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第五章 统计与概率
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【知识梳理】
一、普查与抽样调查
(1)普查
①定义：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查).
②优点：普查能够了解总体中每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征.
③适用条件：在总体包含的个体总数不大，或有特殊需要的情况下，可以采用普查的方法.
(2)抽样调查
①定义：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.
②适用条件：普查的方法有时会因为各种原因而无法实施，例如成本太高、时间上不容许、考察方法具有破坏性等，此时就采用抽样调查.
二、简单随机抽样
(1)定义：一般地，简单随机抽样就是从总体中不加任何分组、划类、排队等完全随机地抽取个体.
(2)特点：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到.
(3)适用范围：
当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法.
(4)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法.
①抽签法的优缺点
抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，操作起来就比较麻烦，而且如果抽取之前搅拌不均匀，可能导致抽取的样本不具有代表性.
②随机数表法
用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为：
(ⅰ)对总体进行编号.
(ⅱ)在随机数表中任意指定一个开始选取的位置.位置的确定可以随机确定，也可用其他方式随机确定.
(ⅲ)按照一定规则选取编号.例如，若编号是两位，规则可以是每次从左往右选取两个数字，也可以是每次只选取每一组的前两个数字，还可以是每次只选取下面一行同一位置对应的两个数字，等等.规则一经确定，就不能更改.在选取过程中，遇到超过编号范围或已经选取了的数字，应该舍弃.
(ⅳ)按照得到的编号找出对应的个体.
三、分层抽样
(1)定义：一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
(2)作用：通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征.
四、最值、平均数、中位数、百分位数、众数
(1)最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.
(2)平均数
①定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn).这一公式在数学中常简记为＝xi，
②性质：一般地，如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b.
(3)中位数、百分位数
①中位数：一般地，如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数.
②百分位数：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数.特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值).
(4)众数：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
五、极差、方差与标准差
(1)极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化范围.
(2)方差
①定义：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为
②性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
(3)标准差
①定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn的标准差为
②性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为|a|s.
③作用：如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高，因此标准差(或方差)描述了数据相对于平均数的离散程度.
六、柱形图、折线图、扇形图和茎叶图
(1)柱形图
①柱形图(也称为条形图)可以形象地比较各种数据之间的数量关系.
②特点：柱形图(也称为条形图)中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的.
(2)折线图
一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示.
(3)扇形图
扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.
(4)茎叶图
一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列.茎叶图也可以只表示一组数.“叶”是从“茎”的旁边生长出来的数.茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上往下排列.将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征.
七、频数分布直方图与频率分布直方图
(1)频数与频率
①频数：在一组数据中，数据出现的次数称为频数，某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数.
②频率：在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比称为频率，区间对应的频数与这组数据总个数的比称为区间对应的频率.
(2)频数、频率分布直方图及其折线图
①频率分布直方图制作的方法步骤
②
③频数分布直方图与频率分布直方图的区别
频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率．
④频数分布折线图和频率分布折线图的制作方法
把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来．为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的．
八、用样本估计总体
用样本的分布估计总体的分布
（1）一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大.
（2）在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征.
（3）分层抽样的平均数、方差
假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.
如果记样本均值为，样本方差为b2，则＝＝，
b2＝＝.
九、概率
（1）必然现象与随机现象
①一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象.
②发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象.
（2）样本点和样本空间
①随机试验
把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验Ｗ.
②样本点和样本空间
把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间.
（3）随机事件、必然事件、不可能事件
①随机事件：如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且，若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生.
②必然事件：任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生 ，从而称Ω为必然事件；
③不可能事件：因为空集 不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中 一定不发生，从而称 为不可能事件Ｗ.
④事件的表示与基本事件
（ⅰ）不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示.
（ⅱ）基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件Ｗ.
（4）随机事件发生的概率
①事件A发生的概率通常用P（A）表示.
②我们将不可能事件 发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，
即P（ ）＝0，P（Ω）＝1Ｗ.
③对于任意事件A来说，显然应该有P（ ）≤P（A）≤P（Ω），即0≤P（A）≤1.
十、事件之间的包含、相等、和与积
(1)事件的包含与相等
定义 表示法 图示
包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称A包含于B(或B包含A) A B (或B A)
相等关系 A B且B A A＝B
(2)事件的和与积
定义 表示法 图示
和 由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A＋B (或A∪B)
积 由事件A，B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB(或A∩B)
十一、事件的互斥与对立及概率加法公式
　(1)事件的互斥与对立
定义 表示法 图示
互 斥 若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 AB＝ (或A∩B＝ )
对 立 由样本空间Ω中所有不属于事件A的样本点组成的事件称为A的对立事件 事件A的对立事件 记为
如果B＝，则称A与B相互对立.
(2)互斥事件的概率加法公式
①互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB＝ )时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
②一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
③P(A)＋P()＝1.
十二、古典概型
(1)古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
(2)古典概型概率公式
古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含有m个样本点，则P(C)＝.
十三、频率与概率
用频率估计概率
(1)在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且试验的次数越多，频率与概率之间的差距很小的可能性越大.
