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专题03 与绝对值有关的问题之五大题型
借着数轴化简绝对值
例题：（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b　　0，abc　　0，　　0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求＝　　．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【变式训练】
1．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．

2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示．
(1)用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0；
(2)化简．
3．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简：；
(2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值．
绝对值非负性的应用
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如果，那么a，b的值为（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1.（2023春·上海浦东新·六年级上海市民办新竹园中学校考期中），则的值是（ ）
A． B． C． D．1
2.（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若，则（　　）
A． B． C．5 D．3
分类讨论化简绝对值
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级单元测试）若，则 ．
2．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，　　；若，　　；
（2）若，则＝　 　；
（3）若，则　 　．
利用几何意义化简绝对值
例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．
(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么a＝ ．

②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．
③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．

解绝对值方程
例题：（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后解题：
符号表示的绝对值为2，表示的绝对值为2，如果那么或．
若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或，利用上面的知识，解方程：．
一、单选题
1．（2022上·河北唐山·七年级统考期末）已知，则的值为（）
A．2019 B． C． D．1
2．（2023上·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且，则（ ）
A． B． C．4 D．-2
3．（2022下·四川遂宁·七年级统考期末）方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022上·山东青岛·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若，则的值是 ．
6．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）有理数在数轴上的位置如图，化简： ．

7．（2021上·广西南宁·七年级统考期中）已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则 ．
三、解答题
8．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）已知有理数，，，且．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简：．
9．（2022上·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简：；
(2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值．
10．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
11．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．
(2)已知，，是有理数，，，求的值．
(3)已知，，是有理数，当时，求的值．
12．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当，时，A，B之间的距离；
②当，时，A，B之间的距离 ；
③当，时，A，B之间的距离 ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为 ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示和3的两点A和B之间的距离是5，试求的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若，则 ．
②若，则 ．
③若，满足，则代数式的最大值是 ，最小值是 ．
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专题03 与绝对值有关的问题之五大题型
借着数轴化简绝对值
例题：（2023春·上海·六年级专题练习）如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b　　0，abc　　0，　　0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求＝　　．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．
【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解；
（2）根据相反数的定义即可求解；
（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，，则
（1），，．
故答案为：，，；
（2）、互为相反数，
．
故答案为：；
（3）．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系．
【变式训练】
1．（2022秋·河南南阳·七年级校考期末）有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．

【答案】0
【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；
【详解】∵由数轴可得：，且

当 时
原式
故答案为0
【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单．
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示．
(1)用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0；
(2)化简．
【答案】(1)＜，＜，＞
(2)0
【分析】（1）根据数轴上点的位置得出，再根据有理数的加减法法则判断即可；
（2）利用绝对值的意义化简即可．
【详解】（1）解：由图可得：，且，
∴， ， ；
（2）解：，，，
．
【点睛】此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，有理加减法，绝对值化简，关键是利用数轴得出，且．
3．（2022秋·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简：；
(2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过数轴判断a、b、c的相对大小，从而确定绝对值里代数式的值的符号，再去掉绝对值，最后实现化简；
（2）两个非负数互为相反数，只能各自为零．求出a、b、c的值再计算代数式的值．
【详解】（1）由图可得且
∴，，，
∴
∴
（2）∵与互为相反数
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴原式
【点睛】此题考查数轴，绝对值的性质，解题关键在于利用数轴比较各数的大小，再进行计算．
绝对值非负性的应用
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如果，那么a，b的值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式训练】
1.（2023春·上海浦东新·六年级上海市民办新竹园中学校考期中），则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键．
2.（2023秋·贵州毕节·七年级校联考期末）若，则（　　）
A． B． C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据可知，可得，从而可得答案．
【详解】解：由得：
得：
故选：B
【点睛】此题考查绝对值的性质和偶次方非负数的性质，两个非负数的和为零，则这两非负数均等于零是解题关键．
分类讨论化简绝对值
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【答案】3，-3，1， 1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时，== 1 1 1= 3；
(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1 1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时，== 1 1+1= 1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为 1．
故答案为：3，-3，1， 1．
【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级单元测试）若，则 ．
【答案】
【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可．
【详解】解：∵，
∴，或，，
若，，则；
若，，则；
综上所述，的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．
2．（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若，　　；若，　　；
（2）若，则＝　 　；
（3）若，则　 　．
【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．
【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可；
（2）由（1）可知，结合可知即，化简即可；
（3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：1，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（3）∵，
∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，
当a、b、c中有一个负数、两个正数时，
，
当a、b、c中有三个负数时，
，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．
利用几何意义化简绝对值
例题：（2023秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．
(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．
【答案】(1)；
(2)或
(3)；
(4)
(5)，
【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；
（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解；
（5）分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：由数轴得
数轴上表示和的两点之间的距离是：；
表示和两点之间的距离是：；
故答案：；．
（2）解：由得，
，
所以表示与距离为，
因为与距离为的是或，
所以或．
故答案：或．
（3）解：由，得，
，，
所以表示与的距离为，与的距离为，，
所以或，或，
当，时，则A、B两点间的最大距离是，
当，时，则A、B两点间的最小距离是，
故答案：，．
（4）解：
所以表示与的距离加上与的距离的和，
因为表示数a的点位于与之间，
所以，
故答案：．
（5）解：
，
所以表示与、、的距离之和，
①如图，当表示的点在的右侧时，即，

