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第六章 平面向量初步
单元复习
【知识梳理】
一、向量的有关概念
(1)向量及向量的模
一般地，我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度).
(2)向量及其模的表示法、记法、写法
我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示.
通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量.此时，向量a的模也用|a|或||来表示.
(3)零向量与单位向量
①零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.记作0.可以认为零向量的方向是不确定的.
②单位向量：模等于1的向量称为单位向量.
二、向量的相等与平行
(1)相等向量
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.
(2)向量平行(向量共线)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.两个向量平行也称为两个向量共线.
三、向量加法法则
图示 几何意义
三角形法则 平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，记作a＋b，a＋b＝＋＝
平行四 边形 法则 平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，＝＋＝＋
四、向量加法的运算律及模之间的不等式
(1)向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(2)向量加法的运算律
①加法交换律对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a.
②加法结合律对于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
五、向量的减法
(1)向量的减法法则
定义 平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，记作x＝a－b
向量减法的 三角形法则 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，因此向量就是向量a和b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝
结论 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
(2)相反向量
定义 给定一个向量，我们把这个向量方向相反，大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a
性质 (1)零向量的起点与终点相同，于是－0＝0； (2)任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0； (3)一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量
六、数乘向量
(1)数乘向量
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λa|＝|λ||a|，若a≠0，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.当λ＝0或a＝0时，λa＝0.数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.
(2)数乘向量的运算律
设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②λ(μa)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
七、向量的线性运算
(1)向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量以及它们的混合运算，通常叫作向量的线性运算.
(2)向量共线
一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线.
八、共线向量基本定理
(1)共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)三点共线的性质
已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t，即存在实数x，y，使得＝x＋y(x＋y＝1).
九、平面向量基本定理
(1)基底：平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
十、直线上向量的坐标及运算
　(1)直线上向量的坐标
名称 定义
数轴 在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴
a在轴l上的坐标 如果a＝xe，则x称为向量a在轴l上的坐标
(2)直线上向量的坐标运算
法则(或公式) 文字语言 符号语言
直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等 设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b x1＝x2
直线上求两个向量的和 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝(x1＋x2)e
直线上两点间的距离 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点 AB＝||＝|x2－x1|
数轴上的中点坐标公式 设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点 x＝
十一、平面向量的坐标及运算
(1)平面向量的坐标
①向量垂直：平面上两个非零向量a与b，如果它们所在直线互相垂直，就称向量a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直.
②正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
③向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
(2)向量的坐标运算
向量的加、减法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.
向量的数乘、 加、减混合 运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)
向量的模 若a＝(x，y)，则|a|＝
(3)平面上两点之间的距离公式与中点坐标公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB＝||＝
，线段AB的中点坐标为.
(4)向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2＝x2y1.
十三、平面向量线性运算的应用
(1)向量在平面几何中的应用
①证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0) b＝λa x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
②求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.
③要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ.
(2)向量在物理中的应用
①力向量
力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.
②速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.
【热考题型】
【考点1】平面向量及其线性运算
一、单选题
1．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高二专题练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中学校联考期中）在中，，，与交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
6．（2023上·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ）

A．8 B．12 C．32 D．16
二、多选题
7．（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．单位向量都相等
8．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则是在的投影向量
D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为
9．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知，若点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点一定在内部 B．
C． D．
三、填空题
10．（2023上·江苏南通·高三统考期中）设为实数，若向量，，且与共线，则 .
11．（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ．
12．（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知非零向量满足，则与的夹角为 ．
四、解答题
13．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

14．（2023·全国·高一课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．

(1)试用，表示．
(2)试用，，表示．
15．（2023·全国·高一随堂练习）判断三点是否共线.
(1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线.
(2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.
【考点2】向量基本定理与向量的坐标
一、单选题
1．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）若，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山东济宁·高三统考期中）在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．8
5．（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（2023上·河北沧州·高三校联考期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023上·高二课时练习）设一次函数（c为常数）的图象为直线l，那么直线l的一个方向向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023下·贵州·高一校联考阶段练习）在直角梯形中，，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
三、填空题
9．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）如图，在平面四边形中，，，延长交的延长线于点，若，则 .

