资源简介

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）解读
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
1．若函数最小正周期为，则　　▲　　.
2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是　　▲　　．
3．若将复数表示为是虚数单位）的形式，则　　▲　　．
4．若集合，则中有　　▲　　个元素
5.已知向量a和b的夹角为，则 ▲
6在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率 ▲
7.某地区为了解70～80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。
序号
（i）
分组
（睡眠时间）
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率
（Fi ）
1
[4,5）
4.5
6
0.12
2
[5,6）
5.5
10
0.20
3
[6,7）
6.5
20
0.40
4
[7,8）
7.5
10
0.20
5
[8,9]
8.5
4
0.08
8.设直线是曲线的一条切线，则实数b= ▲
9.如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得的方程：，请你完成直线的方程： ( ▲ )
10.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为 ▲
11. ▲
12. 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ▲
13.若，则的最大值 ▲
14.对于总有成立，则= ▲
1至4题，以课本题为原型，最多作1个变化，考查1个知识点。
5，考查向量模的运算，数量积的运算：
解法一：

解法二：几何意义，余弦定理
取自必修4习题2.4练习2
6．考查二元不等式表示平面区域，几何概型，要求将文字语言提供的数学材料转化为图形，对数学语言的阅读能力有一定要求，取自必修3中3.3例1（P101）
7．考查算法流程图，求数据的总体特征数（加权平均数）。考查对数据的处理能力，对数学符号语言的阅读能力有一定要求，阅读量较大，取自必修3中2.3.1例2（P64）
8．考查导数知识，切线方程的求法，（依据斜率先求切点），取自选修1-1中3.2.1练习3.4（P69）
9．考查直线方程的知识，考查类比推理，特殊化方法 背景：直线系方程
AB方程，CF方程
经过定点F的直线系方程
令，得。经整理得。
10．考查归纳推理，背景：二阶等差数列
思路1：从前n-1行的数字个数入手，后续第3个数
思路2：6，9，13，18…为自然数数列的子集，二阶等差数列，设
解出
评分要求：答案的等阶形式都认为正确1+2+3+…+（n-1）+3
取自选修1-2中习题2.1.1（P41）复习题6（P53）
11．考查基本不等式
12．考查椭圆的基本性质
13．考查用解析法研究图形性质，圆的方程等知识，分析与解决问题的能力
背景：阿波罗尼斯圆
取A（-1，0） B（1，0） C（x,y）
化简得
圆半径，纵坐标最大值，
取自必修2中习题2.2（1）练习10（P103）
14．考查运用导数知识研究函数性质，分析与解决问题的能力
解法一：得
，令得
因此
解法二：由①，
又因此
解法三：恒成立
时，
时，所以。
15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为
（1）求的值（2）求的值。
本小题主要三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式以及两角和（差）的三角函数公式，考查运算求解能力。满分14分。
解：（1）由已知条件及三角函数的定义可知，。
因为锐角，故，从而
同理可得。 …………2分
因此。 …………2分
所以 …………2分
…………2分
（2） …………2分
…………2分
又，故，从而由
得。
16．在四面体中，，且分别是的中点，
求证：（1）直线面
（2）面面
本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理证明能力。满分14分。
证明：（1）在中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD …………2分
又AD平面ACD，EF平面ACD，所以直线EF∥平面ACD …………3分
（2）在中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD …………2分
在中，因为CD=CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD …………2分
因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC
…………3分
又因为BD平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD …………2分
17．某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点及的中点处，已知，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，设排污管道的总长为
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式
②设，将表示成的函数关系式
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
本小题主要考查函数的概念、解三角形、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。满分14分。
解：（1）（i）如图，延长PO交AB于点Q
由题设可知
在中，，所以。又易知，故y用表示的函数为 …………3分
（ii）由题设可知，在中，，则显然，所以，y用x表示的函数为 …………3分
（2）选用（1）中的函数关系，来确定符合要求的污水处理厂的位置。因为，
所以 …………3分
由得。因，故 …………2分
当时，；当时，，所以函数y在时取得极小值，这个极小值就是函数y在上的最小值。
当时，。
因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为时，铺设的排污管道的总长度最短。 …………3分
解法二：由（1），，令
设是单位圆O的弧上的动点。A（0，2），k为AM的斜率。
…………3分
当且仅当AM与圆O外切时，k最大，y取最小值。此时 …………3分
时，y取最小值。故当时，管道总长度最短。 …………2分
解法三：由（1），
两边平方，移项化简得： （**）
…………3分
解得 …………2分
将代入（**）式，解出
因此，当时，管道总长度最短。 …………3分
解法四：选用（1）中的函数关系，来确定符合要求的污水处理厂的位置。设，化简得（*）
…………3分
解得 …………2分
因此，当时，y 取最小值。
∴
故当时，管道总长度最短。 …………3分
18．设平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为。求：
（1）求实数的取值范围
（2）求圆的方程
（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。
本小题主要考查含有参变量的二次函数、圆的方程以及曲线过定点等有关知识，考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
解：（1）显然b≠0,否则，二次函数的图象与两个坐标轴只有两个交点（0,0）,(-2,0)，这与题设不符。 …………2分
由b≠0知，二次函数的图象与y轴有一个非原点的交点（0,b），故它与x轴必有两个交点，从而方程有两个不相等的实根，因此方程的判别式4-4b>0,即b<1。
所以，b的取值范围是（－∞，0）∪（0，1） …………2分
（2）由方程，得。于是，二次函数的图象与坐标轴的交点是 …………2分
设圆C的方程为。因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得
…………3分
解上述方程组，因b≠0，得
所以，圆C的方程为 …………3分
（3）圆C过定点，证明如下： …………2分
假设圆C过定点（x0,y0）(x0,y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为 （*）
为使（*）式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，必须有，结合（*）式得
解得
经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。 …………2分
19．（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当时，求的数值；
（ii）求的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索、分析及论证的能力。满分16分。
解：首先证明一个“基本事实”：
一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0.
事实上，设这个数列中的连续三项a- d0，a，a+ d0成等比数列，则

