资源简介

§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.2　一元二次不等式及其解法
【学习主题】 新授课
【课时安排】1课时
【学习目标】
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；
（3）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．
【学习重难点】
教学重点： 一元二次不等式的解法
含有字母的一元二次不等式问题的处理方法
教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．
不等式恒成立等综合性问题的解法
【学情分析】 从知识储备来说，学生在初中已经学习了一元二次方程和一元二次函数，对不等式的性质有了初步了解，这为我们学习一元二次不等式打下了基础。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升。在情感态度上学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。因此对于这个阶段的学生来说，对一元二次不等式及其解法的学习有一定的基础和必要.
【学法建议】（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型
（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系。
（3）会解一元二次不等式。
【学习过程】
课前预习，发现问题
1.阅读必修第一册教材第34-37页.结合课本及以上一节学习知识自主学习：
问题1：什么是一元二次不等式 不等关系的表示符号有哪些？
问题2：一元二次函数的零点？
问题3：三个二次之间的关系？
问题4：怎样解不含参数的一元二次不等式？
问题5：怎样解含参数的一元二次不等式？
问题6：怎样解不等式恒成立问题？
2.基础知识自测
1.一元二次不等式的概念
定义 只含有一个 未知数 ，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
2.一元二次函数的零点
一般地，对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的 零点 。
①解方程；②作函数的图像；③解不等式
思考：在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？（请完成下表）
一次函数 的图象
一元一次方程 的解
一元一次不等式 的解
一元一次不等式 的解
如何解不等式？
3.一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数之间的关系：
对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题：
一元二次函数 的图像
的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根
的解
的解
【预习自测】
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)m＋5x<0是一元二次不等式．(　　)
(2)若不等式a＋bx＋c<0的解集为{x|0.(　　)
(3)若不等式a＋bx＋c>0的解集是{x|x<或x>}，则方程a＋bx＋c＝0的两个根是和.(　　)
(4)若方程a＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式a＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
二·课中学习，生成问题
【学习任务1】解不含参的一元二次不等式
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
例1　解下列不等式：
（1）﹣5x2+3x+14≤0； （2）（5﹣2x）（x+3）＞9．
【解题思路】（1）求出方程﹣5x2+3x+14＝0的解，根据不等式与二次函数的关系写出不等式的解集；
（2）不等式可化为2x2+x﹣6＜0，求出2x2+x﹣6＝0的解，根据不等式与二次函数的关系求出不等式的解．
【解答过程】解：（1）令﹣5x2+3x+14＝0，解得x或x＝2，
所以不等式﹣5x2+3x+14≤0的解集为（﹣∞，]∪[2，+∞）；
（2）由题意，不等式（5﹣2x）（x+3）＞9，可化为2x2+x﹣6＜0，
令2x2+x﹣6＝0，解得x或x＝﹣2，所以2x2+x﹣6＜0的解集为（﹣2，），
即（5﹣2x）（x+3）＞9的解集为（﹣2，）．
【课堂评价1】..解下列不等式：
（1）2x2﹣5x+3＜0；（2）﹣3x2+x+4≤0．
（3）﹣x2+2x＜﹣3；（4）x2﹣2x+1≤0．
【解题思路】（1）不等式化为（x﹣1）（2x﹣3）＜0，求出解集即可；
（2）不等式化为3x2﹣x﹣4≥0，再求不等式的解集．
【解答过程】解：（1）不等式2x2﹣5x+3＜0可化为（x﹣1）（2x﹣3）＜0，
解得1＜x，
所以不等式的解集为（1，）；
（2）不等式﹣3x2+x+4≤0可化为3x2﹣x﹣4≥0，
即（x+1）（3x﹣4）≥0，
解得x≤﹣1或x，
所以不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．
