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4.3《百分位数》分层练习
考查题型一 求一组数据的百分位数
1．某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是 ．
【答案】31
【分析】先排序，再计算，然后可得.
【详解】把这8个数据按从小到大的顺序排列可得：29，30，32，35，36，38，40，41，
计算8×25%＝2，所以这8人年龄的25%分位数是．
故答案为：31
2．一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.
【详解】由题意该组数据共7个数，,故第60百分位数为从小到大第5个数 ，又众数为4，故 ，故该组数据的平均数为，
故选：B
（多选题）3．一组数据从小到大为5，6，7，8，，11，若这组数据的平均数是8，则（ ）
A． B．极差为6 C．40%分位数为7 D．方差为5
【答案】BC
【分析】根据数据的平均数、极差、百分位数、方差的概念逐项求解判断即可.
【详解】由题得，所以，所以A错误；
根据定义极差为，所以B正确；
因为，40%分位数为7，所以C正确；
根据方差公式，方差为，所以D错误.
故选：BC．
4．已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，则数据的第50百分位数是 ．
【答案】31
【分析】利用中位数的性质求x，再由百分位数的定义可知数据的第50百分位数是数据第三位和第四位的平均数．
【详解】一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，
故 = 31，解得．
，数据的第50百分位数是.
故答案为：.
考查题型二 利用频率分布直方图求百分位数
（多选题）1．党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．满意度计分的众数为80分
C．满意度计分的分位数是85分
D．满意度计分的平均分是76.5
【答案】ACD
【分析】根据频率之和为1即可求解A，根据众数，中位数以及平均数的计算即可分别求解BCD.
【详解】由频率分布直方图可知，即，
又，所以，所以选项正确；
满意度计分的众数为75分，所以选项错误；
前三组的频率之和为0.75，
前四组的频率之和为，则分位数，
故，满意度计分的分位数为85，所以选项正确；
满意度计分的平均分为：分，所以选项D正确．
故选:ACD．
（多选题）2．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ）
A．
B．
C．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调查成绩的平均数低于70
D．问卷调查成绩的80%分位数的估计值为85
【答案】ABD
【分析】根据所有小矩形面积之和为1，即可判断A；根据在的频率为0.1，由，即可判断B；利用小矩形面积乘以组区间的中点值计算即可判断C；利用百分位数的求法可判断D.
【详解】由图可知.，解得，
则成绩在的频率为0.1，由，得，A，B正确；
问卷调查成绩的平均数为，C不正确.
因为，
所以问卷调查成绩的分位数在内，设问卷调查成绩的分位数为，
则，解得，D正确.
故选：ABD.
（多选题）3．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（ ）

A．样本的众数为70
B．样本的分位数为78.5
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D．该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
【答案】BC
【分析】样本的众数应是区间中点75，故选项A错误.设样本的分位数为t，通过计算可判断t在区间内，计算区间，，所对应的矩形面积之和为0.8，即可求得样本的分位数为78.5，故选项B正确. 根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C正确.用样本中低于60分的频率估计总体频率，即可判断选项D错误.
【详解】对于选项A，样本的众数应是区间中点75，故选项A错误.
对于选项B，设样本的分位数为t，
因为左边两个矩形面积和为，
左边三个矩形面积和为.
因此t在区间内，所以，
解得，故选项B正确.
对于选项C，用样本平均分估计总体平均分，而样本的平均分为，故选项C正确.
对于选项D，样本中低于60分的学生的频率为，估计总体中低于60分的学生的人数约为，故选项D错误.
故答案为：BC.
（多选题）4．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）