由数轴得：
，
所以，
所以；
②如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：
因为，
所以，
所以；
③如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：
因为，
所以，
所以；
④当表示的点在或或的点上时，
即或或，
如图，当时，

；
如图，当时，

；
如图，当时，

；
因为，
所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为；
综上所述：当，的最小值为．
故答案： ，．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么a＝ ．

②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．
③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．

【答案】(1)①4；②5；③8
(2)
(3)①或；②7；③当时，的值最小，最小值是7
【分析】（1）根据两点之间的距离较大的数较小的数可得结论；
（2）因为不确定和的大小关系，所以数轴上表示数和数的两点之间的距离等于；
（3）①根据绝对值的意义可得：，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③分析得出表示一点到，1，2三点的距离的和，据此可解．
【详解】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是；
②数轴上表示和的两点之间的距离是；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是；
（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；
（3）①，
∴或，
解得：或；
②∵数轴上表示数a的点位于与2之间，
∴，
∴；
③表示一点到，1，2三点的距离的和，
∴当时，该式的值最小，最小值为．
∴当时，的值最小，最小值是7．
【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系，是解题的关键．
解绝对值方程
例题：（2022秋·全国·七年级专题练习）解下列绝对值方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可；
（2）根据绝对值的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：
，
或，
解得：或．
【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)或
(2)或
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（2）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（3）根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；
（4）首先对方程进行整理，得出，再根据绝对值的意义，去绝对值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解．
【详解】（1）解：，
∴或，
解得：或，
∴原方程的解为：或；
（2）解：，
∴或，
解得：或，
∴原方程的解为：或；
（3）解：，
∴或，
解得：或，
∴原方程的解为：或；
（4）解：，
整理，可得：，
∴或，
解得：或，
∴原方程的解为：或．
【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在根据绝对值的意义，去绝对值．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后解题：
符号表示的绝对值为2，表示的绝对值为2，如果那么或．
若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或，利用上面的知识，解方程：．
【答案】或
【分析】注意互为相反数的两个数的绝对值相等．
【详解】解：移项得，，
根据绝对值的意义，得或，
解得或．
【点睛】本题考查了绝对值的概念，同时要注意两种情况，再熟练解方程即可．
一、单选题
1．（2022上·河北唐山·七年级统考期末）已知，则的值为（）
A．2019 B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计算即可．
【详解】解：∵
∴a+3=0，b-2=0，
∴，b=2，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数的性质是解题的关键．
2．（2023上·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且，则（ ）
A． B． C．4 D．-2
【答案】C
【分析】根据判断在数轴上的位置，从而判断和的正负性，通过绝对值的非负性的解出答案.
【详解】解：
在数轴上 在的左边，的右边
，
为负数，为正数
故答案选：
【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，在解题过程中是否能通过已知条件判断绝对值里面数的正负性是解题的关键.
3．（2022下·四川遂宁·七年级统考期末）方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先去绝对值，得到，或，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，或，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值方程的解，解题的关键是熟练掌握绝对值方程的解法．
4．（2022上·山东青岛·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，
，，，
则原式，
故选：B．
【点睛】此题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，化简绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
二、填空题
5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若，则的值是 ．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得到答案．
【详解】解：，，，
，，
，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
6．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）有理数在数轴上的位置如图，化简： ．