(2)一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.此时也有0≤P(A)≤1.
十四、相互独立事件的定义和性质
(1)定义：一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立).
(2)性质：如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.
(3)n个事件相互独立
“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
十五、独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立， 则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An).
事件A，B的各种情形 概率公式
A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B)
A，B都不发生 P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一个不发生 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生 1－P( )＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰好有一个发生 P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
十六、统计与概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1(包含0，1)之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
【热考题型】
【考点1】统计
一、单选题
1．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）某校有教师360人，其中高级及以上职称教师240人，一级职称教师80人，其他职称教师40人，现采用分层抽样从中抽取18人参加某项调研活动，则高级及以上职称教师应抽取的人数是（ ）
A．2 B．4 C．9 D．12
【答案】D
【分析】根据分层抽样的定义求解即可.
【详解】由题意知，高级及以上职称教师应抽取的人数为
人.
故高级及以上职称教师应抽取的人数为12人.
故选：D.
2．（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是（ ）

A．投资3天以内（含3天），采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资9天，采用方案三
【答案】D
【分析】由统计图形，判断投资期限内每天回报累积最大的方案.
【详解】由图可以看出，从每天回报看，投资3天以内（含3天），方案一每天的回报都最多，所以三天回报累积也最多，故A正确；
投资4天，方案三每天的回报都最少，所以三天回报累积也最少，故B正确；
投资6天，方案一每天回报累积约为元，方案二每天回报累积约为元，
方案三每天回报均少于40元，故每天回报累积小于元，所以方案一每天回报累积最多，故C正确；
投资9天，方案三前6天均小于20，第7天小于40，第8天小于60，第9天大约100，故每天回报累积小于，
方案一每天回报累积约为元，所以方案三9天累积回报不是最多，故D不正确.
故选：D
3．（2023上·全国·高三专题练习）工业生产者出厂价格指数(PPI)是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度．根据下面提供的我国2020年1月－2021年12月的工业生产者出厂价格指数的月度同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)和月度环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)涨跌情况的折线图判断，以下结论中正确的是（ ）
A．2020年各月的PPI在逐月增大
B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平
C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月减小
D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平
【答案】D
【分析】根据图像可判断AC，根据同比增长线与线的比较可判断BD.
【详解】由图可看出，选项A，C指的是“环比”，
2020年各月不是逐月增大，2021年也不是逐月减小，故A，C错误；
选项B，D是指“同比”，由于2021年1～12月同比增长线均在0.0%的上方，
所以2021年1～12月各月的PPI均高于2020年同期水平，故D正确；
而2020年1～12月同比增长线不均在0.0%的上方，故B错误．
故选：D
4．（2023上·全国·高三专题练习）某校高一年级1 000名学生的血型情况如图所示.某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（　　）
A．11 B．22 C．110 D．220
【答案】A
【分析】根据扇形图中A型血的学生占比进行求解即可.
【详解】由图中数据可知高一年级A型血的学生占高一年级学生总体的，
所以抽取一个容量为50的样本，从A型血的学生中应抽取的人数是.
故选：A
5．（2023上·天津河北·高三统考期中）某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）

A．40 B．45 C．50 D．60
【答案】C
【分析】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率，结合低于60分的人数即可求得答案.
【详解】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为，
由于低于60分的人数是15，则该班的学生人数是，
故选：C
6．（2023上·全国·高三专题练习）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列结论中，不正确的是（ ）
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数个为优秀）
C．甲班的成绩比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
【答案】D
【分析】根据平均数大小判断选项A；根据中位数大小判断选项B；根据方差大小判断选项C；根据众数定义，题中数据无法得出众数，故选项D无法判断.
【详解】甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，故A正确；
甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，
则甲班每分钟输入汉字数个的人数至多为人，乙班每分钟输入汉字数个的人数人，
则乙班每分钟输入汉字数个的人数要多于甲班，故B正确；
，则甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，故C正确；
由题表看不出两班学生成绩的众数，故D不正确.
故选：D.
二、多选题
7．（2023上·高一课时练习）下面的抽样方法不是分层随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
【答案】ABD
【分析】根据分层抽样的定义逐个分析判断
【详解】对AB，不是分层随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
对于C，是分层随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；
对于D，是简单随机抽样．
故选：ABD
8．（2023上·全国·高三专题练习）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：小时)进行了统计，得到如下频率分布表：
分组
频率 0.25 0.30 0.20 0.25
则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是（ ）
A．众数约为2.5
B．中位数约为3.83
C．平均数为3.95
D．第80百分位数约为5.2
【答案】BCD
【分析】根据众数的定义，中位数的定义，平均数的定义，百分位数的定义即可求解．
【详解】对A，因为最大频率的组的中点值为3.5，则众数大约为3.5，故A错误；
对B，由表可知，中位数在第二组中，设其为，
则，解得，故B正确；
对C，因为平均数为，故C正确；
对D，因为前三组的频率和为0.75，则第80百分位数位于第4组，设其为，
可得，解得，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
9．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是 .
【答案】0.015
【分析】根据频率分布直方图结合频率和为1运算求解.
