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专练25　平面向量基本定理及坐标表示
命题范围：平面向量基本定理及坐标表示，用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，用坐标表示的平面向量共线的条件．
　[基础强化]
一、选择题
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2　
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
2．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)
A．(－2，－1)　　 B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c＝(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，则m＋n＝(　　)
A． B．1
C．－ D．－
4．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．2　　　B．4 C．6　　　D．8
5．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2，0) B．(－3，6)
C．(6，2) D．(－2，0)
6．已知向量m＝(sin A，)与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)
A． B．
C． D．
7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是(　　)
A．2 B．
C． D．
8．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则x＋y＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．－2
9．[2022·安徽省蚌埠市质检] 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2DC，点E为线段BC的靠近点C的一个四等分点，点F为线段AD的中点，AE与BF交于点O，且＝x＋y，则x＋y的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
二、填空题
10．[2021·全国乙卷]已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
11．[2022·安徽省滁州市检测]已知a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，则|a－b|＋a·b＝________．
12．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使得＋＝m成立，则m＝________．
[能力提升]
13．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)
A．3 B．4
C．2 D．8
14．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)
A. B．
C．2 D．
15．[2022·东北三省三校模拟] 在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
16．如图，已知平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．专练48　椭圆
命题范围：椭圆的定义、标准方程与简单的几何性质．
[基础强化]
一、选择题
1．椭圆＋＝1上一点M到其中一个焦点的距离为3，则点M到另一个焦点的距离为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
3．[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　)
A． B．
C． D．2
4．动点P到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是(　　)
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
6．曲线＋＝1与＋＝1(k<9)的(　　)
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
7．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
8．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积为(　　)
A．3 B．3或
C． D．6或3
9．[2022·陕西省西安中学三模]我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0).如图所示，设点F0、F1、F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　)
A．，1 B．，1
C．5，3 D．5，4
二、填空题
10．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
11．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为________．
12．[2021·全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
[能力提升]
13．[2022·全国甲卷(文)，11]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1·BA2＝－1，则C的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
14．[2022·江西省南昌市高三模拟] 已知F1，F2，B分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点、右焦点、上顶点，连接BF2并延长交C于点P，若△PF1B为等腰三角形，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
15．F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
16．[2022·安徽省蚌埠市高三质检] 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l与椭圆交于A，B两点，当AB的中点为M(1，1)时，直线l的方程为________．专练2　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
命题范围：逻辑联结词、复合命题的真假判断、量词及其否定．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·安徽省蚌埠市高三质检]已知命题p： x0＜－1，2x0－x0－1＜0，则 p为(　　)
A． x≥－1，2x－x－1≥0
B． x＜－1，2x－x－1≥0
C． x0＜－1，2x0－x0－1≥0
D． x0≥－1，2x0－x0－1≥0
2．下列命题中假命题是(　　)
A． x0∈R，ln x0<0
B． x∈(－∞，0)，ex>x＋1
C． x>0，5x>3x
D． x0∈(0，＋∞)，x03．已知命题p： x∈N，x3A．p假q真 B．p真q假
C．p假q假 D．p真q真
4．如果命题“ (p∨q)”为假命题，则(　　)
A．p，q均为真命题
B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题
D．p，q中至多有一个为真命题
5．已知命题p： x>0，ln (x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∧( q)
C．( p)∧q D．( p)∧( q)
6．已知命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．[0，4]
C．[4，＋∞) D．(0，4)
7．若命题“ x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，3]