（3）﹣x2+2x＜﹣3 x2﹣2x﹣3＞0 （x+1）（x﹣3）＞0，
由“两实数相乘，同号得正，异号得负”可得①，或②，
解①得x＞3，解②得x＜﹣1，
故﹣x2+2x＜﹣3的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；
（4）x2﹣2x+1≤0 （x﹣1）2≤0，解得x＝1，
故x2﹣2x+1≤0的解集是{1}．
【课堂展示】由学生快问快答
学生反思总结：解一元二次不等式的口诀： 先看开口再看根，函数图象是根本。
横轴上方y为正，根间根外想谨慎。
【学习任务2】 解含参的一元二次不等式
（2021春 内江期末）解关于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0．
【解题思路】△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，讨论f（x）＝0的解，结合函数图象得出不等式的解集．
【解答过程】解：△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，方程f（x）＝0的解为﹣m，﹣1，
①当m＝1时，x≠﹣1，
②当m＜1时，x＞﹣m或x＜﹣1，
③当m＞1时，x＞﹣1或x＜﹣m．
综上，当m＝1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}，
当m＜1时，不等式的解集为{x|x＞﹣m或x＜﹣1}，
当m＞1时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣m}．
【课堂评价1】（2020秋 沧州期中）当b≠0时，解关于x的不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0．
【解题思路】不等式化为（x﹣1）（bx﹣2+b）≤0，讨论b的取值情况，求出对应不等式的解集．
【解答过程】解：b≠0时，不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0化为（x﹣1）（bx﹣2+b）≤0；
b＞0时，不等式化为（x﹣1）（x1）≤0；
当0＜b＜1，即1＞1时，解不等式得1≤x1；
当b＝1，即1＝1时，解不等式得x＝1；
当b＞1，即1＜1时，解不等式得1≤x≤1；
当b＜0时，不等式化为（x﹣1）（x1）≥0，
且1＜1，解得x1或x≥1；
综上知，0＜b＜1时，不等式的解集为[1，1]；
b＝1时，不等式的解集是{1}；
b＞1时，不等式的解集为[1，1]；
b＜0时，不等式的解集为（﹣∞，1]∪[1，+∞）．
【课堂评价2】（2020秋 临海市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．
（1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a、b的值；
（2）若b＝2，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
【解题思路】（1）由题意得，x＝﹣1，x＝3是ax2+bx﹣a+2＝0的根，结合方程的根与系数关系可求a，b，
（2）b＝2，ax2+bx﹣a+2＝ax2+2x﹣a+2＝（x+1）（ax﹣a+2）＞0，然后对a进行分类讨论，结合二次不等式的求法可求．
【解答过程】解：（1）若ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，
则x＝﹣1，x＝3是ax2+bx﹣a+2＝0的根，
由方程的根与系数关系可得，，
解得，a＝﹣1，b＝2，
（2）b＝2，ax2+bx﹣a+2＝ax2+2x﹣a+2＝（x+1）（ax﹣a+2）＞0，
当a＝0时，解得x＞﹣1，
当a＜0时，可化为（x+1）（x）＜0，
解得，﹣1＜x，
当a＞0时，可化为（x+1）（x）＞0，
①0＜a＜1时，1，解不等式得，x＞﹣1或x，
②a＝1时，1，解不等式得，x≠﹣1，
③a＞1时，1，解不等式得，x＜﹣1或x．
综上，当a＝0时，解集{x|x＞﹣1}，
当a＜0时，解集{x|﹣1＜x}，
0＜a＜1时，解集{x|x＞﹣1或x}，
②a＝1时，解集{x|x≠﹣1}，
③a＞1时，解集{x|x＜﹣1或x}．
【课堂评价3】（2021春 莲池区校级期中）已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）．
（1）若f（8）＞0，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．
【解题思路】（1）由f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0，解一元二次不等式即可．
（2）把不等式f（x）＜0化为（x﹣a）（x﹣a3）＜0，再分类讨论a与a3的大小，然后写出解集即可．
【解答过程】解：（1）由f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4，
若f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0，
可得a＜2或a＞8，
故实数a的取值范围为（﹣∞，2）∪（8，+∞）．
（2）不等式f（x）＜0可化为（x﹣a）（x﹣a3）＜0，
