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第三章
一元函数积分学
目录
第1节
不定积分概念与性质
第2节
不定积分的换元积分法
第3节
不定积分的分部积分法
第4节
有理函数的不定积分
第5节
定积分的概念与性质
第6节
微积分基本公式
第7节
定积分的换元积分法和分部积分法
第8节
广义积分
第9节
定积分的几何应用
第9节 定积分的几何应用
微元法
平面图形的面积
立体图形的体积
平面曲线的弧长
微元法
计算y=f(x) (f(x)>0)、x轴与两条直线x=ɑ、x=b所围成的曲边梯形的面积可简化为如下步骤：
x
y
o
ɑ
b
此时积分变量为:x，
1)确定积分变量及区间:
积分区间为:[a , b]
2)在积分区间[a , b]上任意取一小区间[x , x+dx]，
x
x+dx
=dA
在此区间上求出所求量A的部分量ΔA的近似值
ΔA≈ f(x)dx
dA
3)以所求量A的微元dA=f(x)dx为被积表达式,
在积分区间上作定积分.
dA，
称其为A的微元.
A=
dA
∫a
b
=∫a f(x)dx
b
以上抽象出实际问题的定积分形式的方法，称为定积分的微元法或元素法.
平面图形的面积
平面图形的面积
由函数y=f(x) (f(x)>0)、x轴与两条直线x=ɑ、x=b所围成的曲边梯形面积为A.
(x型)
x
y
o
ɑ
b
x
x+dx
dA
A
dA=f(x)dx
=∫a f(x)dx
b
一般地，由函数y=f(x)、x轴与x=ɑ、x=b所围成的
曲边梯形面积A
=∫a |f(x)|dx
b
平面图形的面积
例1 求 在区间 上与 轴围成的图形面积。
解：
设所求图形面积为A，如右图所示，则
x
y
o
1
4
平面图形的面积
例2 求 在区间 上与 轴围成的图形面积。
解：
设所求图形面积为A，如右图所示，则
x
y
o
1
4
平面图形的面积
由函数y=f(x)、y=g(x)在区间[ɑ , b]上所
围成的图形面积为A.(其中f(x)>g(x))
x
y
o
ɑ
b
x
x+dx
dA
A
A
dA=( f(x)－g(x) )dx
=∫a ( f(x)－g(x) )dx
b
一般地，由函数y=f(x)、y=g(x)在区间[ɑ , b]上所
围成的图形面积为A
=∫a |f(x)－g(x)|dx
b
平面图形的面积
例3 求抛物线 与 围成的图形面积.
解：
设所求图形面积为A，如右图所示，则
解方程组 ，得两曲线的交点为
当 时，
x
y
o
平面图形的面积
例4 求曲线 与 及 所围成的图形面积.
解：
设所求图形面积为A，如右图所示，则
x
y
o
平面图形的面积
平面图形的面积
由函数x=φ(y) (φ(y)>0)、y轴与两条直线y=c、y=d所围成的曲边梯形面积为A.
x
y
o
c
d
y
y+dy
A
(y型)
dA
A
dA=φ(y)dy
=∫cφ(y)dy
d
一般地，由函数x=φ(y)、y轴与y=c、y=d所围成的
曲边梯形面积A
=∫c |φ(y)|dy
d
平面图形的面积
例5 求曲线 与 及 所围成的图形面积.
解：
设所求图形面积为A，如右图所示，则
y
x
o
平面图形的面积
由函数x=φ(y)、x=ψ(y)在区间[c , d]上所围成
的图形面积为A.(其中φ(y)>ψ(y))
x
y
o
c
d
y
y+dy
A
dA
A
dA=( φ(y)－ψ(y) )dy
=∫c (φ(y)－ψ(y))dy
d
一般地，由函数x=φ(y)、x=ψ(y)与y=c、y=d所围
成的图形面积A
=∫c |φ(y)－ψ(y)|dy
d
平面图形的面积
例6 计算由曲线 与直线 所围成的图形面积.
解：
解方程组 ，得两曲线的交点为
当 时，
设所求图形面积为A，如右图所示，则
x
y
o
平面图形的面积
课堂练习：
1.求下列各曲线所围成的图形的面积:
答案：
立体图形的体积
旋转体：是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体图形，
其中的定直线称为旋转轴.
平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体：
设旋转体是由区间 上以连续曲线
为曲边的曲边梯形绕 轴旋转一周所成的
立体图形，则其体积为V
dV=πf2(x)dx
V=∫a πf2(x)dx
b
立体图形的体积
平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体：
设旋转体是由区间 上以连续曲线
为曲边的曲边梯形绕 轴旋转一周所成的
立体图形，则其体积为V
dV=πφ2(y)dy
V=∫c πφ2(y)dy
d
立体图形的体积
例7 求由椭圆 所围成的图形绕 轴及 轴旋转而成的旋转体.
解：
绕 旋转可看成是由上半椭圆 与 轴所围成的图形绕 轴旋转所得
立体图形的体积
绕 旋转可看成是由右半椭圆 与 轴所围成的图形绕 轴旋转所得
立体图形的体积
平行截面面积已知的立体体积：
设一立体图形位于平面 之间，
若过点 处垂直于 轴的平面截此立体
得到的截面面积为 ，该立体的体积为V
dV=A(x)dx
V=∫a A(x)dx
b
立体图形的体积
例8 底面是半径为 的圆，而垂直于底面的一条固定直径的所有截面
都是等边三角形的立体体积.
解：
建立如图所示坐标系，则底面圆的方程为
其对应的等边三角形边长为 ,高为
则截面面积 为
因此立体图形体积V 为
立体图形的体积
课堂练习：
(1)求由曲线 、 所围成的图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积
(2)一立体的底面为由双曲线 与直线 所围成的平面图形，
且垂直于 轴的立体的截面为正方形，求该立体体积.
答案：
平面曲线的弧长
平面图形的弧长：
设函数 在区间 上具有一阶连续的导数，
曲线 从 到 的弧的长度为
平面曲线的弧长
例9 求曲线 在区间 上的长度.
解：
平面曲线的弧长
课堂练习：
求曲线 在区间 内的弧长.
答案：

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