10．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 .
11．（2023上·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知向量，且，则 .
四、解答题
12．（2022下·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．
13．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，，，与所成角是.
(1)若，求实数x，y的值；
(2)求线段EF的长度.
14．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若.
(1)求的值；
(2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值.
【考点3】平面向量线性运算的应用
一、单选题
1．（2023下·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）已知中，，，则此三角形为（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023·江苏·高一专题练习）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B．2
C． D．
4．（2023上·北京海淀·高三统考期中）在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·广东佛山·高二统考期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
6．（2023下·广东清远·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A．km/h B．km/h
C．km/h D．km/h
二、多选题
7．（2023下·海南海口·高一海口一中校考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为
B．已知的三个内角分别为，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的重心
C．在中，若，则为锐角三角形
D．为内部一点，，则，，的面积比为
8．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
三、填空题
9．（2023下·湖南怀化·高一统考期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为
10．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第四中学校考阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 .
11．（2020上·天津北辰·高三统考期中）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为 .
四、解答题
12．（2023下·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
13．（2023上·河南郑州·高二校考阶段练习）向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程.
(1)已知矩形ABCD，M为平面内任意一点，请用向量法证明：
(2)如图，已知圆
，A，B；是圆O上两个动点，点
，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程.
14．（2023下·江西九江·高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．
(1)若，，求x，y的值；
(2)求最小值．第六章 平面向量初步
单元复习
【知识梳理】
一、向量的有关概念
(1)向量及向量的模
一般地，我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度).
(2)向量及其模的表示法、记法、写法
我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示.
通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量.此时，向量a的模也用|a|或||来表示.
(3)零向量与单位向量
①零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.记作0.可以认为零向量的方向是不确定的.
②单位向量：模等于1的向量称为单位向量.
二、向量的相等与平行
(1)相等向量
一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.
(2)向量平行(向量共线)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.两个向量平行也称为两个向量共线.
三、向量加法法则
图示 几何意义
三角形法则 平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为a与b的和(也称为向量a与b的和向量)，记作a＋b，a＋b＝＋＝
平行四 边形 法则 平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，＝＋＝＋
四、向量加法的运算律及模之间的不等式
(1)向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(2)向量加法的运算律
①加法交换律对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a.
②加法结合律对于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
五、向量的减法
(1)向量的减法法则
定义 平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，记作x＝a－b
向量减法的 三角形法则 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，因此向量就是向量a和b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝
结论 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
(2)相反向量
定义 给定一个向量，我们把这个向量方向相反，大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a
性质 (1)零向量的起点与终点相同，于是－0＝0； (2)任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0； (3)一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量
六、数乘向量
(1)数乘向量
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λa|＝|λ||a|，若a≠0，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.当λ＝0或a＝0时，λa＝0.数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.
(2)数乘向量的运算律
设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②λ(μa)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
七、向量的线性运算
(1)向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量以及它们的混合运算，通常叫作向量的线性运算.
(2)向量共线
一般地，如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线.
八、共线向量基本定理
(1)共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)三点共线的性质
已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t，即存在实数x，y，使得＝x＋y(x＋y＝1).
九、平面向量基本定理
(1)基底：平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
十、直线上向量的坐标及运算
　(1)直线上向量的坐标
名称 定义
数轴 在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴
a在轴l上的坐标 如果a＝xe，则x称为向量a在轴l上的坐标
(2)直线上向量的坐标运算
法则(或公式) 文字语言 符号语言
直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等 设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b x1＝x2
直线上求两个向量的和 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝(x1＋x2)e
直线上两点间的距离 设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点 AB＝||＝|x2－x1|
数轴上的中点坐标公式 设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点 x＝
十一、平面向量的坐标及运算
(1)平面向量的坐标
①向量垂直：平面上两个非零向量a与b，如果它们所在直线互相垂直，就称向量a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直.
②正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.
③向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
(2)向量的坐标运算
向量的加、减法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.
向量的数乘、 加、减混合 运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)
向量的模 若a＝(x，y)，则|a|＝
(3)平面上两点之间的距离公式与中点坐标公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB＝||＝
，线段AB的中点坐标为.
(4)向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2＝x2y1.
十三、平面向量线性运算的应用
(1)向量在平面几何中的应用
①证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0) b＝λa x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
②求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.
③要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ.
(2)向量在物理中的应用
①力向量
力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.
②速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.
【热考题型】
【考点1】平面向量及其线性运算
一、单选题
1．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.
【详解】因为，故同向.
对于A:，方向相反,A选项错误；
对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；
对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；
对于D:,不能确定的方向，D选项错误.
故选：C．
2．（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先表示出，联立，反解出即可
【详解】点分别为的中点，
，
，
，
，
，
故选：C
3．（2023·全国·高二专题练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算计算即可.
【详解】
.
故选：A.
4．（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：C
5．（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中学校联考期中）在中，，，与交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得和，运算求解即可.
【详解】因为，则为的中点，可得，
注意到三点共线，可得，
又因为三点共线，则∥，
则存在实数，使得，即，
则，可得，
综上所述：，解得，可得.
故选：B.
6．（2023上·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ）

