资源简介

高一 数学 课型：新课
单元名称：第六章 统计 课时名称：§3　用样本估计总体的分布
课时目标： 1. 结合实例,能用样本估计总体的取值规律,会列频率分布表,会画频率分布直方图. 2. 能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律,了解不同的统计图在表示数据上有不同的特点.
学养目标： 1. 通过对频率分布表及频率分布直方图,频率折线图的理解,提升直观想象,数学抽象素养. 2. 通过对频率,频数及频率分布直方图的应用,提升数学运算,数据分析素养.
学习过程：
任务/环节1: 教材梳理填空:
(一)频数与频率
1．频率的定义
频率表示频数与总数的比值，能更好地反映样本和总体的相应特征，频率反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数．
2．频率的作用
在统计中，经常要用样本数据的频率去估计总体中相应的频率，即对总体分布进行估计．
(二)频率分布直方图
1．频率分布直方图
在频率分布直方图中，每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积＝组距×＝频率．各小矩形的面积总和等于.
2．频率折线图
(1)通常，在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．
(2)随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越接近于一条光滑曲线．
[即时小练]
1．已知样本7,8,10,14,9,7,12,11,10,8,13,10,8,11,10,9,12,9,13,11.那么这组样本数据落在8.5～11.5内的频率是________．
答案：0.5
2．一个容量为1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是________．
答案：400
3．判断正误
(1)一般样本容量越大，所分组数越多；样本容量越小，所分组数越小．(　　)
(2)频率分布直方图的纵坐标表示频率．(　　)
(3)频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的频数．(　　)
(4)一般地，样本容量越大，用样本的频率分布估计总体的分布就越精确．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
任务/环节2: 频数与频率
自主学习课本P161例1和P162例2,小组讨论,合作交流.
2.（2023·广东省惠州市期末）从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下（单位：克）：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134.则样本数据落在 [114.5,124.5) 内的频率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
解析：依题意，样本数据落在 [114.5,124.5)内的频数为4，故对应频率为 4÷10=0.4 .
任务/环节3: 频率分布直方图
自主学习课本P163例3,小组讨论,合作交流.
对某公司员工的年薪（单位：万元）进行调查统计，得到了一个容量为100的样本，样本数据如下表所示：
年薪/万元 [13,14) [14,15) [15,16) [16,17)
频数 7 11 26 23
年薪/万元 [17,18) [18,19) [19,20) [20,21]
频数 15 8 4 6
列出样本的频率分布表；
画出频率分布直方图和频率折线图;
若该公司共有1050人，试估计该公司年薪低于20万元的人数.
解析：(1)样本的频率分布表为:
年薪分组 频数 频率
[13,14) 7 0.07
[14,15) 11 0.11
[15,16) 26 0.26
[16,17) 23 0.23
[17,18) 15 0.15
[18,19) 8 0.08
[19,20) 4 0.04
[20,21] 6 0.06
合计 100 1
(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示．
(3)年薪低于20万元的频率为 1 0.06=0.94 ，因此可估计该公司年薪低于20万元的人数为 1050×0.94=987 .
当堂检测:
1.将容量为 n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为 2:3:4:6:4:1 ，且前三组数据的频数之和等于27，则 n 等于____.
解析：由落在各组中的数据的频数与频率的关系可知频数之比即频率之比，故可设第一组至第六组的样本数据的频数分别为 2x , 3x , 4x , 6x , 4x , x ,则 2x+3x+4x=27 ,解得 x=3 ，故 n=2x+3x+4x+6x+4x+x=20x=60 .
2.(多选)(2020·新高考全国卷Ⅱ)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(　　)
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
解析：选CD　由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指数与复工指数的差大于第11天的复产指数与复工指数的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确；由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确．
3.(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　)
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
解析：选C　由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率约为0.02＋0.04＝0.06，所以A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为0.02＋0.02＋0.02＋0.04＝0.10，所以B正确；由频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68＞6.5，所以C不正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率约为0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64＞0.5，所以D正确．故选C.
4.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125]
频数 6 26 38 22 8
(1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图；
(2)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的 80% ”的规定？
解析：作出频率分布直方图如图所示.
(2)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68 .
由于该估计值小于 0.8 ，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的 80% ”的规定.
反思作业小结:
谈一谈本节课你的收获以及不足.(学生自我反思小结,主动发言交流,教师相机评价)
2.
绘制频率分布直方图的步骤
(1)计算极差：一组数据中最大值与最小值的差；
(2)确定组距与组数：组数k＝，若k∈Z，则组数 为k；若k Z，则组数为不小于k的最小整数；
(3)分组：通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组是闭区间；
(4)列表：一般分四列：分组、频数、频率、；
(5)画频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小矩形的面积来表示，各小矩形的面积的总和等于1.　　
3.
用样本分布估计总体分布的一般方法
一般是利用样本在某一范围内的频率近似地估计总体在该范围内的频率．因此，首先样本抽取要合理科学，其次要正确绘制频率分布表(或频率分布直方图)或者准确找出题目所给频率分布表(或频率分布直方图)中的相关信息，最后由样本的分布估计出总体的分布情况．　
4.反思:
5.作业:课本P166页 练习1及课本P167页习题6-3 A组1

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