又由a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1），
①当a＝0或a＝﹣1或a＝1时，不等式f（x）＜0的解集为 ，
②当a＞0时，
若0＜a＜1时，a＞a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a3，a），
若a＞1时，a＜a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a，a3），
③当a＜0时，
若﹣1＜a＜0时，a＜a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a，a3），
若a＜﹣1时，a＞a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a3，a），
综上：当a＝0或一1或1时，不等式f（x）＜0的解集为 ，
当0＜a＜1或a＜﹣1时，不等式f（x）＜0的解集为（a3，a），
当﹣1＜a＜0或a＞1时，不等式f（x）＜0的解集（a，a3）．
【课堂展示】由学生快问快答
学后反思：如何解含参的一元二次不等式？
解含参数的一元二次不等式时
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【学习任务3】　三个“二次”间的关系及应用
【例3】（2020秋 鸡泽县校级月考）一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为2，﹣1，则当a＜0时，不等式ax2+bx+c≥0的解集为　 　．
【解题思路】由根与系数的关系得出b、c与a的关系，将b、c用a表示出来，再代入不等式化简求得所求不等式的解集．
【解答过程】解：由一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为2，﹣1，
所以2﹣1＝1，且2×（﹣1）＝﹣2；
所以b＝﹣a，c＝﹣2a，且a＜0，
所以不等式ax2+bx+c≥0可化为x2﹣x﹣2≤0，
解得﹣1≤x≤2，
所以所求不等式的解集为[﹣1，2]．
故答案为：[﹣1，2]．
【课堂评价1】（2021春 河西区期末）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集为 　 　．
【解题思路】根据不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集求出a、b的值，代入不等式bx2﹣ax﹣1＞0中，求解集即可．
【解答过程】解：因为不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，
所以2和3是一元二次方程x2﹣ax﹣b＝0的两个实数根，
由根与系数的关系知，
解得a＝5，b＝﹣6；
所以不等式bx2﹣ax﹣1＞0化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，
因式分解为（3x+1）（2x+1）＜0，
解得x，
所以该不等式的解集为{x|x}．
故答案为：{x|x}．
【课堂评价2】（2020秋 河东区校级月考）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣2＜x＜3}，则不等式bx2+ax+c＜0的解集是 　 　．
【解题思路】直接利用不等式和方程之间的转换求出a和b及a和c的关系，进一步利用一元二次不等式的应用求出结果．
【解答过程】解：不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣2＜x＜3}，
所以﹣2和3为方程ax2﹣bx+c＝0的解，
所以，，
所以b＝a，c＝﹣6a．
故不等式bx2+ax+c＜0转换为ax2+ax﹣6a＜0，
由于a＜0，
所以x2+x﹣6＞0，解得x＞2或x＜﹣3．
故不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣3}．
故答案为：{x|x＞2或x＜﹣3}
【课堂评价3】（2020秋 亭湖区校级月考）已知实数a，b满足0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是　 　．
【解题思路】将不等式变形为[（a+1）x﹣b] [（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有4个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为x1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．
【解答过程】解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2即 （a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，
∵0＜b＜1+a，
[（a+1）x﹣b] [（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，
∴不等式的解集为x1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个，
∴﹣32，∴2a﹣2＜b≤3a﹣3，
∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，