【详解】由频率分布直方图可知每组频率依次为：，
则，解得.
故答案为：0.015.
10．（2023下·上海·高二专题练习）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中m，n的比值 ．
【答案】
【分析】先分别计算甲组和乙组数据的中位数和平均数，再根据它们的中位数相同，平均数也相同，求出m，n，从而得解.
【详解】由茎叶图得到甲组数据的中位数为，乙组的中位数为，所以，解得；
甲组的平均数=乙组的平均数，所以，解得；
所以；
故答案为：.
11．（2023上·上海黄浦·高三统考期中）某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为 ．
【答案】
【分析】由频率分布直方图的面积和为求出，再计算出结果即可.
【详解】由频率分布直方图可知，解得，
这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为，
故答案为：
四、解答题
12．（2023上·浙江杭州·高二校联考期中）某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准 a，用电量不超过 a的部分按照平价收费，超出部分按议价收费．为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查单位，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)求x的值：
(2)求被调查用户的月用电量平均值：同一组数据用该区间的中点值作代表
(3)若使居民用户的水费支出不受影响，应确定a值为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.
（2）直接根据平均值公式计算得到答案.
（3）确定分位数在之间，计算得到答案.
【详解】（1），解得；
（2）
；
（3）；
；
故分位数在之间，设为，
，
解得.
13．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）某研究小组发现某药物X对神经冲动的产生有明显的抑制作用，称为“麻醉”.该研究小组进行大量实验，刺激突触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突触前神经元的动作电位（单位：mV），在大量实验后，得到如下频率分布直方图.

利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值c.当动作电位小于c时判定为“麻醉”，大于或等于c时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为“未麻醉”的概率，记为；误判率是将未添加药物X的被判定为“麻醉”的概率，记为.
(1)当漏判率为时，求临界值c；
(2)令函数，当时，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意由第二个频率分布直方图的频率可求出；
（2）根据题意得出的解析式，再根据一次函数的单调性即可求解.
【详解】（1）依题可知，漏判率为，
右边第二个频率分布直方图图形中后两个小矩形的面积分别为，
因为，所以，所以，解得；
（2）当时，，
因为函数在上单调递增，所以，
所以在区间的最小值为.
14．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，记.试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
(1)求甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率的中位数和极差；
(2)设的样本平均数为z，样本方差为.判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【答案】(1)中位数：546.5；极差：74
(2)有显著提高
【分析】（1）根据中位数和极差的定义计算即可；
（2）根据平均数与方差公式计算z与，计算比较大小即可.
【详解】（1）根据表格将这十次试验中甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率按大小顺序排列，可得中位数为，极差位；
（2）由表格可知
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12
故，
，
所以，
显然有显著提高.
【考点2】概率
一、单选题
1．（2023下·北京通州·高一统考期中）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】利用基本事件的定义，列举即可．
【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，
则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．
故选：C.
2．（2023·广东·高三学业考试）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，
则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；
B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB，
两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，
两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
3．（2023上·四川·高三统考学业考试）某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》中随机选一本作为课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接计算概率即可.
【详解】《红楼梦》恰好被选中的概率为.
故选：D.
4．（2023上·北京·高二北京五十五中校考期中）手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）.
顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上
手机支付人数 3 12 14 13 27 9 0
其他支付方式人数 0 0 2 9 5 5 1
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用手机支付的概率.
【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），
所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为.
故选：D.
5．（2023上·浙江·高二萧山二中校联考期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件“第一次点数为偶数”，事件“第二次点数为3的倍数”，则（ ）
A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件
C． D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式，结合互斥事件与对立事件的定义即可得解.
【详解】依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有件，
事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，
事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，
所以，
故，，
所以与不是互斥事件，更不是对立事件，故ABD错误，C正确.
故选：C.
6．（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品
B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51
C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2
【答案】D
【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断．
【详解】对于A，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，
并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05，
则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误；
对于B，100次并不是无穷多次，
只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故B错误；
对于C，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误；
对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，
抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确.
故选：D.
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32
【答案】AB
【分析】A选项，根据分层抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据平均数公式得到方程，求出，再利用方差公式计算出结果；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，先得到的方差，根据方差性质得到的方差，进而得到其标准差.
【详解】A选项，个体m被抽到的概率为，A正确；
B选项，已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则，
解得，
，
则这组数据的方差是，B正确；
C选项，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，
从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，
即，所以第70百分位数是23.5，C错误；
D选项，若样本数据的标准差为8，则的方差为64，
设的平均数为，则，
，
又，
故，
则的标准差为，D错误．
故选：AB
8．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“记下的点数为3”，事件“记下的点数为偶数”，事件“记下的点数小于3”，事件“记下的点数大于2”，则（ ）
A．事件与互斥 B．事件与互斥
C．事件与对立 D．事件与对立
【答案】ABD
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.