A．8 B．12 C．32 D．16
【答案】C
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.
【详解】因为，所以，因为，所以，
因为三点共线，所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32.
故选：C
二、多选题
7．（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．单位向量都相等
【答案】ABD
【分析】根据向量的概念以及平行向量的概念判断求解.
【详解】对A, 有向线段与表示相反向量，不是同一向量，A错误；
对B，两个有公共终点的向量不一定是平行向量，B错误；
对C，我们规定：零向量与任意向量是平行向量，C正确；
对D，单位向量仅是模长相等，方向不确定，D错误；
故选:ABD.
8．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则是在的投影向量
D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】对选项A，B，用平面向量的加减法即可；对C，首先根据已知得到AD为的平分线，即，再利用平面向量投影的概念判断即可；对D，首先根据A，P，D三点共线，设，再根据已知得到，从而得到，再利用二次函数的性质即可.
【详解】
如图所示：对选项A，，
故A错误；
对选项B，
，
故B正确；
对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.
因为，
所以为的平分线，
又因为为的中线，所以，
如上图所示：在的投影为，
所以是在的投影向量，故选项C正确；
对选项D，
如上图所示： 因为在上，即三点共线，
设，.
又因为，所以.
因为，则，.
令，
当时，取得最大值为.故选项D正确；
故选：BCD
9．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知，若点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点一定在内部 B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，再根据面积关系判断C、D，又平面向量线性运算法则判断B.
【详解】由，所以，
设、分别是、的中点，所以，
于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确；
又，所以，则，故B正确；
由A可知，，且，
所以，，即，故C正确；
所以，故D错误；
故选：ABC
三、填空题
10．（2023上·江苏南通·高三统考期中）设为实数，若向量，，且与共线，则 .
【答案】/
【分析】根据共线向量的坐标公式，可得答案.
【详解】，，与共线，
则，则.
故答案为：.
11．（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则 ．
【答案】/0.1
【分析】由平面向量的线性运算和三点共线的充分必要条件得出结果.
【详解】因为E为AD的中点，所以，
因为B，D，C三点共线，所以，
所以，解得．
故答案为：
12．（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知非零向量满足，则与的夹角为 ．
【答案】/
【分析】根据向量减法的几何意义分析求解.
【详解】如图，设，
因为，即，可知为等边三角形，
所以与的夹角为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】答案见解析
【分析】根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可.
【详解】如图，作，则即为，
再作，则向量即为．

14．（2023·全国·高一课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．

(1)试用，表示．
(2)试用，，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可.
【详解】（1）
．
（2）
．