综上，1＜a＜3．
故答案为：（1，3）．
【课堂展示】由学生快问快答
学后反思;【方法点拨】
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
【学习任务4】不等式恒成立、能成立问题
例4（2021春 百色期末）对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0
【解题思路】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求．
【解答过程】解：1°a＜0时，△＝4a2+4a（a+2）＝8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜0
2°a＝0时，﹣2＜0成立
综上，实数a的取值范围是﹣1＜a≤0
故选：C．
【课堂评价1】（2020秋 天河区校级月考）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则能使不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0成立的x的集合可以为（　　）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1}
【解题思路】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集求出a、b和c的关系，判断a＜0，再代入不等式ax2+（b﹣2a)x+a﹣b+c＜0中求出关于x的不等式即可．
【解答过程】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
所以方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和2，且a＜0；
由根与系数的关系知，；
解得b＝﹣a，c＝﹣2a；
所以不等式ax2+(b﹣2a)x+a﹣b）+c＜0可化为
ax2﹣3ax＜0，且a＜0；
化简得x2﹣3x＞0，
解得x＜0或x＞3；
所以x的取值范围是{x|x＜0或x＞3}．
故选：BC．
【课堂评价2】（2020秋 滨海新区期末）已知关于x的不等式的解集为{x|0＜x＜2}，若对于 x∈R，不等式ax2+2ax﹣（a+m）＜0恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
【解题思路】根据不等式的解集求出m的值，
再对a讨论，求出不等式恒成立时实数a的取值范围．
【解答过程】解：不等式化为x[x﹣（5﹣m）]＜0，其解集为{x|0＜x＜2}；
所以2﹣（5﹣m）＝0，解得m＝2；
若对于 x∈R，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，
则a＝0时，不等式为﹣2＜0，满足题意；
a≠0时，应满足，
即，
解得﹣1＜a＜0；
综上知，实数a的取值范围是（﹣1，0]．
故答案为：（﹣1，0]．
【课堂评价3】（2020秋 济宁期末）设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，1），求实数a，b的值；
（Ⅱ）若f（1）＝0，且存在x∈R，使f（x）＞4成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）利用一元二次不等式的解法即可求解；（Ⅱ）由f（1）＝0可得：b＝﹣a﹣1，不等式化简为ax2﹣（a+3）x﹣1＞0成立，然后讨论a≥0和a＜0两种情况，进而可以求解．
【解答过程】解：（Ⅰ）由题意可知：方程ax2+（b﹣2）x+3＝0的两根是1，﹣1，
则，解得a＝﹣3，b＝2，
（Ⅱ）由f（1）＝0可得：b＝﹣a﹣1，
存在x∈R，f（x）＞4成立，即使ax2+（b﹣2）x﹣1＞0成立，
代入b＝﹣a﹣1可得：ax2﹣（a+3）x﹣1＞0成立，
当a≥0时，显然存在x∈R使得上式成立，
当a＜0时，要满足题意只需方程ax2﹣（a+3）x﹣1＝0有两个不等的根即可，
所以△＝（a+3）2+4a＞0，即a2+10a+9＞0，
解得a＜﹣9或﹣1＜a＜0，
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣9）∪（﹣1，+∞）．
【课堂展示】由学生快问快答
学后反思【方法点拨】
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为
课后评价，解决问题
课本37页课后训练（写在书上明天检查）.
本节课对应题组训练。
【学后反思】1.你喜欢这节课吗 课堂上你认真思考了吗？
2.在课堂上你积极吗 　
3.在这节课上你的学习目标完成了吗 　　　　
4.你对本堂课重难点掌握了吗
5.在本节课上你掌握了哪些知识点和题型？
A组
1．若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14
【解析】
【分析】
先将不等式的解集转化为方程的根，再利用根与系数的关系求出和的值，即可解题.
【详解】
因为是不等式的解集，所以和是一元二次方程的两根，由根与系数的关系可得，解得，所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式，解题时将不等式的解集转化为方程的根，属于常考题型.
