为A、B两个简谐运动的位移-时间图像。试根据图像写出：
(1)A与B各自的振幅、周期。
(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
(3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移。
解析：
(1)由图像可知，
AA=0.5 cm，TA=0.4 s；AB=0.2 cm，TB=0.8 s。
(2)ωA==5π rad/s，φA=π，ωB==2.5π rad/s, φB=,
所以xA=0.5sin(5πt＋π)cm, xB=0.2sin(2.5πt+ cm
(3)将t=0.05 s代入表达式得：xA＝－ cm；xB＝0.2sinπ cm。
【典例4】 (多选) 如图，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离是10 cm，B→C运动时间是1 s，则(　 　)
A．振动周期是1 s，振幅是10 cm
B．从B→O→C振子做了一次全振动
C．经过两次全振动，通过的路程是40 cm
D．从B开始运动经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析： B→C→B为一次全振动，时间为2 s，所以周期为2 s，AB错；BC间的距离等于2A，A=5 cm，经过2次全振动，路程为8A=40 cm，C对；3/4个周期，路程为3A=30 cm，D对。
CD
【典例5】如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A．t＝0.8s时，振子的速度方向向右
B．t＝0.2s时，振子在O点右侧6cm处
C．t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度等大反向
D．t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小
【正确答案】C
【典例6】（2021·广东·高考真题）如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经 时间，小球从最低点向上运动的距离_____ （选填“大于”、“小于”或“等于”）；在 时刻，小球的动能______（选填“最大”或“最小”）。
【答案】小于 最大
【练习1】(多选)如图甲所示,一弹簧振子在A、B间振动,取向右为正方向,振子经过O点时开始计时,其振动的x-t图像如图乙所示。则下列说法正确的是(　　)
A.t2时刻振子在A点
B.t2时刻振子在B点
C.在t1~t2时间内,振子的位移在增大
D.在t3~t4时间内,振子的位移在减小
答案:AC
解析:振子在A点和B点时的位移最大,由于取向右为正方向,所以振子运动到A点是正向最大位移,运动到B点是负向最大位移,则t2时刻,振子在A点,t4时刻,振子在B点,故A项正确,B项错误;振子的位移是以平衡位置为起点,所以在t1~t2和t3~t4时间内振子的位移都在增大,故C项正确,D项错误。
【练习2】 一个弹簧振子经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动,如图甲所示，它的运动图像如图乙所示。设向右为正方向，则：
(1)OB=　　　　 cm。
(2)0.2 s末振子的速度方向是　　　　。
(3)0.4 s末振子的加速度方向是　　　　。
(4)0.7 s时,振子位置在　　　　点与　　　　点之间。
(5)振子从O经B运动到A所需时间t=　　　　 s。
甲
正
A
O
B
x/cm
t/s
5
0
-5
0.4
0.8
乙

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