资源简介

4.2《分层随机抽样的均值与方差》分层练习
考查题型一 分层随机抽样的均值和方差
1．某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（ ）
A．661.5，169.5 B．661，187 C．661，175 D．660，180
【答案】B
【分析】先求出总体均值，再利用分层抽样的方差公式即可得解．
【详解】由题意甲的平均值为，方差为，
乙的平均值是，方差为，
则总体平均值为，
方差为．
故选：B．
（多选题）2．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据平均数、方差公式计算可得.
【详解】依题意，设男性人数为（），女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
故选：AD
（多选题）3．某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A．均值为6.2 B．均值为7.2 C．方差为19.56 D．方差为20.56
【答案】BC
【分析】利用平均数公式和总体方差与部分方差的公式进行求解.
【详解】AB选项，三所学校的学生文学经典名著的均值为
，A错误，B正确；
CD选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为
，
C正确，D错误.
故选：BC
4．（1）已知甲乙两名同学的某次体育项目测试成绩分别为：甲：10，13，12，14，16.乙：13，14，12，12，14.求甲乙两人成绩的平均数与方差，比较谁的成绩更稳定.
（2）某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差.
【答案】（1）甲同学的平均分为13，方差为4；乙同学的平均分为13，方差为；乙同学的成绩较稳定；
（2）29.2
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式，结合方差的意义进行分析判断；
（2）将总体平均分代入总体方差公式即可求得总方差.
【详解】（1）设甲同学的平均分为，方差为；乙同学的平均分为，方差为；
，
，
，
，
因为，
所以乙同学的成绩较稳定.
（2）由题意，样本平均数为，
所以样本方差为：.
5．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．
(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；
(2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则）
【答案】(1)60；40；(2)平均数为，16．
【分析】（1）根据样本与总体可确定抽样比，根据抽样比可确定抽取男生60人，女生40人；
（2）利用公式求抽取的总样本的平均数和方差，从而估计总体的方差.
【详解】（1）设在男生 女生中分别抽取m名和n名，则，
解得．
（2）记抽取的总样本的平均数为，可得，
所以抽取的总样本的平均数为．
男生样本的平均数为，样本方差为；
女生样本的平均数为，样本方差为；
记总样本的样本方差为，则
所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16．
（多选题）1．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（ ）
A．从高二年级抽取30人
B．被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时
C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时
D．估计全体学生每天的读书时间的方差为
【答案】ACD
【分析】根据分层抽样、平均数、方差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对A，根据分层抽样，分别从高一学生，高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确；
对B，抽取的高二年级每天的总读书时间为，
抽取的高一年级每天的总读书时间为，
高二年级每天的总读书时间比高一年级少15小时，故B错误；
对C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为（小时），故C正确；
对D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为：
，
∴估计全体学生每天的读书时间的方差为，故D正确.
故选：ACD
2．湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5．已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 .
【答案】12
【分析】计算各校人数，标记平均值和方差，确定，，计算得到答案.
【详解】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，
三所学校共有数学强基学生48人，
甲校的数学强基小组人数24；
乙校的数学强基小组人数为16；
丙校的数学强基小组人数8，
把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为；
把所有学生的平均分记为，方差记为．
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得，即，解得，
，
即
，
解得.
故答案为：12.
3．为调查某校高一学生的数学学习情况以及男女生学的差异，采用分层随机抽样的方式从高一年级抽取人参加数学知识竞赛（满分10分）.已知该校高一男女生的人数比为1：2，抽取了20名男生参加数学知识竞赛，他们的成绩记为，其中分别为：8，3，2，4，8，5，5，7，7，6，8，5，5，6，4，9，6，8，6，8.
（参考数据：，）
(1)求样本总人数；
(2)求男生数学知识竞赛成绩的第60百分位数以及方差；
(3)若女生数学知识竞赛成绩的平均数为3，方差为10.3，求样本总方差.
【答案】(1)60；(2)6.5；，；(3)10
【分析】（1）根据抽样比和男生人数可得答案；
（2）男生数学知识竞赛成绩从小到大排列，可得第60百分位数；根据平均数和方差公式可得男生数学知识竞赛成绩的平均数和方差；