2．不等式的解集为则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系x1+x2= ，x1 x2= 结合二次函数的图象可得结果
【详解】
由题知-2和1是ax2-x+c=0的两根，
由根与系数的关系知-2+1= ，， 2×1＝ ，∴a=-1，c=2，
∴=-x2+x+2=-（x-）2+ ，故选C
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法和二次函数的图象，以及一元二次方程根与系数的关系.一元二次不等式，一元二次方程，与一元二次函数的问题之间可相互转化，也体现了数形结合的思想方法.
3．已知不等式的解集为，则不等式的解为（ ）
A． B．或
C． D．或
【解析】
【分析】
由题意知的两根为，且，将根代入方程从而可得，则所求不等式可化简为，解出即可选出正确答案.
【详解】
解：由题意知，的两根为，且，则 ，
解得 ，则代入得.因为，则，
所以可化为，解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解.本题的关键是由已知不等式的解求出系数间的关系.本题的易错点是忽略或者没有正确判断出的符号.
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【分析】
求出、中不等式的解集确定出、，找出与的交集即可．
【详解】
集合，集合，
所以.
故选：C
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是 ，则实数a的取值范围是______．
【解析】
由题意得
不等式组的解集为______.
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法，分别求得不等式和的解集，即可求解.
【详解】
由题意，不等式，即，解得或；
又由，即，解得，
所以不等式的解集为或.
即原不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．解下列不等式：
（1）； （2）； （3）
【解析】
【分析】
先将二次项系数化为正数，再因式分解，即可求得不等式解集.
【详解】
（1）等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；
（2）等价于，解得：或，所以不等式的解集为；
（3）等价于等价于，解得：，所以不等式的解集为.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查计算求解能力，属于基础题.
8．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
【解析】
【分析】
（1）A为空集，表示方程ax2﹣3x+2＝0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若A中只有一个元素，表示方程ax2﹣3x+2＝0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值．
（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1）（2）的结论，将（1）（2）中a的取值并进来即可得到答案．
【详解】
（1）若A是空集，
则方程ax2﹣3x+2＝0无解
此时 △＝9﹣8a＜0
即a
2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时△＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
若a＝0，则有A＝{}；若a，则有A＝{}；
3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a＝0或a
【点睛】
本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程ax2﹣3x+2＝0根的情况，是解答本题的关键．
若不等式的解集是，求不等式的解集．
【解析】
【分析】
由不等式的解集和方程的关系，可知，是方程的两根，利用韦达定理求出，再代入不等式，解一元二次不等式即可.
【详解】
解：由已知条件可知，且方程的两根为，；
由根与系数的关系得解得．
所以原不等式化为解得
所以不等式解集为
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.
10．（8分）（2021春 广安期末）已知关于x的不等式2kx2+kx0，k≠0．
（1）若k，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．
【解题思路】（1）将k值代入不等式，解不等式即可，
（2）分情况讨论，当2k＝0，即k＝0时，代回原不等式，成立留，不成立舍；
当2k≠0，即k≠0时，2kx2+kx0解集为R，则，最后取两种情况的并集．
【解答过程】解：（1）因为，关于x的不等化为，即2x2+x﹣3＜0，解集为，
（2）∵关于x的不等式的解集为R．∴分情况讨论，
当2k＝0，即k＝0时，原不等式为，恒成立，
当2k≠0，即k≠0时，，解得﹣3＜k＜0，
综上，故k的取值范围为（﹣3，0]．
B组
1．（3分）（2020秋 福州期末）关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞6}B．{x|﹣1＜x＜6} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜3}
【解题思路】把不等式化为（x+1）（x﹣6）＜0，求出解集即可．
【解答过程】解：不等式x2﹣5x﹣6＜0可化为（x+1）（x﹣6）＜0，解得﹣1＜x＜6，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜6}．
故选：B．
2．（3分）（2021春 绵阳期末）若关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【解题思路】由已知可得﹣3和1是方程ax2﹣2x+b＝0的两根，再由根与系数的关系求解．
【解答过程】解：∵关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，