【详解】依题意骰子面朝上的点数可能为、、、、、共个基本事件，
则事件“记下的点数为偶数”包含、、共个基本事件，
事件“记下的点数小于3” 包含、共个基本事件，
事件“记下的点数大于2”包含、、、共个基本事件，
所以事件与互斥，故A正确；
事件与互斥，故B正确；
事件与不互斥也不对立，故C错误；
事件与互斥且对立，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
9．（2022上·高一单元测试）（1）随机现象的发生能够人为控制其发生或不发生；
（2）随机现象的结果是可以预知的；
（3）不可能事件反映的是确定性现象；
（4）已经发生的事件一定是必然事件.以上说法正确的有 .
【答案】（3）
【分析】根据随机事件、确定性事件的定义逐项判断，可得出结果.
【详解】随机现象不能人为控制，结果无法预知，所以（1）（2）错误；
不可能事件反映的是确定性现象，所以（3）正确；
已经发生的事件以后不一定发生，所以（4）错误.
故答案为：（3）.
10．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜 经随机模拟产生了如下20组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
【答案】
【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.
【详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军，
故估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
11．（2023上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为 ；
【答案】/
【分析】根据题意找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342，
512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13种，
所以估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
四、解答题
12．（2023上·湖北鄂州·高二校联考期中）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
(1)求的值；
(2)求小红不能正确解答本题的概率；
(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.
（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】（1）记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件，则，
因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，
于是，解得，
所以.
（2）若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
所以小红不能正确解答本题的概率是．
（3）记事件为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，
则
，
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为．
13．（2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 10% 8% 4%
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 7.5% 5.5% 3%
频数 50 30 20
(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；
(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．
【答案】(1)
(2)甲鲁班锁玩具所获得的利润1400元；乙鲁班锁玩具所获得的利润1200元
【分析】（1）用频率估计概率,利用频率公式即可求；
（2）分别求出甲、乙两种鲁班锁一等品、二等品、三等品的利润，进而得到两款鲁班锁玩具所获得的利润.
【详解】（1）用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，该产品是一等品的概率为．
（2）甲款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件甲款鲁班锁玩具的利润为（元）．
乙款鲁班锁玩具一等品的利润为（元），
二等品的利润为（元），
三等品的利润为（元），
故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）．
14．（2023上·云南·高二校联考期中）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中．
(1)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）
(2)现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
【答案】(1)平均数的估计值为万元，中位数的估计值为万元；
(2)．
【分析】（1）由于，利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率对应的值即为中位数；
（2）先算出从购车补贴金额的心理预期值在 的6人中，在 间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值间的情况6种，利用古典概型计算公式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，因为，结合频率分布直方图中的平均数的计算公式，
可得数据的平均数的估计值为：
万元，
因为，则中位数在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以中位数的估计值为万元．
（2）解：从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，
则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a，b，c，d，
购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A，B，
则基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15种情况，
其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种情况，
所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
【考点3】统计与概率的应用
一、单选题
1．（2023上·全国·高三专题练习）2022年7月15日，国家统计局发布了2022年上半年居民人均消费支出及构成情况如图所示，根据图中的信息，针对2022年上半年，下列结论不正确的是（　　）
A．居民在“教育文化娱乐”上的人均消费支出的占比为9.8%
B．居民人均消费支出为11440元
C．居民在“居住”“生活用品及服务”“医疗保健”上的人均消费支出之和大于在“食品烟酒”上的人均消费支出
D．居民在“衣着”上的人均消费支出比在“交通通信”上的人均消费支出的一半少
【答案】D
【分析】根据饼状图的信息可对各个选项进行分析运算即可判断，从而得出结论.
【详解】对于A，由题中饼状图可知，居民在“教育文化娱乐”上的人均消费支出的占比为：
，故A正确；
对于B，居民在“其他用品及服务”上的人均消费支出为286元，占比2.5%，
所以居民人均消费支出为 （元），故B正确；
对于C，居民在“居住”“生活用品及服务”“医疗保健”上的人均消费支出之和占比为 ，
在“食品烟酒”上的人均消费支出占比为30.8%， ，故C正确；
对于D，居民在“衣着”上的人均消费支出的占比为6.5%，在“交通通信”上的人均消费支出的占比为12.7%， ，故D错误.
故选：D.
2．（2023下·四川成都·高二校联考期中）2023年2月28日国家统计局发布《2022年国民经济和社会发展统计公报》，其中对近几年国内生产总值及其增长速度（如图1）和三次产业增加值占国内生产总值比重（如图2）做了统计，下列说法错误的是（ ）


A．从2018年至2022年，国内生产总值逐年增加
B．从2018年至2022年，2021年的国内生产总值的增长速度最大
C．从2018年至2022年，第三产业增加值占国内生产总值比重逐年减少
D．从2018年至2022年，第三产业增加值逐年增加
【答案】C
【分析】根据已知的统计图即可逐个选项判断.
【详解】根据图1看出，
从2018年至2022年，国内生产总值逐年增加，A正确；
2021年的国内生产总值的增长速度最大且为8.4，B正确；
根据图2看出，
从2018年至2020年，第三产业增加值占国内生产总值比重逐年增加，
从2020年至2022年，第三产业增加值占国内生产总值比重逐年减少，C错；
第三产业增加值，从2018年至2022年依次为：
，，
，，
，第三产业增加值逐年增加，D正确.