A．被抽取的400名学生成绩的极差为50
B．在被抽取的学生中，成绩在内的学生有280人
C．以每组区间的中点值估计全校学生的平均成绩为85分
D．估计全校学生成绩的分位数为95
【答案】BD
【分析】结合频率分布直方图计算数据的极差、平方数、百分位数及估计总体即可.
【详解】由题意可知抽取学生的成绩在区间内，
但不一定最低分为50，最高分为100，故A错误；
根据频率分布直方图可知，
所以分数在的有人，故B正确；
平均成绩为，
故C错误；
易知全校学生成绩的分位数在区间内，
可得，故D正确.
故选：BD
5．村BA全称是“当丽乡村”篮球联赛，近几个月以来，广东各地村居篮球联赛众多．村BA以篮球为纽带，掀起乡村体育热潮，大力促进全民健身和乡村振兴的发展．某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中的值；
(2)若该球队准备对得分排名前的比赛进行宣传，试估计被宣传的比赛得分不低于多少
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；
（2）计算第百分位数，即可得解.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得.
（2）因为，
，
所以第百分位数位于之间，设为，
则，解得，
所以被宣传的比赛得分不低于.
（多选题）1．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
【答案】ABD
【分析】对于A选项，求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；
对于B选项，写出和的表达式即可；
对于C选项，根据中位数定义判断即可；
对于D选项，根据分位数定义判断即可.
【详解】A. 剩下的28个样本数据的和为，去掉的两个数据和为，原样本数据和为，所以，因为=，所以，故A选项正确；
B.设，，
因为，所以，所以，
所以，故B选项正确；
C. 剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；
D.去掉2个数据，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确.
故选：ABD.
2．某面包店记录了最近一周A，B两种口味的面包的销售情况，如表所示：
A口味 B口味
星期 一 二 三 四 五 六 日 星期 一 二 三 四 五 六 日
销量/个 16 12 14 10 18 19 13 销量/个 13 18 10 20 12 9 14
(1)试比较最近一周A，B这两种口味的面包日销量的第60百分位数的大小．
(2)该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包，假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从，15，16中选一个，你应该选择哪一个 说明你的理由．
【答案】(1)A口味的面包日销量的第60百分位数大于B口味的面包日销量的第60百分位数
(2)应该选择，理由见解析
【分析】（1）利用百分位数的定义求解即可；
（2）依题意分别求得，15，16时，面包店店主下一周A口味的面包可获利的金额，进而进行比较即可得解.
【详解】（1）最近一周A口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为10，12，13，14，16，18，19．
因为，所以A口味的面包日销量的第60百分位数为16；
最近一周B口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为9，10，12，13，14，18，20，
所以B口味的面包日销量的第60百分位数为14；
故最近一周A口味的面包日销量的第60百分位数大于B口味的面包日销量的第60百分位数．
（2）当时，下一周A口味的面包可获利
元；
当时，下一周A口味的面包可获利
元；
当时，下一周A口味的面包可获利
元；
因为，所以应该选择．
3．某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过一种流量计算单位的部分按元收费，超过kGB的部分按2元收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图.已知用户月使用流量的中位数为
(1)求表中的
(2)若k为整数，依据本次调查为使以上用户在该月的流量价格为元，则k至少定为多少
(3)为了进一步了解用户使用5G流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在和两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知组用户平均年龄为30，方差为36，流量在组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差.
【答案】(1)；(2)；(3)48
【分析】（1）根据频率分布直方图的特征即可求解；
（2）根据频率分布直方图，结合百分位数的求法即可求解；
（3）根据频率分布直方图，结合方差的计算公式即可求解.
【详解】（1），，
（2）通过直方图可知第85百分位数落在第组，
，
解得，，；
（3）按分层抽样在组抽取40人记为，，，，
则，
，
在组抽取60人，记为，，
同理可得，平均值为，
抽取的100名用户的方差
4．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
【答案】（1）0.06 60人；（2）；（3）详见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数；
（2）可设该校100名生学身高的75％分位数，再利用频率分布直方图计算即得；
（3）利用样本平均数，方差公式化简即证.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，
身高在及以上的学生人数（人）．
（2）的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）由题得①；②
又
同理，
∴
.4.3《百分位数》分层练习
考查题型一 求一组数据的百分位数
1．某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是 ．
2．一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（多选题）3．一组数据从小到大为5，6，7，8，，11，若这组数据的平均数是8，则（ ）
A． B．极差为6 C．40%分位数为7 D．方差为5
4．已知一组数据按从小到大的顺序排列为：23，28，30，x，34，39，且其中位数是31，则数据的第50百分位数是 ．
考查题型二 利用频率分布直方图求百分位数
（多选题）1．党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．满意度计分的众数为80分
C．满意度计分的分位数是85分
D．满意度计分的平均分是76.5
（多选题）2．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ）
A．
B．
C．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则问卷调查成绩的平均数低于70
D．问卷调查成绩的80%分位数的估计值为85
（多选题）3．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（ ）

A．样本的众数为70
B．样本的分位数为78.5
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D．该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
（多选题）4．某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）

A．被抽取的400名学生成绩的极差为50
B．在被抽取的学生中，成绩在内的学生有280人
C．以每组区间的中点值估计全校学生的平均成绩为85分
D．估计全校学生成绩的分位数为95
5．村BA全称是“当丽乡村”篮球联赛，近几个月以来，广东各地村居篮球联赛众多．村BA以篮球为纽带，掀起乡村体育热潮，大力促进全民健身和乡村振兴的发展．某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中的值；
（多选题）1．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
2．某面包店记录了最近一周A，B两种口味的面包的销售情况，如表所示：
A口味 B口味
星期 一 二 三 四 五 六 日 星期 一 二 三 四 五 六 日
销量/个 16 12 14 10 18 19 13 销量/个 13 18 10 20 12 9 14
(1)试比较最近一周A，B这两种口味的面包日销量的第60百分位数的大小．
(2)该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包，假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从，15，16中
3．某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过一种流量计算单位的部分按元收费，超过kGB的部分按2元收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图.已知用户月使用流量的中位数为
(1)求表中的
(2)若k为整数，依据本次调查为使以上用户在该月的流量价格为元，则k至少定为多少
(3)为了进一步了解用户使用5G流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在和两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知组用户平均年龄为30，方差为36，流量在组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差.
4．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．

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