∴﹣3和1是方程ax2﹣2x+b＝0的两根，
由根与系数的关系可得：，则a＝﹣1．
故选：B．
3．（3分）（2020秋 如东县校级月考）已知不等式：（1）x2﹣4x+3＜0；（2）x2+x﹣6＜0；（3）2x2﹣5x+m＜0，若要同时满足不等式（1）（2）的x也满足不等式（3），则有（　　）
A．m＞2 B．m＝2 C．m≤2 D．0＜m＜2
【解题思路】求出不等式①和不等式②的解集，以及解集的交集A，再求x∈A时不等式③恒成立，即可求出m的取值范围．
【解答过程】解：不等式①x2﹣4x+3＜0等价于（x﹣1）（x﹣3）＜0，
解得1＜x＜3，所以不等式①的解集为（1，3）．
不等式②x2+x﹣6＜0等价于（x+3）（x﹣2）＜0，
解得﹣3＜x＜2，所以不等式②的解集为（﹣3，2）．
记不等式①和不等式②解集的交集为A，则A＝（1，2）．
所以满足不等式①②的x也满足不等式③，
所以当x∈A时，2x2﹣5x+m＜0恒成立，
即m＜﹣2x2+5x恒成立．
又因为当x∈（1，2）时，f（x），
所以m的取值范围是m≤2．
故选：C．
4．（3分）（2020秋 和平区校级月考）若对任意的x大于0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＜2 B．﹣2a＜2
C．a＞2 D．a＜﹣2或a＞2
【解题思路】把不等式化为a＜x，求出x的最小值，即可求得实数a的取值范围．
【解答过程】解：x＞0时，不等式x2﹣ax+2＞0化为x2+2＞ax，
即a＜x；
又x22，
当且仅当x，即x时取“＝”；
所以实数a的取值范围是a＜2．
故选：A．
5．（3分）（2020秋 湛江期末）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（　　）
A． B．
C．{x|x或x} D．{x|x或x}
【解题思路】由题意可知，﹣3和2是方程ax2﹣5x+b＝0的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，即可得解．
【解答过程】解：由题意可知，﹣3和2是方程ax2﹣5x+b＝0的两根，且a＜0，
∴﹣3+2，（﹣3）×2，∴a＝﹣5，b＝30，
∴不等式bx2﹣5x+a＜0为30x2﹣5x﹣5＜0，
即5（3x+1）（2x﹣1）＜0，
解得x．
故选：A．
6．（3分）（2020秋 汕头校级期末）在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣2，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【解题思路】由定义运算化简不等式x⊙（x﹣2）＜0，然后直接求解一元二次不等式得答案．
【解答过程】解：由定义运算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，得
x⊙（x﹣2）＝x（x﹣2）+2x+x﹣2＝x2+x﹣2．
∴x⊙（x﹣2）＜0 x2+x﹣2＜0，
解得：﹣2＜x＜1．
∴满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为{x|﹣2＜x＜1}．
故选：B．
7．（4分）（2020秋 蚌埠期末）二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y ﹣10 ﹣4 0 2 2
则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为　（﹣1，2）（或{x|﹣1＜x＜2}）　．
【解题思路】由表中二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值列方程组求出a、b、c的值，再代入不等式ax2+bx+c＞0中化简求解即可．
【解答过程】解：由表中二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值，得，
解得a＝﹣1，b＝1，c＝2；所以y＝﹣x2+x+2，
不等式ax2+bx+c＞0化为﹣x2+x+2＞0，
即x2﹣x﹣2＜0，
解得﹣1＜x＜2，
所以该不等式的解集为（﹣1，2）（或{x|﹣1＜x＜2}）．
故答案为：（﹣1，2）（或{x|﹣1＜x＜2}）．
8．（4分）（2021春 莲池区校级期中）已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝　1　．
【解题思路】根据不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．
【解答过程】解：∵不等式x2+ax+b≥0解集为{x|x≤2或x≥3}，
故方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，
由根与系数的关系可得，∴，∴a+b＝1．
故答案为：1．
9．（4分）（2020秋 如东县期末）命题“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集为空集 ”是真命题，则实数a的取值范围是　[﹣3，0]　．
【解题思路】讨论a＝0和a≠0时，求出不等式的解集为空集时a的取值范围即可．
【解答过程】解：命题“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集为空集 ”是真命题，
当a＝0时，不等式为﹣3＞0，解集为空集 ；
当a≠0时，应满足，
即，
解得﹣3≤a＜0；
综上知，实数a的取值范围是[﹣3，0]．
故答案为：[﹣3，0]．
10．（8分）（2021春 昌吉州期中）（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为，求不等式qx2+px+1＞0的解集；
（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，求m的范围．
【解题思路】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出p，q的值，然后代入解不等式即可；
（2）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式求解即可．