由此得d0=0。
（1）（ⅰ）当n=4时,由于数列的公差，故由基本事实只可能删去或，
…………2分
若删去，则由成等比数列，得，因，故由上式得 ，即。此时，数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设。
…………2分
若删去，则成等比数列，得。因，故由上式得，即。此时，数列为d，2d，3d，4d，满足题设。
综上，得或。 …………2分
（ii）当n≥6时，则从满足题设的数列中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列的公差必为0，这与题设矛盾。所以满足题设的数列的项数。又因题设，故n=4或5。 …………2分
当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。 …………2分
当n=5时，若存在满足题设的数列，则由“基本事实”知，删去的项只能是，从而成等比数列，故
，及。
分别简化上述两个等式，得及，故d=0,矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。
综上可知，n只能为4。 …………2分
（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中三项成等比数列，这里，则有
，
化简得 （*）
由知，与或同时为0，或同时不为0。
若，且，则有，
即，得，从而，与题设矛盾。
因此，与同时不为0，所以由（*）得
…………2分
因为均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。
于是，对于任意的正整数，只要为无理数，则相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如取，那么，n项数列1，，，……，满足要求。
…………2分
解法二：不失一般性，任何一个等差数列首项均可将首项变为1，故可设等差数列首项为1，公差为d，前n+1项依次为
1，1+d，1+2d，……，1+nd；
从中任取三项，共有种不同的取法。
设每一种取法得出的三项都成等比数列。不妨设方程最多有两个不相等的实根。由此得出的d值不多于个。而，可取无穷多个值。因此一定存在（无穷）个d，使等差数列1，1+d，1+2d，……，1+nd，其中任意三项都不能组成等比数列。
20．已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，
（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；
（2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）
本小题主要考查函数的概念、性质、图象以及命题之间的关系等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
解：（1）由的定义可知，（对所有实数）
等价于（对所有实数）， …………2分
这又等价于，即
对所有实数均成立. （*）…………2分
易知函数的最大值为，
故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件。
…………2分
（2）分两种情形讨论
（i）当时， …………1分
由（1）知（对所有实数）
则由及易知， 再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区间的长度为（参见示意图1） …………2分
（ii）时，不妨设，则，于是
当时，有，从而；
当时，有，从而 ； …………2分
当时，，及，由方程
解得图象交点的横坐标为 ⑴
…………2分
显然，
这表明在与之间。由⑴易知