15．（2023·全国·高一随堂练习）判断三点是否共线.
(1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线.
(2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)A，B，C三点共线，理由见解析
【分析】根据向量共线定理判断.
【详解】（1），
所以，
又因为有公共起点，故A，B，D三点共线.
（2） ，
所以，
又因为有公共起点，故A，B，C三点共线.
【考点2】向量基本定理与向量的坐标
一、单选题
1．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）若，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】由，可得，
，
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据基底的概念确定正确答案.
【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，
C选项中，，即和为共线向量，
所以它们不能作为基底.
其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.
故选：C
3．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.
【详解】设，故，而，
故，故，故，
故选：A.
4．（2023上·山东济宁·高三统考期中）在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．8
【答案】C
【分析】画出图形，通过向量线性运算分析得到，从而利用乘“1”法以及基本不等式即可求解，注意验证取等条件是否满足.
【详解】如图所示：
不妨设，则，
同理设，则，
所以
又由题意，
所以，
从而，
当时，由基本不等式可得，
等号成立当且仅当.
综上所述：的最小值为2.
故选：C.
5．（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知向量，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先得到，根据向量平行得到方程，求出答案.
【详解】，
又，故，解得.
故选：A
6．（2023上·河北沧州·高三校联考期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解.
【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，
因为与的面积之比为2，则，
当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为；
当点与点重合时，可得，
此时，即，此时为最大值为，
所以的取值范围为.
故选：C.

二、多选题
7．（2023上·高二课时练习）设一次函数（c为常数）的图象为直线l，那么直线l的一个方向向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先确定一个方向向量，再比较每个选项是否与该向量平行即可.
【详解】在直线l上取两点，则直线l的一个方向向量为 ，
对于A，，所以A选项不是l的方向向量；
对于B，显然是方向向量；
对于C，，C选项不是方向向量；
对于D，，D选项是方向向量；
故选：BD.
8．（2023下·贵州·高一校联考阶段练习）在直角梯形中，，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，设，用坐标表示出，再根据列方程可得，然后可得.
【详解】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，
则
设，则
∵，
∴，
∴整理得，
因为，所以
故选：ABC
三、填空题
9．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）如图，在平面四边形中，，，延长交的延长线于点，若，则 .

【答案】/
【分析】根据相似比以及平面向量基本定理求得的值.
【详解】由于，，
所以，所以，所以，
过作，垂足为，则，
由于，所以，
所以.
故答案为：

10．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 .
【答案】
【分析】根据题意转化为，设，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.
【详解】因为点，点在线段的延长线上，且，
可得，
设，则，即 ，
解得，即点的坐标为.
故答案为：.
11．（2023上·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知向量，且，则 .
【答案】12
【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】由，可得，解得.
故答案为：12
四、解答题
12．（2022下·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．
【答案】
【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围
【详解】设，
则
因为，所以
即，解得，
所以
因为，所以
即
13．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，，，与所成角是.
(1)若，求实数x，y的值；
(2)求线段EF的长度.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意，可得，化简得到，再结合条件得到的值；
（2）由，结合条件，求出线段EF的长度即可.
【详解】（1）由题意，可得．
∵E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，
∴，，
∴①+②得，，
∴，又，
∴，．
（2）∵，，，所成角为，
∴，
∴，
∴线段EF的长度为.
14．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若.
(1)求的值；
(2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解.
（2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】（1）由题意画出图像，
因为，
所以且，
注意到共线且共线，所以
解得.
（2）由（1）和图象可知，结合.
于是，所以.
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
于是的最小值为.
【考点3】平面向量线性运算的应用
一、单选题
1．（2023下·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）已知中，，，则此三角形为（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形.
【详解】如下图所示：

设M为AC中点，则，
所以，即为等腰三角形，
又，所以，
即，
所以，可得，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.
2．（2023·江苏·高一专题练习）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积为负以及共线情况，即可求解.
【详解】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反，
当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得，
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】C
【分析】设，且，为线段的中点，根据题意得到，进而得到点在半径为的圆，即可得到的最大值.
【详解】设，且，为线段的中点，
因为，所以，
则，所以，
所以点在以为圆心，半径为的圆，所以的最大值即为该圆的直径，
所以的最大值为.
故选：C.
4．（2023上·北京海淀·高三统考期中）在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算即可得，进而将可看作是点到点的距离，即可求解.
【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于所以，
由于点在，不妨设 ，,
，其中，
,
所以，
可看作是上的点到点的距离，
由于点在线段上运动，
故当点运动到点时，此时距离最大，为,
当点运动到点时，此时距离最小为0，
综上可知：，
故选：A