【解答过程】解：（1）因为不等式x2+px+q＜0的解集为，
所以与是方程x2+px+q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得，解得；
所以不等式qx2+px+1＞0，可化为，
整理得x2﹣x﹣6＜0，
解得﹣2＜x＜3，
即不等式qx2+px+1＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}．
（2）一元二次不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，则△＜0，
即m2﹣4×1×（m+7）＜0，
整理得m2﹣4m﹣28＜0，
解得，
所以m的取值范围是（2﹣4，2+4）．§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.2　一元二次不等式及其解法
【学习主题】 新授课
【课时安排】1课时
【学习目标】
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；
（3）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．
【学习重难点】
学习重点： 一元二次不等式的解法
含有字母的一元二次不等式问题的处理方法
学习难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．
不等式恒成立等综合性问题的解法
【学情分析】 从知识储备来说，学生在初中已经学习了一元二次方程和一元二次函数，对不等式的性质有了初步了解，这为我们学习一元二次不等式打下了基础。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升。在情感态度上学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。因此对于这个阶段的学生来说，对一元二次不等式及其解法的学习有一定的基础和必要.
【学法建议】（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型
（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系。
（3）会解一元二次不等式。
【学习过程】
（一）阅读必修第一册教材第34-37页.结合课本及以上一节学习知识自主学习：
问题1：什么是一元二次不等式 不等关系的表示符号有哪些？
问题2：一元二次函数的零点？
问题3：三个二次之间的关系？
问题4：怎样解不含参数的一元二次不等式？
问题5：怎样解含参数的一元二次不等式？
问题6：怎样解不等式恒成立问题？
.
（二）预习自测
基础知识自测
1.一元二次不等式的概念
定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
2.一元二次函数的零点
一般地，对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的 。
①解方程；②作函数的图像；③解不等式
思考：在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？（请完成下表）
一次函数 的图象
一元一次方程 的解
一元一次不等式 的解
一元一次不等式 的解
如何解不等式？
3.一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数之间的关系：
对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题：
一元二次函数 的图像
的根
的解
的解
迁移与应用
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)m＋5x<0是一元二次不等式．(　　)
(2)若不等式a＋bx＋c<0的解集为{x|0.(　　)
(3)若不等式a＋bx＋c>0的解集是{x|x<或x>}，则方程a＋bx＋c＝0的两个根是和.(　　)
(4)若方程a＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式a＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
【学习任务1】解不含参的一元二次不等式
解下列不等式：
（1）﹣5x2+3x+14≤0； （2）（5﹣2x）（x+3）＞9．
【课堂评价1】.解下列不等式：
（1）2x2﹣5x+3＜0；（2）﹣3x2+x+4≤0．
（3）﹣x2+2x＜﹣3；（4）x2﹣2x+1≤0．
【课堂展示】由学生快问快答
【反思总结】解一元二次不等式的步骤？
【学习任务2】 解含参的一元二次不等式
【例2】（2021春 内江期末）解关于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0．
【课堂评价1】（2020秋 沧州期中）当b≠0时，解关于x的不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0．
【课堂评价2】（2020秋 临海市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．
（1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a、b的值；
（2）若b＝2，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
【课堂评价3】（2021春 莲池区校级期中）已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）．
（1）若f（8）＞0，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜0．
【课堂展示】由学生快问快答
【反思总结】解含参数一元二次不等式如何分类讨论？
【学习任务3】　三个“二次”间的关系及应用
例3（2020秋 鸡泽县校级月考）一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为2，﹣1，则当a＜0时，不等式ax2+bx+c≥0的解集为　 　．