故选：C
3．（2023下·四川成都·高二期末）七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）.现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质,进行边长运算即可得出结论.
【详解】如图，

为等腰直角三角形， 连接,
由题可知， 分别为的中点，
设，则,, , ,
则,
阴影部分②的面积为,
阴影部分⑦的面积为
则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为，
故选：B.
4．（2021·山西·统考一模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.
【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故选：D．
5．（2021·高一课时练习）如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用百分位数的定义即可得解；
【详解】由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为：，，，，0，0，1，2，2，2，
因为共有10个数据，所以是整数，
则这10天最低气温的第80百分位数是．
故选：D
6．（2019·福建·校联考三模）为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲 B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养指标值波动性比乙小 D．甲的六大素养中直观想象最差
【答案】C
【分析】根据所给的六大素养雷达图逐个分析即可.
【详解】A选项,甲的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养为分, 乙的数据分析素养低于甲,选项错误;
B选项,乙的数学建模素养为分, 乙的数学抽象为素养分,选项错误;
C选项, 甲的六大素养指标值分别为,,,,,;乙的六大素养指标值分别为,,,,,,甲的六大素养指标值波动性比乙小,选项正确;
D选项,由C可知,甲的六大素养中,数学抽象,数学建模和数学运算最差,直观想象最最好,选项错误;
故选C.
【点睛】本题考查了命题真假的判断以及统计图雷达图的识别和应用,考查学生简单的推理,属于基础题.
二、多选题
7．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内，从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（ ）

A．样本中分数落在的频数为45人 B．样本的众数为75分
C．样本的平均数为75分 D．样本的80百分位数为85分
【答案】AB
【分析】根据频率分布直方图得到各组概率，根据概率和为1得到分数落在的频率进而求解其频数，从而判断A；根据频率最高的区间得到众数，从而判断B；根据频率分布直方图的平均数与百分位数求法计算，从而判断C和D.
【详解】设分数落在的频率为，
由题意得，各组频率依次为，，，，，，
所以，解得.
对于A，样本中分数落在的频数为人，故A正确；
对于B，由题意知，样本中的频率最高，所以众数为75分，故B正确；
对于C，样本的平均数为分，故C错误；
对于D，分数小于80的频率为，分数小于90的频率为，所以样本的80百分位数位于，设为，
则，解得，故D错误.
故选：AB
8．（2021下·高一单元测试）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是
【答案】BCD
【分析】由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断.
【详解】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误；
故选：BCD
三、填空题
9．（2023·高一课时练习）口袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为，摸出白球或黑球的概率为，那么口袋中共有白球、红球、黑球各 个．
【答案】35，40，25
【分析】先根据概率计算对应颜色球的个数，结合总数100可得.
【详解】由题意，红球和白球的个数为，
白球和黑球的个数为，
所以白球个数为，
红球的个数为，
黑球的个数为，
故答案为：35，40，25
10．（2020·高一课时练习）设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从 箱中取出的.
【答案】甲.
【解析】分别求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此进行判断．
【详解】解：甲箱有99个白球1个黑球，
随机地取出一球，得白球的可能性是，
乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是，
由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．
既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．
我们作出推断是从甲箱中抽出的．
故答案为：甲
【点睛】本题考查概率的应用，属于基础题，解题时要认真审题，注意概率的计算．
11．（2023·四川自贡·统考二模）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为，，，半径分别为，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则 .
【答案】/
【分析】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出答案.
【详解】解：阴影部分面积为：
由图可知：，所以
则，
因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，
所以，
，即，则
解得：，因为，
所以.
故答案为：.
四、解答题
12．（2022上·浙江·高二校联考期中）某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表：
收入（千元）
频数 15 10 35 20 10 10
(1)估计本村的贫困户的年收入的众数、第75百分位数；
(2)用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在和的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在千元的概率；
【答案】(1)11，13.5；
(2).
【分析】（1）根据频数表求众数及百位数即可；
（2）根据分层抽样可得在和范围抽取的贫困户数分别为3户和2户，再利用古典概型计算概率即可.
【详解】（1）众数为；
由于前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为
∴第75百分位数在第4组中，
设第75百分位数为，则有：，解得：，
即第75百分位数为13.5；
（2）由频数表及分层抽样可知在收入范围内抽取的户数为，在收入范围内抽取的户数，
记年收入在的3名贫困户分别为A，，，年收入在的2名贫困户分别为，，
则从中随机抽取2户的所有可能结果为：，，，，，，，，，共10种，
其中抽到至少有一名在的贫困户的可能结果：，，，，，，有7种，
故年收入在的贫困户至少有1人被抽到的概率：.
13．（2023下·天津河东·高一统考期末）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab.其中a和b是显性基因，i是隐性基因.孩子分别继承父母一个基因，组成一个基因类型，则
(1)若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，分析他们子女的血型是O，A，B或AB型的概率；
(2)父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O型（写出结论即可）
【答案】(1)；；；；
(2)父母有一方是AB血型时，孩子的血型不可能为O型.
【分析】（1）列举所有基本事件，然后求出个事件包含的个数，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）求出各个血型的概率，即可得出结论.
