资源简介

(共18张PPT)
第13课
算法的设计
目录
分治算法步骤
01
分治算法概念
02
分治算法策略
03
分治算法特征
04
分治算法概念
01
Part One
【分治法】
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……等。任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如
对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治算法策略
02
分治策略是：
对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k(1\u003Ck≤n)个子问题， 且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解，这自然导致递归过程的产生。"分治"与"递归"像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治算法特征
03
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
01
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。（前提）
02
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；（最关键的一点）
03
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
04
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征。
如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
分治算法步骤
04
分治法的基本步骤分治法在每一层递归上都有
三个步骤：
分解将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题。
01
解决若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题。
02
合并将各个子问题的解合并为原问题的解。
03
练习1
针对机器人画正六边形的问题,设计一个算法。
练习2
练习3
感谢聆听

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