【课堂评价1】（2021春 河西区期末）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集为 　 　．
【课堂评价2】（2020秋 河东区校级月考）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣2＜x＜3}，则不等式bx2+ax+c＜0的解集是 　 　．
【课堂评价3】（2020秋 亭湖区校级月考）已知实数a，b满足0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是　 　．
【课堂展示】由学生快问快答
【反思总结】三个“二次”有什么关系？
【学习任务4】　不等式恒成立、能成立问题
【例4】（2021春 百色期末）对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0
【课堂评价1】（2020秋 天河区校级月考）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则能使不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0成立的x的集合可以为（　　）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1}
【课堂评价2】（2020秋 滨海新区期末）已知关于x的不等式的解集为{x|0＜x＜2}，若对于 x∈R，不等式ax2+2ax﹣（a+m）＜0恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
【课堂评价3】（2020秋 济宁期末）设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，1），求实数a，b的值；
（Ⅱ）若f（1）＝0，且存在x∈R，使f（x）＞4成立，求实数a的取值范围．
【课堂展示】由学生快问快答
【反思总结】你会怎么解决恒成立、能成立问题？
课本37页课后训练（写在书上明天检查）.
本节课对应题组训练。
【学后反思】1.你喜欢这节课吗 课堂上你认真思考了吗？
2.在课堂上你积极吗 　
3.在这节课上你的学习目标完成了吗 　　　　
4.你对本堂课重难点掌握了吗
5.在本节课上你掌握了哪些知识点和题型？
A组
1．若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14
2．不等式的解集为则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知不等式的解集为，则不等式的解为（ ）
A． B．或
C． D．或
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是 ，则实数a的取值范围是______．
不等式组的解集为______.
7．解下列不等式：
（1）； （2）； （3）
8．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
若不等式的解集是，求不等式的解集．
10．（8分）（2021春 广安期末）已知关于x的不等式2kx2+kx0，k≠0．
（1）若k，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．
B组
1．（3分）（2020秋 福州期末）关于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞6}B．{x|﹣1＜x＜6} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜3}
2．（3分）（2021春 绵阳期末）若关于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
3．（3分）（2020秋 如东县校级月考）已知不等式：（1）x2﹣4x+3＜0；（2）x2+x﹣6＜0；（3）2x2﹣5x+m＜0，若要同时满足不等式（1）（2）的x也满足不等式（3），则有（　　）
A．m＞2 B．m＝2 C．m≤2 D．0＜m＜2
4．（3分）（2020秋 和平区校级月考）若对任意的x大于0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＜2 B．﹣2a＜2
C．a＞2 D．a＜﹣2或a＞2
5．（3分）（2020秋 湛江期末）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（　　）
A． B．
C．{x|x或x} D．{x|x或x}
6．（3分）（2020秋 汕头校级期末）在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，则满足x⊙（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣2，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
7．（4分）（2020秋 蚌埠期末）二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y ﹣10 ﹣4 0 2 2
则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　．
8．（4分）（2021春 莲池区校级期中）已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝　 　．
9．（4分）（2020秋 如东县期末）命题“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集为空集 ”是真命题，则实数a的取值范围是　 　．
10．（8分）（2021春 昌吉州期中）（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集为，求不等式qx2+px+1＞0的解集；
（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在实数集R上恒成立，求m的范围．

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