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24.4 弧长和扇形面积
一、选择题
1．在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，将边长为2的正六边形铁丝框变形为以B为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），所得扇形ABC（阴影部分）的面积是（　　）
A．4 B．8 C． D．
3．如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC=4，以A为圆心、AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 ， ， 两点之间的距离为 ，圆心角为 ，则图中摆盘的面积是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点 、 、 在圆 上，若 ， ，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在 Rt△ABC 中BC=2 ，以 BC 的中点 O 为圆心的⊙O 分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点， 的长为（　　）
A． B． C．π D．2π
8．如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 .连接 ， .如果 ， ，那么图中阴影部分的面积是（　　）.
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知扇形的圆心角为80°，半径为2，则该扇形的弧长为　 　．（结果保留π ）
10．如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
11．如图，点A在半圆O上，BC为直径．若∠ABC＝40°，BC＝2，则的长是 　 　．
12．如图，六边形ABCDEF是半径为6的圆内接正六边形，则的长为　 　．
13．如图，是的直径，点在上，，，．若的半径为1，则图中阴影部分的面积是　 　（结果保留）．
三、解答题
14．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边长为2cm，求弧三角形的周长．
15．如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，AF＝12 cm，求图中半圆的面积.
16．如图，为的直径，点P为延长线上的一点，过点P作的切线，切点为M，过两点分别作的垂线，垂足分别为 ，连接．求证：
（1） 平分 ；
（2）若 ，求 的长．
17．如图，是的直径，是的切线，切点为A，交于点D，点E是的中点.
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为2，，，求图中阴影部分的周长.
参考答案
1．D
2．B
3．D
4．D
5．C
6．A
7．B
8．B
9．
10．
11．
12．
13．
14．解：∵正三角形ABC的边长为2cm，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴ 弧三角形的周长为×2π×2=2πcm.
15．解：如图，∵在直角△ABO中，∠B＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，
∴AO＝ ＝5 cm.
则在直角△AFO中，由勾股定理，得到FO＝ ＝13 cm，
∴图中半圆的面积＝ π× 2＝ π× (cm2).
答：图中半圆的面积是 cm2.
16．（1）解：连接OM，
∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，∴OM∥AC，
∴∠CAM=∠AMO，
∵OA=OM，∠OAM=∠AMO，
∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB；
（2）解：∵∠APE=30°，
∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°，
∵AB=4，∴OB=2，
∴ 的长为 ．
17．（1）解：直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中
∵OA=OD
∠1=∠2
OE=OE，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE=AE，
∵点E是AC的中点，
∴DE=AE= AC=2.5，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴阴影部分的周长=

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