资源简介

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11.3二重积分的应用
一、 立体体积和平面图形的面积
1.立体体积
例1 求由曲面 及 所围成的立体的体积．
解
x
y
z
2 曲面面积
假设曲面S的方程为 ，在xoy面上的投影是有界闭区域D，函数 在D上具有连续偏导数，求曲面的面积．
d σ
分析：面积 A 可看成曲面上各点
处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设曲面在点处的法向量与z轴正向的夹角γ为锐角，则切平面与面的夹角也为γ
曲面S的面积为
说明：（1）曲面的方程为 ，在yoz面上的投影区域 ,曲面的面积为
（2）曲面的方程为 ,在xoz面上的投影区域 ,曲面的面积为
例2 求球面 被圆柱面 截下部分的面积.
解 利用对称性，只需求出球面在第
一卦限部分的面积，球面方程
为 ,投影区域为
半圆形区域.
3.平面薄片的质心
设有一平面薄板，它占有xoy面上的有界闭区域D，在点(x,y)处的面密度为 ，且在上连续，求薄片的的质心坐标.
分析 薄片对x轴和y轴的静力矩分别为
平面薄片的质心坐标为
说明 如果薄片是均匀的，则面密度为常数，从而薄片的质心即为薄片占有的平面图形的几何中心
例3 设平面薄板D由 与x轴围成，它的面密度 ，求薄板的质心坐标.
0
D
解 先求区域D的面积A
由于区域关于直线对称，所以质心在上，即 ，
3.平面薄片的转动惯量
引入 根据力学知识，由个n质点构成的质点组对x轴、y轴和原点O的转动惯量分别为,其中(xi,yi)是第i个质点的位置坐标，mi是第i个质点的质量
设一平面薄片占有xoy面上的有界闭区域D，点处的面密度为 ，且在上连续，求薄片对x轴、y轴和原点O的转动惯量．
分析 采用与前面类似的方法，可以得到薄片的相应转动惯量分别为
例4 求半径为a的均匀半圆形薄片关于其对称轴的转动惯量．
解 建立坐标系如图，则所求转动惯量即为对 y轴的转动惯量．设面密度为常数 ，采用极坐标得
随堂练习
（1）求平面 被椭圆柱面 所截下的曲面面积.
（2）求由抛物线 及直线 所围成的均匀薄片，密度 对于轴的转动惯量.
3 条件极值
附有约束条件的极值问题称为条件极值,考虑直接求函数在满足约束条件时的极值的方法—拉格朗日乘数法．利用拉格朗日乘数法求解该条件极值的具体步骤如下：
随堂练习
1.求 的极值.
2.函数 在 , , 所围成的闭区域上的最大值和最小值.
3.某厂要用铁板做一个体积为 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺时，才能使用料最省？
4.求函数 在附加条件 （ )下的极小值.
小结

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