B．(－1，3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．[2022·山西省高三模拟]已知命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q： a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内是增函数，则下列命题中的真命题是(　　)
A．p∧q B．( p)∧q
C．p∧( q) D． (p∨q)
9．[2022·广东汕头测试]已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q： x>0，均有2x－a>0.若“ p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－2，1]
C．(1，2) D．(1，＋∞)
二、填空题
10．命题“ x∈(0，)，tan x>sin x”的否定是________．
11．[2022·江西省南昌市高三月考]若命题“ x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
12．[2022·衡水中学高三测试]已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，则实数m的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·四川省成都市高三“二诊模拟”]已知不等式组构成的平面区域为D.命题p：对 (x，y)∈D，都有3x－y≥0；命题q： (x，y)∈D，使得2x－y＞2.下列命题中，为真命题的是(　　)
A．( p)∧( q) B．p∧q
C．( p)∧q D．p∧( q)
14．下列四个结论：
①若x>0，则x>sin x恒成立；
②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“ x∈R，x－ln x>0”的否定是“ x0∈R，x0－ln x0<0”．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
15．[2022·江西省赣州市3月(一模)]斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD (其中＝)中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧，，的长度分别为l，m，n，给出以下两个命题：p：l＝m＋n，q：m2＝l·n.则下列选项为真命题的是(　　)
A．p∧q
B．p∧( q)
C．( p)∧q
D．( p)∧( q)
16．[2022·江西省临川高三模拟]命题“ x∈R，ex＋1＜a－e－x”为假命题，则实数a的取值范围为________．专练13　导数与函数的单调性
命题范围：利用导数研究函数的单调性．
[基础强化]
一、选择题
1．函数f(x)＝3＋x ln x的单调递减区间是(　　)
A．(，e) B．(0，)
C．(－∞，) D．(，＋∞)
2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则下面判断正确的是(　　)
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B．在(1，3)上f(x)是减函数
C．在(4，5)上f(x)是增函数
D．当x＝4时，f(x)取极大值
3．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使得函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈(　　)
A．[0，1] B．[3，5]
C．[2，3] D．[2，4]
4．[2022·安徽省高三联考]设a＝π－3，b＝sin 6，c＝sin 3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.b＞a＞c B．c＞a＞b
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－，]
B．(－，)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－)
6．已知函数f(x)＝x2－a ln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
7．[2022·全国甲卷(文)，8]当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．1
8．已知函数y＝f(x)满足f′(x)＝x2－3x－4，则y＝f(x＋3)的单调减区间为(　　)
A．(－4，1) B．(－1，4)
C．(－∞，－) D．(－∞，)
9．若函数f(x)＝x＋a ln x不是单调函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
二、填空题
10．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1，3)，则b＋c＝________．
11．已知定义在[－π，π]上的函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________．
12．[2022·安徽省蚌埠市第三次质检]若x1·2x1＝x2·log2x2＝2 022，则x1x2的值为________．
[能力提升]
13．[2022·江西省九校联考]已知函数y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，且当x∈(－∞，0)，f(x)＋xf′(x)＜0成立，若a＝21.5f(21.5)，b＝(ln 3)f(ln 3)，c＝(log)f(log)，则(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
14．[2022·东北三省三校联考]已知实数a，b，c满足a＜2，a ln a－2ln 2＝a－2，b＜，b ln b－ln ＝b－，c＞，c ln c－ln ＝c－，则(　　)
A．c＜b＜a B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
15．[2022·安徽省滁州市高三第二次质检]已知函数f(x)＝，关于x的不等式1－＞0的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是(　　)
A．[，ln 2) B．[，)
C．[，ln 2) D．[，)
16．[2022·江西省赣州市高三期末]已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，都有不等式f(x)－xf′(x)＞0成立，若a＝4f(4－)，b＝f()，c＝log9f(log)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＞a＞c D．a＞b＞c专练40　空间点、直线、平面之间的位置关系
命题范围：空间直线、平面的位置关系的定义及判断．
[基础强化]
一、选择题
1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为(　　)
A．P∈m，m∈α　　　　 B．P∈m，m α
C．P m，m∈α D．P m，m α
2．在空间中，可以确定一个平面的条件是(　　)
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中一条与另两条分别相交
C．三个点
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
3．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面的个数为(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
4．若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
5．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是(　　)
A．过P只能作一条直线与平面α相交
B．过P可作无数条直线与平面α垂直
C．过P只能作一条直线与平面α平行
D．过P可作无数条直线与平面α平行
6.