综上可知，在区间上， （参见示意图2） …………2分
故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得
⑵
故由⑴、⑵得 …………1分
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。
解法二：设
则与有相同的属性。
（1）
（2）当时，，
当时，由
解出
时，
时，
由得，
∴单调增区间长度为。
A．选修4—1　几何证明选讲
如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：．
本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。
证明：如图，因为 是圆的切线，
所以，, …………2分
又因为是的平分线，
所以
从而
因为 ,

所以 ,故. …………3分
因为 是圆的切线，所以由切割线定理知,
,
而,所以 …………6分
B．选修4—2　矩阵与变换
在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．
本小题主要考查曲线在矩阵变换下的变换特点，考查运算求解能力。满分10分。
解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点
则有
，即，所以 …………5分
又因为点在椭圆上，故，从而
所以，曲线的方程是 …………5分
C．选修4—4　参数方程与极坐标
在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．
本题主要考查曲线的参数方程的基本知识，考查运用参数方程解决数学问题的能力。满分10分。
解法一： 因椭圆的参数方程为 …………4分
故可设动点的坐标为，其中.
因此 …………4分
所以，当时，取最大值2。 …………2分
解法二：由得： …………4分
∴ …………4分
解得 …………2分
解法三：设切点为，椭圆的切线方程为： …………4分
因为切线斜率为-1，故 …………4分
由解得：
D．选修4—5　不等式证明选讲
设a，b，c为正实数，求证：．
本题主要考查平均不等式的相关知识，考查运用不等式进行推理论证的能力。满分10分。
证明：因为为正实数，由平均不等式可得
即 …………5分
所以，
而
所以 …………5分
22．【必做题】记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．
本题主要考查空间向量的基本知识和基本运算，考查运用空间向量解决问题的能力。满分10分。
解：由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,,
因为，则 …………3分
所以， …………2分
因为异面，所以不共面。若∠APC为钝角，则为钝角，因此
即 …………3分
化简得
解得 …………2分
23．【必做题】．请先阅读：
在等式（）的两边求导，得：，
由求导法则，得，化简得等式：．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：．
（2）对于正整数，求证：
（i）； （ii）； （iii）．
本题主要考查组合数、二项式定理、导数、积分等基础知识，考查推理论证能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
证明：（1）在等式两边对求导得
…………4分
移项得 （*）
（2）（i）在（*）式中，令，整理得
所以 …………2分
（ii）由（1）知
两边对求导，得
在上式中，令

即 ，
亦即 （1）
又由（i）知 （2）
由（1）+（2）得 …………2分
（iii）将等式两边在上对积分
由微积分基本定理，得
所以 …………2分
解法二：（1） …………2分
…………2分
（2）（i）由得
…………2分
（ii）时，
所以 …………2分
（iii）由得
…………2分
2008年江苏高考数学每题得分情况统计
题号
1-5
6-11
11-14
15
16
17
18
19
20
得分率
88%
68%
45%
79%
86%
39%
34%
19%
14%
内容
三角
立几
导数应用
解析几何
数列
函数
1—5题 22/25=88%
6—10题 17/25=68%
11—14题 9/20=45%
15题 11/14=79%
16题 12/14=86%
17题 5.5/14=39%
18题 5.5/16=34%
19题 3.03/16=19%
20题 2.17/16=14%

展开更多......

收起↑