5．（2023上·广东佛山·高二统考期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据降落伞在匀速下落的过程中力的平衡可列式求解，即得答案.
【详解】设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，
则，故，
故选：C
6．（2023下·广东清远·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A．km/h B．km/h
C．km/h D．km/h
【答案】B
【分析】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】如图所示：

，，
，
设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，
则有所以有
，
故选：B.
二、多选题
7．（2023下·海南海口·高一海口一中校考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为
B．已知的三个内角分别为，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的重心
C．在中，若，则为锐角三角形
D．为内部一点，，则，，的面积比为
【答案】ABD
【分析】对于A，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求出的最小值可判断A正确；对于B，取的中点为，过作直线的垂线，垂足为，将化为，可得B正确；对于C，推出为锐角，根据锐角三角形的定义可判断C不正确；对于D，取的中点为，的中点为，由，推出为的中点，可判断D正确.
【详解】对于A，取的中点，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，如图：

则，，，设，
则，，，则，
所以
，当且仅当时，等号成立.
故的最小值为，故A正确；
对于B，取的中点为，过作直线的垂线，垂足为，

则，，
因为，
所以，
所以，
所以与共线，因为，所以动点的轨迹为射线（不含点），一定经过三角形的重心，故B正确；
对于C，在中，若，则，则，
则为锐角，一个锐角不能推出三角形为锐角三角形，故C不正确；
对于D，取的中点为，的中点为，连接，如图：

因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，即，
所以为的中点，
所以，，，
所以，故D正确.
故选：ABD
8．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
【答案】ACD
【分析】A由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；B由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心；C由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形；D令，，则为的重心，由此求出面积比即可.
【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，
又∵，∴，∴，
∴为的重心，故选项A正确；
对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，
则，，
∵，∴，
∴，∴，，∴，，
∴，分别是，边上的垂直平分线，
∴，为的外心，故选项B错误；
对于C，作角的内角平分线与边交于点，
∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，
∴（），∴（），
∴，∴，∴，为等腰三角形，
又∵，且，∴，
∴为等边三角形，故选项C正确；
对于D，设，，由得，
则由选项A可知，为的重心，设的面积，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，故选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
9．（2023下·湖南怀化·高一统考期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为
【答案】/
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.
【详解】
由已知得即为向量与的夹角.
因为M、N分别是，边上的中点，
所以，.
又因为，
所以
，
,
,
所以.
故答案为：
10．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第四中学校考阶段练习）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 .
【答案】
【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可.
【详解】设D为的中点，则，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
11．（2020上·天津北辰·高三统考期中）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意可得，，进一步化为，再利用条件以及基本不等式，求得它的最小值．
【详解】由题意，，，
所以，，
又动点和分别在线段和上，且，，所以，解得，
，
当且仅当时，即时取等号，故的最小值为，
故答案为：．
四、解答题
12．（2023下·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．

(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在．
【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解；
（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则．
由于就是的夹角．

的余弦值为．
（2）设
．
．
由题得．
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
，舍去．
综上，存在．
13．（2023上·河南郑州·高二校考阶段练习）向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程.
(1)已知矩形ABCD，M为平面内任意一点，请用向量法证明：
(2)如图，已知圆
，A，B；是圆O上两个动点，点
，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以A点为原点建立平面直角坐标系，记，，，，设，利用向量的模求解；
（2）利用（1）的结论由求解.
【详解】（1）解：以A点为原点建立平面直角坐标系：
记，，，，设，
则有：，
，
故：；
（2）设，由（1）可得：，
得：，
化简得M轨迹方程为：.
14．（2023下·江西九江·高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．
(1)若，，求x，y的值；
(2)求最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解，
（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值.
【详解】（1）当时，则为的中点，
由于,所以,
所以

（2）由于四边形ABCD是边长为2的菱形，且，建立如图所示的直角坐标系，
则,
取中点为，连接,则,
设
，
，
故当时，取最小值，

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