如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C l, 直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
7．[2022·厦门模拟]下列说法正确的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．和同一条直线异面的两直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行
D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
8．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
9．[2022·河南省六市三模]在各面均为正三角形的四面体A BCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为________．
11．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
12．如图所示是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[能力提升]
13．[2022·全国甲卷(文)，9]在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　)
A．AB＝2AD
B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC＝CB1
D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
14．[2022·安徽省皖北协作区联考]以下四个命题：
①梯形一定是平面图形；
②一点和一条直线可确定一个平面；
③两两相交的三条直线可确定一个平面；
④如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB∥平面α.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　B．1 C．2　　　D．3
15．[2022·渭南模拟]在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号)
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．
16．[2022·兰州模拟]如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．专练31　数列求和
命题范围：数列求和常用的方法．
[基础强化]
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)
A．2n＋n2－1　 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
2．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C． D．
3．数列1，，，…，，…的前n项和为(　　)
A． B．
C． D．
4．数列的前2 018项的和为(　　)
A．＋1 B．－1
C．＋1 D．－1
5．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为(　　)
A．250 B．200
C．150 D．100
6．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
7．[2022·陕西省西安中学三模]数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为(　　)
A． B．
C． D．
8．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
9．[2022·江苏模拟]已知等差数列{an}的前9项和为18，函数f(x)＝(x－2)3＋1，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
二、填空题
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，则S9＝________．
11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列的前10项的和为________．
12．[2020·全国卷Ⅰ]数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________．
[能力提升]
13．数列1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为(　　)
A．2n－1 B．n·2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
14．[2022·安徽省联考]已知数列{an}为等比数列，公比q≠1，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，将数列{an}中的项按一定顺序排列成a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，…的形式，记此数列为{bn}，数列{bn}的前n项和为Sn，则S24的值是(　　)
A．1 629 B．1 641
C．1 668 D．1 749
15．[2022·安徽省滁州市检测]已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝4，4an＋1－3an－an＋2＝0，设bn＝，n∈N*.则b1＋b2＋…＋b2 022＝________．
16．[2022·江西省赣州市一模]数列{an}满足an＋an＋1＝n2·sin ()(n∈N*)，若数列{an}前n项和为Sn，则S40＝________．专练20　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
命题范围：两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　[基础强化]
一、选择题
1．sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．已知tan α＝2，则tan (α－)＝(　　)
A． B．
C． D．－3
3．若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
4．cos 105°－cos 15°＝(　　)
A． B．－
C． D．－
5.＝(　　)
A． B．
C． D．1
6．[2022·包头模拟]已知cos α＋cos (α－)＝1，则cos (α－)等于(　　)
A． B．
C． D．
7．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
8．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，则β等于(　　)
A． B．
C． D．π
9．若0<α<，－<β<0，cos (＋α)＝，cos (－)＝，则cos (α＋)等于(　　)
A． B．－
C． D．－
二、填空题
10．已知＝－，则sin (2α＋)的值是________.
11．已知cos (α－)＋sin α＝，则sin (α＋)＝________．
12．[2022·甘肃、青海、宁夏联考]若tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan (α＋β)＝__________，tan α＝________．
[能力提升]
13．设θ为第二象限角，若tan (θ＋)＝，则sin θ＋cos θ＝(　　)
A． B．－
C．1 D．－1
14．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)
A． B．或
C． D．2kπ＋(k∈Z)
15．[2022·西北工业大学附属中学月考]已知cos β－3sin α＝2，sin β＋3cos α＝，则sin (β－α)等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
16．[2022·河北五校联考]已知x，y∈(0，)，sin (x＋y)＝2sin (x－y)，则x－y的最大值为(　　)
A． B．
C． D．专练33　不等式与一元二次不等式的解法
命题范围：不等式性质与一元二次不等式．
[基础强化]
一、选择题
1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是(　　)
A．a－b＞0　　　　　　 B．ac＜bc
C．a2＞b2 D．＜
2．设a，b∈[0，＋∞)，p＝＋，q＝，则(　　)
A．p≥q B．p≤q
C．p＞q D．p＜q
3．对于实数a，b，c，有下列命题：
①若a＞b，则ac＜bc；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＜b＜0，则a2＞b2；
④若c＞a＞b＞0，则＞；
⑤若a＞b，＞，则a＞0，b＜0.
