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人教A版（2019）高一数学必修第一册课时同步学案　
5.2.1三角函数的概念(2)
【知识梳理】
【知识点一】三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正；三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
【知识点二】诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：
作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°～360°)角的三角函数值.
【题型探究】
【类型一】三角函数值的符号确定
【例1】(1)若sinα·tanα<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)判断下列各式的符号：
①sin105°·cos230°；②cos3·tan.
【方法归纳】
判断三角函数值的符号时，准确确定角的终边所在的位置是前提，准确记忆三角函数值在各象限的符号是关键.
1若已知角α的终边所在的象限，可直接利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断其三角函数值的符号；
2若已知角α为【0，2π内的角，则需先判断角α的终边所在的位置，然后再判断其三角函数值的符号；,3若已知角α为任意角，则可以利用公式一将角α的三角函数转化为【0，2π内的角的三角函数，判断其终边所在的位置，然后再判断其三角函数值的符号；
4若角α的终边所在的位置不确定，则需要对角α的终边的位置进行分类讨论注意终边落在坐标轴上的角.
【变式训练1】(1)若cosα<0，则角α是(　 　)
A．第二象限角
B．第三象限角
C．第二或第三象限角
D．第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上的角
(2)设θ是第三象限角，且满足＝－sin，则角为第_____象限角．
【类型二】诱导公式一的应用
【例2】计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos1 110°＋cos(－1 020°)sin750°；
(2)sin(－)＋costan4π.
【方法归纳】
利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤
1定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈【0，2π，k∈Z；
2转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值；
3求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
【变式训练2】求下列各式的值：
(1)sin＋tan；
(2)sin810°＋cos360°－tan1 125°.
【类型三】三角函数概念的综合应用
【例3】在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图所示)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanαA. B.
C. D.
【方法归纳】
解答与三角函数定义相关的综合问题时要充分理解三角函数的定义，并充分挖掘题目所给条件，将二者有效综合.结合给出的问题，采用数形结合、分类讨论、逻辑推理等思想方法来求解.如本例主要采用了分类讨论思想来解题.
【变式训练3】若sin2α>0，且cosα<0，试确定角α的终边所在的象限．
【课堂练习】
1．cos450°等于(　 　)
A．1　　　　　　　　　　 B.
C．0 D.
2．若tanθ·sin2θ<0，则角θ在(　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第二象限或第四象限 D．第二象限或第三象限
解析：因为tanθ·sin2θ<0，所以tanθ<0，于是角θ在第二象限或第四象限．
3．若－<α<0，则点Q(cosα，sinα)位于(　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．sin＋cos－tan的值为______.
5．判断下列各式的符号：
(1)tan120°·sin269°；
(2)cos4·tan.
【参考答案】
【例1】(1)C　(2)见解析
【解析】(1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角．由<0可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角，故选C.
(2)解：①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°·cos230°<0.
②∵<3<π，∴3是第二象限角，∴cos3<0.
又－是第三象限角，
∴tan>0.∴cos3·tan<0.
【变式训练1】(1)D
解析：∵cosα<0 x<0，∴α是第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上的角．
(2)四．
解析：因为θ是第三象限角，
所以π＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ<<π＋kπ，k∈Z，
所以角为第二或第四象限角，
又因为＝－sin，所以sin<0，所以为第四象限角．
【例2】【解】(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin(－2π＋)＋cos(2π＋)·
tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
【变式训练2】解：(1)sin＋tan
＝sin＋tan
＝sin＋tan＝＋1.
(2)sin810°＋cos360°－tan1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.
【例3】C
【解析】设点P的坐标为(x，y)，已知tanα1，则x|x|，则<－1，所以0，则x【变式训练3】解：∵sin2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴kπ<α当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
有2mπ<α<2mπ＋(m∈Z)；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，
有2mπ＋π<α<2mπ＋(m∈Z)．
∴角α的终边可能位于第一或第三象限．
又cosα<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
综上可知，角α的终边位于第三象限.
【课堂练习】
1．C
解析：cos450°＝cos90°＝0.故选C.
2．C
解析：因为tanθ·sin2θ<0，所以tanθ<0，于是角θ在第二象限或第四象限．
3．D
解析：因为－<α<0，所以cosα>0，且sinα<0，所以点Q(cosα，sinα)在第四象限，故选D.
4．0.
解析：原式
＝sin＋cos－tan
＝sin＋cos－tan＝＋－1＝0.
5．解：(1)∵120°是第二象限角，∴tan120°<0.
∵269°是第三象限角，∴sin269°<0.
∴tan120°·sin269°>0.
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，
∴cos4<0.∵－＝－6π－，
∴－是第四象限角．∴tan<0.
∴cos4·tan>0.

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