资源简介

应用geogebra探究平面曲线
——以卡西尼卵形线为例
已知平面内两定点A,B的坐标分别为?????????,????,????????,????，
点P为该平面上一动点
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问题1 若|????????|+|????????|=???????? ,则点P的轨迹是什么图形？
?
问题2 若|????????|?|????????|=???????? ,则点P的轨迹是什么图形？
?
问题4 若|????????|?|????????|=???? ,则点P的轨迹是什么图形？
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问题驱动，探索新知
问题3 若|????????||????????|=???? ,则点P的轨迹是什么图形？
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问题4 已知平面内两定点A,B的坐标分别为?????????,????,
????????,????，点P为该平面上一动点，若|????????|?|????????|=???? ,
则点P的轨迹是什么图形？
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活动：请大家写出轨迹方程，并利用GGB模拟其图象.
问题驱动，探索新知
17世纪80年代，法国天文学家卡西尼在研究土星及其
卫星的运行规律时提出了这个问题.
深入研究后，卡西尼发现，平面内与两个定点????????,????????的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，故叫做卡西尼卵形线，
并把这两个定点叫做卡西尼卵形线的焦点，
两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距.
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卡西尼卵形线的定义
如今，卡西尼卵形线在天文学、航空航天、电磁学等领域有广泛且重要的应用.在数学中，卵形线也是解析几何研究的一类重要曲线.
我们发现，刚刚绘制的卵形线具有对称性，不妨令经过卵形线两焦点????????,????????的直线为????轴，线段????????????????的垂直平分线为????轴，建立平面直角坐标系????????????.
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设P是卵形线上任意一点，卵形线的焦距为????????????>????，那么焦点????????,????????的坐标分别为?????,????和????,????，设点P与焦点的距离之积等于????????(????>????).
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请同学们写出卵形线的方程并化简整理.
合理建系，建立方程
卡西尼卵形线的方程
坐标轴是卡西尼卵形线的对称轴
原点是卡西尼卵形线的对称中心
活动探究
活动1 令 |????????|?|????????|=????????，利用GGB模拟其轨迹图象.
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已知平面内两定点的坐标分别为?????????????,????，????????????,????，
点P为该平面上一动点
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活动2 令 |????????|?|????????|=????????，利用GGB模拟其轨迹图象.
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活动3 令 |????????|?|????????|=????????，利用GGB模拟其轨迹图象.
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请同学们将探究结果，填入表格.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}????
2
2
2
????
5
2
3
形态
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
2
2
2
2
形态
活动探究
我们发现，卡西尼卵形线有多种形态，
那卡西尼卵形线究竟有多少种形态呢？
而卡西尼卵形线的形态与哪些变量有关？
思考辨形
卡西尼卵形线的离心率????????
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}????=????????
0????=1
????>1
形态
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
形态
我们发现：当0?
初步辨形
如何进一步对0选择什么量研究比较好？
考虑纵坐标的最值
来研究分类标准
思考辨形
当0c，由图易知
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}????
????????=????????
????????形态
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
形态
深入辨形
(2023届广州一模第12题)平面内到两个定点距离之积为常数的点的
轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的
运行规律时发现的.已知平面直角坐标系????????????中，?????????,????,????????,????，
动点P满足|????????|?|????????|=5，则下列结论正确的是( )
?
课堂检测，深化理解
曲线的
几何特征
曲线的
方程
曲线的
几何性质
曲线的
应用拓展
总结归纳，提炼升华
通过本节课的探究，请同学们总结解析几何中平面曲线的研究思路.
课后思考，应用迁移
类比圆的半径，我们把卡西尼卵形线上任意一点与中心（原点）的距离称为卡西尼卵形线的卵半径.将卡西尼卵形线上任意一点与焦点的距离称为卡西尼卵形线的卵焦半径.以卡西尼卵形线上任意一点????????,????与两个焦点?????????????,????,????????????,????为顶点的三角形叫做焦点三角形.若点????满足?????????????????，称这样的点为卡西尼卵形线的稳定点.
请同学们继续探究卡西尼卵形线的有界性、范围、卵半径、卵焦半径、稳定点及焦点三角形面积最大值等问题.
(结合函数、方程、不等式、几何作图软件）

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