【答案】/
【分析】利用有理数 在数轴上的位置确定 ， 的符号，进而得到 的符号，再利用绝对值的意义化简运算即可；
【详解】解：由有理数 在数轴上的位置可得：
原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数轴， 绝对值，实数的运算，利用有理数 在数轴上的位置确定 , 的符号是解题的关键
7．（2021上·广西南宁·七年级统考期中）已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则 ．
【答案】0
【分析】）当a，b，c为正数时，有最大值3，当a，b，c为负数时，有最小值-3，求得m、n值，从而可求解．
【详解】解：当a，b，c为正数时，有最大值是3,
∴m=3，
当a，b，c为负数时，的最小值是-3，
∴n=-3．
∴m+n=3-3=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是分两种情况讨论．
三、解答题
8．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）已知有理数，，，且．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；
(2)化简：．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，，且．即可求解．
（2）先判断、、的正负号，即可化简．
【详解】（1）解： ，，，且．
．
在数轴上将，，三个数在数轴上表示出来如图所示：
（2）解：根据数轴位置关系，可得：、、．
．
【点睛】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是、、的正负性．
9．（2022上·山东德州·七年级校考期末）已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简：；
(2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过数轴判断a、b、c的相对大小，从而确定绝对值里代数式的值的符号，再去掉绝对值，最后实现化简；
（2）两个非负数互为相反数，只能各自为零．求出a、b、c的值再计算代数式的值．
【详解】（1）由图可得且
∴，，，
∴
∴
（2）∵与互为相反数
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴原式
【点睛】此题考查数轴，绝对值的性质，解题关键在于利用数轴比较各数的大小，再进行计算．
10．（2023上·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
【答案】(1)4；1
(2)或4；4
(3)存在；或2
【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
（2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3，
∴，，
∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
故答案为：4；1．
（2）解：当时，，
解得：；
当时，，
∴当时，不存在x的值使；
当时，，
解得：；
∴时，或；
当时，，
当时，，
当时，，
∴的最小值为4；
故答案为：或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
解，
∴，
解得：，
∴点S表示的数为6，
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
，
解得：；
当时，由得：
或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
11．（2023·全国·七年级假期作业）请利用绝对值的性质，解决下面问题：
(1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______．
(2)已知，，是有理数，，，求的值．
(3)已知，，是有理数，当时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据正负数去绝对值的方法即可求解．
（2）由可得，由根据进而可求解．
（3）分四种情况讨论：①当都是正数，即时；②当有一个为正数，另两个为负数时，设；③当有两个为正数，一个为负数时；④当三个数都为负数时，分别去绝对值即可求解．
【详解】（1）解：当时，则，
当，则，
故答案为：，．
（2）已知是有理数，，
所以，且中两正一负，
所以．
（3）由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数．
①当都是正数，即时，
则：，
②当有一个为正数，另两个为负数时，设，
则：，
③当有两个为正数，一个为负数时，
设，
则：，
④当三个数都为负数时，
则：，
综上所述：的值为或或或
【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的乘除法，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它相反数是解题的关键．
12．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当，时，A，B之间的距离；
②当，时，A，B之间的距离 ；
③当，时，A，B之间的距离 ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为 ；
【问题解决】
（3）应用：
数轴上，表示和3的两点A和B之间的距离是5，试求的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若，则 ．
②若，则 ．
③若，满足，则代数式的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】（1）7，3；（2）；（3）或；（4）①4②0或8③6，0
【分析】（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出，的取值范围，然后计算解题．
【详解】（1）②；
③；
故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为，
故答案为：．
（3）∵
∴，
解得： 或；
（4）①，
即，
解得：；
故答案为：4．
②若，
当时，，解得；
当时，，方程无解；
当时，，解得；
故答案为：8或0．
③由题可知，，
又∵，
∴，，
即，，
∴代数式的最大值是最小值是，
故答案为：6，0．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，解题的关键是了解数轴上两点间的距离的含义，利用数形结合、从特殊到一般的数学思想结合解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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