【详解】（1）若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，
则他们子女血型的基因的可能结果如下：aa，ab，ai，bi，aa，ab，aa，ab共8个，
O型的基因类型有0个，A型的基因类型有4个，B型的基因类型有1个，AB型的基因类型有3个，
故他们子女的血型是O的概率为，他们子女的血型是A的概率为，
他们子女的血型是B型的概率为，他们子女的血型是AB型的概率为；
（2）当父母的血型一个是A型，一个是AB型时，孩子的血型不可能为O型；
当父母的血型都是AB型时，子女血型的基因的可能结果如下：aa，ab，ab，bb共4个，
O型的基因类型有0个，故子女的血型是O的概率为，即孩子的血型不可能为O型；
当父母的血型一个是B型，一个是AB型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ab，bb，ai，bi，ab，bb，ab，bb共8个，
O型的基因类型有0个，故子女的血型是O的概率为，即孩子的血型不可能为O型；
当父母的血型一个是O型，一个是AB型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ai，ai，ai，bi共4个，O型的基因类型有0个，
故子女的血型是O的概率为，即孩子的血型不可能为O型；
综上，父母有一方是AB血型时，孩子的血型不可能为O型.
14．（2023下·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示，

(1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数、中位数、平均数；
(2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数.
【答案】(1)的值为0.1，众数为千步，中位数为千步，平均数为9.44千步
(2)360
【分析】（1）结合频率分布直方图，根据概率之和为1求出的值，进而结合图求解样本众数、中位数、平均数；
（2）根据已知条件求出步数大于或等于13000步的学生的频率，从而估计全校每天获得加分的人数即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，各组频率依次为，，，，，，，，
所以，
解得；
因为组频率最高，所以样本众数为千步；
步数小于8的频率为，步数小于10的频率为，所以中位数在之间，记为x，
则，解得，
所以中位数为千步；
平均数为，
所以平均数为9.44千步.
（2）由表可知，大于或等于13000步的学生频率为，
将频率看作概率，
则全校每天获得加分的人数约为（人），
所以估计全校每天获得加分的人数为360.第五章 统计与概率
单元复习
【知识梳理】
一、普查与抽样调查
(1)普查
①定义：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调查).
②优点：普查能够了解总体中每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征.
③适用条件：在总体包含的个体总数不大，或有特殊需要的情况下，可以采用普查的方法.
(2)抽样调查
①定义：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.
②适用条件：普查的方法有时会因为各种原因而无法实施，例如成本太高、时间上不容许、考察方法具有破坏性等，此时就采用抽样调查.
二、简单随机抽样
(1)定义：一般地，简单随机抽样就是从总体中不加任何分组、划类、排队等完全随机地抽取个体.
(2)特点：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到.
(3)适用范围：
当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法.
(4)常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法.
①抽签法的优缺点
抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，操作起来就比较麻烦，而且如果抽取之前搅拌不均匀，可能导致抽取的样本不具有代表性.
②随机数表法
用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为：
(ⅰ)对总体进行编号.
(ⅱ)在随机数表中任意指定一个开始选取的位置.位置的确定可以随机确定，也可用其他方式随机确定.
(ⅲ)按照一定规则选取编号.例如，若编号是两位，规则可以是每次从左往右选取两个数字，也可以是每次只选取每一组的前两个数字，还可以是每次只选取下面一行同一位置对应的两个数字，等等.规则一经确定，就不能更改.在选取过程中，遇到超过编号范围或已经选取了的数字，应该舍弃.
(ⅳ)按照得到的编号找出对应的个体.
三、分层抽样
(1)定义：一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).
(2)作用：通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征.
四、最值、平均数、中位数、百分位数、众数
(1)最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.
(2)平均数
①定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn).这一公式在数学中常简记为＝xi，
②性质：一般地，如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b.
(3)中位数、百分位数
①中位数：一般地，如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数.
②百分位数：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数.特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值).
(4)众数：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
五、极差、方差与标准差
(1)极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化范围.
(2)方差
①定义：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为
②性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
(3)标准差
①定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn的标准差为
②性质：如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的标准差为|a|s.
③作用：如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性；若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高，因此标准差(或方差)描述了数据相对于平均数的离散程度.
六、柱形图、折线图、扇形图和茎叶图
(1)柱形图
①柱形图(也称为条形图)可以形象地比较各种数据之间的数量关系.
②特点：柱形图(也称为条形图)中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的.
(2)折线图
一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示.
(3)扇形图
扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.
(4)茎叶图
一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列.茎叶图也可以只表示一组数.“叶”是从“茎”的旁边生长出来的数.茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上往下排列.将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征.
七、频数分布直方图与频率分布直方图
(1)频数与频率
①频数：在一组数据中，数据出现的次数称为频数，某个区间内的数据的个数称为区间对应的频数.
②频率：在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比称为频率，区间对应的频数与这组数据总个数的比称为区间对应的频率.
(2)频数、频率分布直方图及其折线图
①频率分布直方图制作的方法步骤
②
③频数分布直方图与频率分布直方图的区别
频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率．
④频数分布折线图和频率分布折线图的制作方法
把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来．为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的．
八、用样本估计总体
用样本的分布估计总体的分布
（1）一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大.
