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2023 年初中学生核心素养与综合能力测试
八年级数学试题 2023.12
注意事项：
1.本试题共个大题，计 100 分.考试时间为 60 分钟.
2.答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．解答要写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.所有答案都必须写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效.
3.解答题（共 8 题，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） .
1.（本题满分 10 分）
如图，在△ABC 中，点 P，Q 分别在边 BC 及 CB 的延长线上，且 BQ＝CP。
（1）实践与探索：利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）。
①作∠PQM＝∠CBA，且点 M 在 QC 的上方；
②在 QM 上截取 QR＝BA；
③连接 PR。
（2）猜想与验证：试猜想线段 AC 和 RP 的数量关系，并证明你的猜想。
2. （本题满分 12 分）
规定：a是不为 1的有理数，我们把 称为 a的差倒数，如：2的差倒数是 ＝﹣1，﹣1的差
倒数是 。
已知 a1＝3，a2是 a1的差倒数，a3是 a2的差倒数，a4是 a3的差倒数，…，以此类推，请分别写出 a2,a3,a4,a5,a6
的值与 a2023 的值。
八年级数学素养 第 1 页（共 4 页）
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3.（本题满分 12 分）
已知长方形纸片 ABCD，点 E，F，G 分别在边 AB，DA，BC 上，将三角形 AEF 沿 EF 翻折，点 A 落在
点 A′处，将三角形 EBG 沿 EG 翻折，点 B 落在点 B′处。
（1）点 E，A′，B′共线时，如图①，求∠GEF 的度数；
（2）点 E，A′，B′不共线时，如图②③，设∠GEF＝α，∠A'EB'＝β，请分别写出 α、β 满足的数量关系
式，并说明理由。
4.（本题满分 12 分）
阅读材料：
① 方程 x+ ＝2+ 的解为：x1＝2；x2＝ ；
② 方程 x+ ＝m+ 的解为：x1＝m；x2＝ ；
③ 方程 x﹣ ＝m﹣ 的解为：x1＝m；x2＝﹣ 。
归纳解法：④ 方程 x+ ＝b+ 的解为：x1＝ ；x2＝ 。
应用解决：⑤ 利用④中的结论，直接解关于 x 的方程：x+ ＝a+ 。
八年级数学素养 第 2 页（共 4 页）
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5.（本题满分 14 分）
某班为了从甲、乙两人中选出一人担任班长，进行了一次测评活动，邀请了五位老师作为评委，对学
生进行个人测评，全班 50 位同学进行民主测评，结果如图所示：
【确定规则】
①个人测评得分（x1）算法：去掉一个最高分和一个最低分后，再算出平均分；
②民主测评得分（x2）算法：“优”票数×3+“良”票数×2+“中”票数×1；
③综合得分（X）算法：X＝0.4x1+0.6x2。
【问题解决】
（1）如果只采用个人测评规则，你认为获胜者是谁；
（2）分别求甲的民主测评得分和乙的民主测评得分；
（3）综合得分高的学生当选为班长，通过计算，判断最终当选的是甲还是乙？
6. （本题满分 12 分）
（1）如图 1，已知：在△ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，过点 D 作 EF∥BC，分
别交 AB、AC 于 E、F 两点，则 EF 与 BE、CF 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图 2，若将（1）中“△ABC 中，AB＝AC”改为“若△ABC 为不等边三角形，”其余条件不变，则
EF 与 BE、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结论；
（3）已知：如图 3，D 在△ABC 外，AB＞AC，且 BD 平分∠ABC，CD 平分△ABC 的外角∠ACG，过
点 D 作 DE∥BC，分别交 AB、AC 于 E、F 两点，则 EF 与 BE、CF 之间又有何数量关系呢？直接写出结论
不证明。
八年级数学素养 第 3 页（共 4 页）
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7.（本题满分 14 分）
（1）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D 在 BC 上，且 BD＝BA，点 E 在 BC 的延长线
上且 CE＝CA，试求∠DAE 的度数；
（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？说明理
由；
（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE 与∠BAC
有怎样的大小关系？
8.（本题满分 14 分）
【实践探究】
操作一：（1）如图①，已知三角形纸片 ABC，AB＝AC，∠B＝30°，将三角形纸片沿过点 A 的直线折叠，
折痕为 AD，点 B 的对应点为点 E，AE 与 CD 交于点 F，且 DE∥AC，求∠DAF 度数；
操作二：（2）如图②，将△DFE 沿 DF 继续折叠，点 E 的对应点为点 G，DG 与 AF 交于点 M，DG 与
AC 交于点 N，求图②中度数为 30°的角共有几个？
【问题解决】
（3）求证：△AMN≌△△DMF；
（4）若 BC＝3，求线段 MN 的长 。
八年级数学素养 第 4 页（共 4 页）
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八年级数学试题答案
1. 解：（1）如图所示：PR 即为所求；……………………………………………………4分
（2）AC＝RP，理由如下：
∵BQ＝CP，
∴BQ+BP＝CP+BP，
∴QP＝BC，
由作图过程可知：∠PQM＝∠CBA，QR＝AB，
∴△PQM≌△CBA（SAS），
∴AC＝RP．…………………………………………………………………………………10 分
2. 解：∵a1＝3，a2 为 a1 的差倒数，
∴a2＝ ＝ ，……………………2分
又 a3 为 a2 的差倒数，∴a3＝ ＝ ，……………………4分
又 a4 为 a3 的差倒数，∴a4＝ ＝3，…………………………6分
又 a5 为 a4 的差倒数，∴a5＝ ＝ ，……………………8分
同理 a6＝ ，a7＝3，…，
∵2023÷3＝674…1，
∴a2023＝3．
故答案为：3…………………………………………………………12分
3. 解：（1）如图①中，由翻折得：∠AEF＝∠A'EF，∠BEG＝∠B'EG，
∴2∠B'EF+2∠B'EG＝180°，
∴∠GEF＝∠B'EF+∠B'EG＝90°．………………………………………………4分
（2）如图②，结论：2α﹣β＝180°．
理由：如图②中，由翻折得：∠AEF＝∠A'EF，∠BEG＝∠B'EG，
九年级数学答案及评分标准 第 1 页（共 6 页）
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∵∠GEF＝α，∠A'EB'＝β，
∴2∠A'EF+2∠B'EG+∠A'EB'＝180°，
