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9.5三角形的中位线
一、选择题．
1．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，若BC＝10，则DE的长为（　　）
A．6 B．5 C． D．
2．如图，在△ABC中，BC＝12，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，DF＝1，连接AF，CF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（　　）
A．10 B．12 C．13 D．14
3．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（　　）
A．12m B．10m C．9m D．8m
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（　　）
A．1 B． C． D．
6．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是（　　）
A．22米 B．17米 C．14米 D．11米
7．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，若ED＝6cm，那么HF的长为（　　）
A．5 cm B．6 cm C．10 cm D．不能确定
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
9．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝15°，∠ACB＝87°，则∠FEG等于（　　）
A．39° B．18° C．72° D．36°
10．如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO．若要使得四边形DEFG是正方形，则需要满足条作（　　）
A．AO＝BC B．AB⊥AC
C．AB＝AC且AB⊥AC D．AO＝BC且AO⊥BC
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，则∠ADC的度数为　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、AC、AD的中点．若AB＝6，则EF的长度为　 　．
13．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连按DE，则△CDE的面积为　 　．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC的中点，则EF＝　 　cm．
15．在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE＝　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝　 　．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D，E分别是AC和BC上的点，且CE＝2，CD＝4，连接BD，AE．G、H分别是AE和BD的中点，连接GH，则线段GH的长为　 　．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是　 　．
三、解答题
19．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．
（1）求证：BD＝DE；
（2）求DM的长．
20．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线．
求证DE＝AF．
证法1：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝　 　．
∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝　 　，
∴DE＝AF．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
证法2：
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
23．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
求证：EG、HF互相平分．
24．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．
答案
一、选择题．
B．A．C．D．B．B．B．B．D．D．
二、填空题
11．135°．
12．．
13．．
14．4．
15．3．
16．5．
17．．
18．DE≤2．
三、解答题
19．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°．
在△ADB与△ADE中，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE．
（2）∵△ADB≌△ADE，
∴AE＝AB＝12，
∴EC＝AC﹣AE＝8．
∵M是BC的中点，BD＝DE，
∴DMEC＝4．
20．∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PEAD，
同理，PFBC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝20°．
21．证法1：∵DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AFBC，
∴DE＝AF，
证法2：连接DF、EF，
∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴DE＝AF．
故答案为：BC；BC．
22．（1）证明：∵AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DB＝EC，
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FGBD，FHCE，
∴FG＝FH；
（2）解：延长FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FH∥AC，FN∥AB，
∵FG⊥FH，
∴∠A＝90°，
∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．
23．证明：连接EH，GH，GF，
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．
∴四边形EHGF为平行四边形．
∵GE，HF分别为其对角线，
∴EG、HF互相平分．
24．（1）∵AD是高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DEAB＝3，AEAB＝3，
同理可得，AF＝DFAC＝2，
∴四边形AEDF的周长＝3+3+2+2＝10；
（2）EF垂直平分AD，
理由如下：∵EA＝ED，FA＝FD，
∴EF是AD的垂直平分线．

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