（3）求出样本总平均数，根据样本总方差公式计算可得答案.
【详解】（1）男生占样本总人数的，所以；
（2）.男生数学知识竞赛成绩从小到大排列为2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，8，8，9，其中第12个数据为6，第13个数据为7，
所以男生数学知识竞赛成绩的第60百分位数为，
记男生数学知识竞赛成绩的平均数和方差分别为，.
则，；
（3）记女生数学知识竞赛成绩的平均数和方差分别为，，
则样本总平均数，
样本总方差.
4．树人中学有高一学生600人，其中男生400人，女生200人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为170，方差为18，女生样本的均值为161，方差为30.现有两种抽取样本的方案来计算总样本的均值和方差：①按比例分配分层抽样，男女样本量分别为40，20；②按等额分配分层抽样，男 女样本量都是30.
(1)你认为哪种方案得到的总样本的均值和方差作为总体的均值和方差的估计更合理？请说明理由；
(2)请用第（1）问中你选择的方案计算总样本的均值与方差s ；
(3)根据总样本数据发现有两个数据154，180在区间以外，在总样本数据中剔除这两个数据，用剩下的数据计算新总样本均值和方差（精确到0.1）.
【答案】(1)方案①更为合理，理由见解析；(2)均值，；(3)均值167，方差
【分析】（1）方案②抽样中未按比例分配进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，故不选用；
（2）代入均值和方差公式计算即可；
（3）代入均值和方差公式计算即可.
【详解】（1）方案①更为合理，因为方案②抽样中未按比例分配进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，而男生和女生的身高差异较大，因而样本的代表性差，即样本分布与总体分布相差较大，所以得到的总样本均值与方差作为总体均值与方差的估计偏差较大.
（2）其中男生身高样本记为，均值，方差，
女生身高样本记为，均值，方差.
则总样本均值.
又因为，
所以，同理可得，
所以总样本方差
总样本学生的身高的均值为，方差为.
（3）其平均数为，
方差为：.4.2《分层随机抽样的均值与方差》分层练习
考查题型一 分层随机抽样的均值和方差
1．某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（ ）
A．661.5，169.5 B．661，187 C．661，175 D．660，180
（多选题）2．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
（多选题）3．某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（ ）
A．均值为6.2 B．均值为7.2 C．方差为19.56 D．方差为20.56
4．（1）已知甲乙两名同学的某次体育项目测试成绩分别为：甲：10，13，12，14，16.乙：13，14，12，12，14.求甲乙两人成绩的平均数与方差，比较谁的成绩更稳定.
（2）某学校为了调查学生的学习情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中有20名男生，30名女生，且男生的平均成绩为70分，方差为4，女生的平均成绩为80分，方差为6，求所抽取样本的方差.
5．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性，在对某高中2000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这2000名高二年级学生中男生有1200人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56．
(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；
(2)求抽取的总样本的平均数，并估计高二年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总样本的平均数为，样本方差为，则）
（多选题）1．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（ ）
A．从高二年级抽取30人
B．被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时
C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时
D．估计全体学生每天的读书时间的方差为
2．湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5．已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 .
3．为调查某校高一学生的数学学习情况以及男女生学的差异，采用分层随机抽样的方式从高一年级抽取人参加数学知识竞赛（满分10分）.已知该校高一男女生的人数比为1：2，抽取了20名男生参加数学知识竞赛，他们的成绩记为，其中分别为：8，3，2，4，8，5，5，7，7，6，8，5，5，6，4，9，6，8，6，8.
（参考数据：，）
(1)求样本总人数；
(2)求男生数学知识竞赛成绩的第60百分位数以及方差；
(3)若女生数学知识竞赛成绩的平均数为3，方差为10.3，求样本总方差.
4．树人中学有高一学生600人，其中男生400人，女生200人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为170，方差为18，女生样本的均值为161，方差为30.现有两种抽取样本的方案来计算总样本的均值和方差：①按比例分配分层抽样，男女样本量分别为40，20；②按等额分配分层抽样，男 女样本量都是30.
(1)你认为哪种方案得到的总样本的均值和方差作为总体的均值和方差的估计更合理？请说明理由；
(2)请用第（1）问中你选择的方案计算总样本的均值与方差s ；
(3)根据总样本数据发现有两个数据154，180在区间以外，在总样本数据中剔除这两个数据，用剩下的数据计算新总样本均值和方差（精确到0.1）.

展开更多......

收起↑