即 2（180°﹣α）+β＝180°
∴2α﹣β＝180°，……………………………………………………………………8分
如图③，结论：2α+β＝180°，
理由：∵∠AEF＝∠A'EF，∠BEG＝∠B'EG，
∵∠GEF＝α，∠A'EB'＝β，
∴2∠A'EF+2∠B'EG﹣∠A'EB'＝180°，
2（180°﹣α）﹣β＝180°，
∴2α+β＝180°．……………………………………………………………………12分
4. 解：阅读：
①方程 x+ ＝2+ 的解为：x1＝2；x2＝
②方程 x+ ＝m+ 的解为：x1＝m；x2＝
③方程 x﹣ ＝m﹣ 的解为：x1＝m；x2＝﹣
归纳：
④方程 x+ ＝b+ 的解为：x1＝b；x2＝ ……………………………………6分
应用：⑤利用④中的结论，直接解关于 x 的方程：x+ ＝a+
解：方程可变为：（x﹣1）+ ＝（a﹣1）+
利用④中的结论得：x﹣1＝a﹣1；x﹣1＝
解得 x1＝a；x2＝
经检验，方程的解为：x1＝a；x2＝ ……………………………………12分
5. 解：（1）甲的个人测评得分为 ＝92（分），
乙的个人测评得分为 ＝89（分），
∵92＞89
九年级数学答案及评分标准 第 2 页（共 6 页）
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∴获胜者是甲；
故答案为：甲；…………………………………………………………………………4分
（2）甲的民主测评得分为 40×3+7×2+5×1＝139（分），
乙的民主测评得分为 45×3+6×2+1×1＝148（分），
故答案为：139 分，148 分；……………………………………………………………8分
（3）甲的综合得分为 0.4×92+0.6×139＝120.2（分），
乙的综合得分为 0.4×89+0.6×148＝124.4（分），
∵124.4＞120.2，
∴最终当选的是乙．……………………………………………………………………12分
6. 解：解：（1）BE+CF＝EF．
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
即 BE+CF＝EF；…………………………………………………………4分
（2）BE+CF＝EF，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，
九年级数学答案及评分标准 第 3 页（共 6 页）
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∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，
∴BE＝DE，CF＝DF，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即 BE+CF＝EF．…………………………………………8分
（3）BE﹣CF＝EF，
由（1）知 BE＝ED，
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，
∴CF＝DF，
又∵ED﹣DF＝EF，
∴BE﹣CF＝EF．…………………………………………………………………………12分
7. 解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝ （180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝ ∠ACB＝22.5°，
在△ABE 中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45 度；…………………………5分
（2）不改变．
设∠CAE＝x，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝x，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，
在△ABC 中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝ （180°﹣∠B）＝x+45°，
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在△ABE 中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，
＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，
＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°；………………………………………………10分
（3）∠DAE＝ ∠BAC．
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，
则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，
∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，
∴∠DAE＝ ∠BAC．………………………………………………………………14 分
8. 解： （1）解：由折叠可得：△ABD≌△AED，
∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAD，
∵∠B＝30°，AB＝AC，
∴∠EAC＝180°﹣∠B﹣∠C﹣2∠DAE＝120°﹣2∠DAE，
∵DE∥AC，
∴∠E＝∠EAC，
∴120°﹣2∠DAE＝30°，
∴∠DAE＝45°．
∴∠DAF＝45°．…………………………………………………………………………4 分
（2）解：由题意可得：△ABD≌△AED，△DEF≌△DGF，
∴∠B＝∠E，∠E＝∠G，
∴∠B＝∠E＝∠G＝∠C＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠E＝∠EAC＝30°，
∴∠AFC＝180°﹣∠C﹣∠EAC＝120°，
∴∠DFE＝120°，
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∴∠EDF＝180°﹣∠E﹣∠DFE＝30°，
∵△DEF≌△DGF，
∴∠EDF＝∠FDG＝30°．
故答案为：7．……………………………………………………………………8分
（3）证明：∵∠MAN＝∠MDF＝30°，∠MFD＝60°，
∴∠DMF＝180°﹣∠MDF﹣∠MFD＝90°，
∴∠DMF＝∠AMN＝90°，
∵∠DAF＝45°，
∴△ADM 为等腰直角三角形，
∴AM＝DM，
在△AMN 和△DMF 中，
，
∴△AMN≌△DMF（ASA）．……………………………………………………11分
（4）解设 MN＝x，由（1）可知；MF＝x，
在 Rt△AMN 中，∠MAN＝30°，
∴AM＝ x，
∵△ADM 等腰直角三角形，
∴DM＝ x，AD＝ x，
在 Rt△DMF，∠MDF＝30°，
∴DF＝2x，MF＝x，
∴AF＝ x+x，
∵∠FAC＝∠C＝30°，
∴FC＝ x+x，
∵∠FDE＝∠FED＝30°，
∴DF＝EF＝2x，
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∴DE=2 x，
∴BD=2 x，
∴BC＝BD+DF+FC＝3 ，
∴ =3，
∴x= ，
∴MN＝ ．………………………………………………………………14 分
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