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人教A版（2019）高一数学必修第一册课时同步学案　
5.2.1三角函数的概念(1)
【知识梳理】
【知识点一】三角函数的定义(坐标法)
1．锐角三角函数定义
如图所示，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在它的终边上任取一点P(a，b)(与原点不重合)，点P到原点的距离是r(r＝)．过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.我们有sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.
特别地，当r＝1时，sinα＝＝b，cosα＝＝a，tanα＝＝.
2．利用角终边上任意一点的坐标定义角的三角函数
一般地，设α是一个任意角，它的终边上有任意一点P(x，y)(不与原点重合)，点P到原点的距离是r(r＝)，如图所示．
那么：sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．
【知识点二】三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么：
(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα；
(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα；
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值(x≠0)叫做α的正切，记作tanα，
即＝tanα(x≠0)．
可以看出，当α＝＋kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以＝tanα无意义．除此之外，对于确定的角α，的值也是唯一确定的．所以，＝tanα(x≠0)也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为
正弦函数　y＝sinx，x∈R；
余弦函数　y＝cosx，x∈R；
正切函数　y＝tanx，x≠＋kπ(k∈Z)．
【题型探究】
【类型一】坐标法求三角函数值
【例1】(1)在平面直角坐标系中，已知角α始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且α终边上有一点P坐标为(－2,3)，则2sinα＋cosα＝(　　)
A.　　　　B．－ C. D．1
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝________.
【方法归纳】
1．已知角α的终边上一点P(x，y)，先计算r＝|OP|＝；第二步，求值：由sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)求值．在含有参数的问题时，要注意分类讨论思想的运用．
2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
【变式训练1】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦、正切值．
【类型二】单位圆法求三角函数值
【例2】利用定义求π的正弦，余弦和正切值．
【方法归纳】
1．若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值．
2．若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.
【变式训练2】(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点和，那么sinαcosβ＝(　 　)
A．－ B．－
C. D.
(2)若角α的终边与单位圆的交点是P，则sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______.
【类型三】三角函数概念的综合应用
【例3】已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
【方法归纳】
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标a，b，则对应角的三角函数值分别为sinα＝
【变式训练3】已知角α的终边在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．
【限时训练】
1．已知角α的终边与单位圆交于点(－，－)，则sinα的值为(　 　)
A．－ B．－
C. D.
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cosθ＝(　 　)
A. B．－
C. D．－
3．已知sinα＝，cosα＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是____________.
4．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m＝________.
5．已知角α的终边在直线y＝3x上，求sinα＋cosα的值．
【参考答案】
【例1】(1)C　(2)－
【解析】(1)已知角α始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且α终边上有一点P坐标为(－2,3)，则sinα＝＝，cosα＝＝－，
2sinα＋cosα＝－＝.
(2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，
∴cosα＝＝－，
解得x＝，∴P，
∴sinα＝－，tanα＝，
则＋＝－＋＝－.
【变式训练1】解：因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，
所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.
当a>0时，sinα＝＝＝＝，
cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2；
当a<0时，
sinα＝＝＝＝－，
cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝2.
【例2】【解】如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过P作PB⊥x轴于点B，在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝，则|PB|＝，|OB|＝，则P.所以sin＝，cos＝－，tan＝＝－.
【变式训练2】（1）B.
解析：由三角函数定义可知sinα＝，cosβ＝－，
所以sinαcosβ＝－，故选B.
(2)解析：依题意，x2＋2＝1，解得x＝±，
于是sinα＝，cosα＝±，tanα＝＝±.
【例3】【解】方法一：(一般解法)设角α终边上任意一点为P(k，－k)(k≠0)，则r＝＝2|k|.
(1)当k>0时，r＝2k，α是第四象限角，
则sinα＝＝－，cosα＝＝，
tanα＝＝－.
(2)当k<0时，r＝－2k，α是第二象限角，
则sinα＝＝，cosα＝＝－，
tanα＝＝－.
方法二：(特殊解法)直线x＋y＝0，即y＝－x，
经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，
则r＝＝2，
所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，
则r＝＝2，
所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
【变式训练3】解：方法一：(一般解法)因为角α的终边在直线y＝x上，所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则
r＝＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sinα＝＝－，
cosα＝＝－，tanα＝＝.
方法二：(特殊解法)y＝x经过第一、三象限，在第一象限取点(1，)，则r＝2，
所以sinα＝，cosα＝，tanα＝；
在第三象限取点(－1，－)，则r＝2，
所以sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.
【限时训练】
1．B
解析：根据三角函数的定义可知sinα＝y＝－.
2．A
解析：由已知得x＝4，y＝－3，所以
r＝＝5，故cosθ＝.
3．
解析：由三角函数的定义易得角α的终边与单位圆的交点坐标是.
4．－4.
解析：由题意，cosα＝＝－，解得m＝－4.
5．解：在直线y＝3x上任取一点P(x,3x)(x≠0)，
则r＝＝|x|.
①若x>0，则r＝x，从而sinα＝＝，
cosα＝＝，∴cosα＋sinα＝.
②若x<0，则r＝－x，
从而sinα＝＝－，
cosα＝＝－，
∴cosα＋sinα＝－.

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