（2）在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征.
（3）分层抽样的平均数、方差
假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.
如果记样本均值为，样本方差为b2，则＝＝，
b2＝＝.
九、概率
（1）必然现象与随机现象
①一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象.
②发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象.
（2）样本点和样本空间
①随机试验
把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验Ｗ.
②样本点和样本空间
把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间.
（3）随机事件、必然事件、不可能事件
①随机事件：如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且，若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生.
②必然事件：任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生 ，从而称Ω为必然事件；
③不可能事件：因为空集 不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中 一定不发生，从而称 为不可能事件Ｗ.
④事件的表示与基本事件
（ⅰ）不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示.
（ⅱ）基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件Ｗ.
（4）随机事件发生的概率
①事件A发生的概率通常用P（A）表示.
②我们将不可能事件 发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，
即P（ ）＝0，P（Ω）＝1Ｗ.
③对于任意事件A来说，显然应该有P（ ）≤P（A）≤P（Ω），即0≤P（A）≤1.
十、事件之间的包含、相等、和与积
(1)事件的包含与相等
定义 表示法 图示
包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称A包含于B(或B包含A) A B (或B A)
相等关系 A B且B A A＝B
(2)事件的和与积
定义 表示法 图示
和 由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A＋B (或A∪B)
积 由事件A，B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB(或A∩B)
十一、事件的互斥与对立及概率加法公式
　(1)事件的互斥与对立
定义 表示法 图示
互 斥 若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 AB＝ (或A∩B＝ )
对 立 由样本空间Ω中所有不属于事件A的样本点组成的事件称为A的对立事件 事件A的对立事件 记为
如果B＝，则称A与B相互对立.
(2)互斥事件的概率加法公式
①互斥事件的概率加法公式：当A与B互斥(即AB＝ )时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
②一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
③P(A)＋P()＝1.
十二、古典概型
(1)古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
(2)古典概型概率公式
古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含有m个样本点，则P(C)＝.
十三、频率与概率
用频率估计概率
(1)在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且试验的次数越多，频率与概率之间的差距很小的可能性越大.
(2)一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为.此时也有0≤P(A)≤1.
十四、相互独立事件的定义和性质
(1)定义：一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立).
(2)性质：如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.
(3)n个事件相互独立
“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.
十五、独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立， 则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An).
事件A，B的各种情形 概率公式
A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B)
A，B都不发生 P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一个不发生 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生 1－P( )＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰好有一个发生 P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
十六、统计与概率的应用
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1(包含0，1)之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
【热考题型】
【考点1】统计
一、单选题
1．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）某校有教师360人，其中高级及以上职称教师240人，一级职称教师80人，其他职称教师40人，现采用分层抽样从中抽取18人参加某项调研活动，则高级及以上职称教师应抽取的人数是（ ）
A．2 B．4 C．9 D．12
2．（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是（ ）

A．投资3天以内（含3天），采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资9天，采用方案三
3．（2023上·全国·高三专题练习）工业生产者出厂价格指数(PPI)是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度．根据下面提供的我国2020年1月－2021年12月的工业生产者出厂价格指数的月度同比(将上一年同月作为基期进行对比的价格指数)和月度环比(将上月作为基期进行对比的价格指数)涨跌情况的折线图判断，以下结论中正确的是（ ）
A．2020年各月的PPI在逐月增大
B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平
C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月减小
D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平
4．（2023上·全国·高三专题练习）某校高一年级1 000名学生的血型情况如图所示.某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（　　）
A．11 B．22 C．110 D．220
5．（2023上·天津河北·高三统考期中）某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）

A．40 B．45 C．50 D．60
6．（2023上·全国·高三专题练习）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列结论中，不正确的是（ ）
A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同
B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数个为优秀）
C．甲班的成绩比乙班的成绩波动大
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
二、多选题
7．（2023上·高一课时练习）下面的抽样方法不是分层随机抽样的是（ ）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
8．（2023上·全国·高三专题练习）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长(单位：小时)进行了统计，得到如下频率分布表：
分组
频率 0.25 0.30 0.20 0.25
则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是（ ）
A．众数约为2.5
B．中位数约为3.83
C．平均数为3.95
D．第80百分位数约为5.2
三、填空题
9．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是 .
10．（2023下·上海·高二专题练习）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中m，n的比值 ．
11．（2023上·上海黄浦·高三统考期中）某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为 ．
四、解答题
12．（2023上·浙江杭州·高二校联考期中）某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准 a，用电量不超过 a的部分按照平价收费，超出部分按议价收费．为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查单位，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)求x的值：
(2)求被调查用户的月用电量平均值：同一组数据用该区间的中点值作代表
(3)若使居民用户的水费支出不受影响，应确定a值为多少？
13．（2023上·重庆北碚·高二西南大学附中校考期中）某研究小组发现某药物X对神经冲动的产生有明显的抑制作用，称为“麻醉”.该研究小组进行大量实验，刺激突触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突触前神经元的动作电位（单位：mV），在大量实验后，得到如下频率分布直方图.

利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值c.当动作电位小于c时判定为“麻醉”，大于或等于c时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为“未麻醉”的概率，记为；误判率是将未添加药物X的被判定为“麻醉”的概率，记为.
(1)当漏判率为时，求临界值c；
(2)令函数，当时，求的最小值.
14．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，记.试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
(1)求甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率的中位数和极差；
(2)设的样本平均数为z，样本方差为.判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
【考点2】概率
一、单选题
1．（2023下·北京通州·高一统考期中）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2023·广东·高三学业考试）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球
3．（2023上·四川·高三统考学业考试）某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》中随机选一本作为课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·北京·高二北京五十五中校考期中）手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ）.
顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上
手机支付人数 3 12 14 13 27 9 0
其他支付方式人数 0 0 2 9 5 5 1
A． B． C． D．
5．（2023上·浙江·高二萧山二中校联考期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件“第一次点数为偶数”，事件“第二次点数为3的倍数”，则（ ）
A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件
C． D．
6．（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品
B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51
C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32
8．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“记下的点数为3”，事件“记下的点数为偶数”，事件“记下的点数小于3”，事件“记下的点数大于2”，则（ ）
A．事件与互斥 B．事件与互斥
C．事件与对立 D．事件与对立
三、填空题
9．（2022上·高一单元测试）（1）随机现象的发生能够人为控制其发生或不发生；
（2）随机现象的结果是可以预知的；
（3）不可能事件反映的是确定性现象；
（4）已经发生的事件一定是必然事件.以上说法正确的有 .
10．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜 经随机模拟产生了如下20组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
11．（2023上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为 ；
四、解答题
12．（2023上·湖北鄂州·高二校联考期中）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
(1)求的值；
(2)求小红不能正确解答本题的概率；
(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
13．（2023·全国·模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是手工制作的关键．某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二等品、三等品，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下（单件成本利润率＝利润÷成本）：
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 10% 8% 4%
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 7.5% 5.5% 3%
频数 50 30 20
(1)用频率估计概率，从这200件产品中随机抽取一件，求该产品是一等品的概率；
(2)若甲、乙两款鲁班锁玩具的投资成本均为20000元，且每件的投资成本是相同的，分别求投资这两款鲁班锁玩具所获得的利润．
故100件乙款鲁班锁玩具的利润为（元）．
14．（2023上·云南·高二校联考期中）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中．
(1)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）
(2)现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
【考点3】统计与概率的应用
一、单选题
1．（2023上·全国·高三专题练习）2022年7月15日，国家统计局发布了2022年上半年居民人均消费支出及构成情况如图所示，根据图中的信息，针对2022年上半年，下列结论不正确的是（　　）
A．居民在“教育文化娱乐”上的人均消费支出的占比为9.8%
B．居民人均消费支出为11440元
C．居民在“居住”“生活用品及服务”“医疗保健”上的人均消费支出之和大于在“食品烟酒”上的人均消费支出
D．居民在“衣着”上的人均消费支出比在“交通通信”上的人均消费支出的一半少
2．（2023下·四川成都·高二校联考期中）2023年2月28日国家统计局发布《2022年国民经济和社会发展统计公报》，其中对近几年国内生产总值及其增长速度（如图1）和三次产业增加值占国内生产总值比重（如图2）做了统计，下列说法错误的是（ ）


A．从2018年至2022年，国内生产总值逐年增加
B．从2018年至2022年，2021年的国内生产总值的增长速度最大
C．从2018年至2022年，第三产业增加值占国内生产总值比重逐年减少
D．从2018年至2022年，第三产业增加值逐年增加
3．（2023下·四川成都·高二期末）七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名.明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅.其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余.近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）.现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
4．（2021·山西·统考一模）七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·高一课时练习）如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2019·福建·校联考三模）为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲 B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养指标值波动性比乙小 D．甲的六大素养中直观想象最差
二、多选题
7．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内，从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（ ）

A．样本中分数落在的频数为45人 B．样本的众数为75分
C．样本的平均数为75分 D．样本的80百分位数为85分
8．（2021下·高一单元测试）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是
三、填空题
9．（2023·高一课时练习）口袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个，摸出红球或白球的概率为，摸出白球或黑球的概率为，那么口袋中共有白球、红球、黑球各 个．
10．（2020·高一课时练习）设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从 箱中取出的.
11．（2023·四川自贡·统考二模）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为，，，半径分别为，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则 .
四、解答题
12．（2022上·浙江·高二校联考期中）某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表：
收入（千元）
频数 15 10 35 20 10 10
(1)估计本村的贫困户的年收入的众数、第75百分位数；
(2)用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在和的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在千元的概率；
13．（2023下·天津河东·高一统考期末）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab.其中a和b是显性基因，i是隐性基因.孩子分别继承父母一个基因，组成一个基因类型，则
(1)若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，分析他们子女的血型是O，A，B或AB型的概率；
(2)父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O型（写出结论即可）
14．（2023下·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示，

(1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数、中位数、平均数；
(2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数.

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