其中真命题的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
4．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则(　　)
A．－＞0 B．sin x－sin y＞0
C．()x－()y＜0 D．ln x＋ln y＞0
5．[2022·珠海模拟]已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则(　　)
A．＜ B．＋＞0
C．a2＞b2 D．a＜|b|
6．不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
7．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[－2，2]
C．(－2，2] D．(－∞，－2)
8．不等式|x2－2|<2的解集是(　　)
A．(－1，1) B．(－2，2)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－2，0)∪(0，2)
9．[2022·宿迁模拟]若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
二、填空题
10．设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
11．[2022·山西省模拟]我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：＜，其中a＞b，且a，b，m∈R＋.据此可以判断两个分数的大小关系，比如________(填“＞”或“＜”).
12．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
[能力提升]
13．[2022·济宁模拟]已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．xy＞yz B．xy＞xz
C．xz＞yz D．x|y|＞|y|z
14．[2022·安徽省蚌埠市质检]设x＝ln 2，y＝lg 2，则(　　)
A．x－y＞xy＞tan (x＋y)
B．x－y＞tan (x＋y)＞xy
C．tan (x＋y)＞xy＞x－y
D．tan (x＋y)＞x－y＞xy
15．[2022·湖南多校联考]若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a＜0恰有两个整数解，则a的取值范围是(　　)
A．{a|＜a≤2}
B．{a|－1＜a≤－}
C．{a|－1＜a≤－或≤a＜2}
D．{a|－1≤a＜－或＜a≤2}
16．设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－)＞1的x的取值范围是________．专练42　直线、平面垂直的判定与性质
命题范围：直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理及直线与平面所成的角、平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理．
[基础强化]
一、选择题
1．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．[2022·哈尔滨模拟]设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是(　　)
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
3．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　　)
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a α，b⊥β，α∥β D．a α，b∥β，α⊥β
4.
[2022·贵州省普通高等学校测试]如图，在四面体ABCD中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC
5．[2022·安徽省蚌埠质检]已知平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，过平面α和β外的一点P作直线m⊥l，则“m∥α”是“m⊥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为(　　)
A． B．
C． D．1
9.
如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)
A．平面ABC⊥面ABD
B．平面ABD⊥面BCD
C．平面ABC⊥面BDE且平面ACD⊥面BDE
D．平面ABC⊥面ACD且平面ACD⊥面BDE
二、填空题
10．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，则P在平面ABC中的射影O为△ABC的________心．
11．已知平面α、β、γ是空间中三个不同的平面，直线l、m是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上).
12．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．
[能力提升]
13.
如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
14．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(　　)
A.①② B．①③
C．②③ D．③④
15．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，底面各边都相等，M为PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.
16.
如图，VA⊥平面ABC，△ABC的外接圆是以边AB的中点O为圆心的圆，点M、N、P分别为VA、VC、VB的中点，则下列结论正确的是______．(把正确结论的序号都填上)
①MN∥平面ABC；
②OC⊥平面VAC；
③MN与BC所成的角为60°；
④MN⊥OP；
⑤平面VAC⊥平面VBC.专练59　高考大题专练(八)　不等式选讲
1．[2022·郑州模拟]已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x<2；
(2)若存在a∈[－，1]，使得不等式f(x)≥b＋|2x＋a2|的解集非空，求b的取值范围．
2．[2022·江西省临川模拟] 已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－a|(a>0)，g(x)＝.
(1)当a＝1时，解关于x的不等式f(x)≥0；
(2)若函数f(x)与g(x)的图像可以围成一个四边形，求a的取值范围．
3．[2021·全国乙卷]已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；
(2)若f(x)>－a ，求a的取值范围．
4.[2020·全国卷Ⅲ]设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.
(1)证明：ab＋bc＋ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥.
5．[2022·全国甲卷(文)，23]已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：
(1)a＋b＋2c≤3；
(2)若b＝2c，则＋≥3.
6．[2022·全国乙卷(文)，23]已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)abc≤；
(2)＋＋≤.(这是边文，请据需要手工删加)
数学(文科)　　　　　　　　　
详解答案
专练1　集合及其运算
1．A　由题意，得M∩N＝{2，4}．故选A.
2．C　因为集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{1，2，3}，所以A∩B＝{1，2}，所以(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}．
3．D　∵A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2－6x＋5＜0}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{2，3}．
4．B　由log2(x＋1)＜3，可得0＜x＋1＜8，解得－1＜x＜7，
所以集合A＝{x|1≤x≤27}，B＝{x|－1＜x＜7}，可得 RB＝{x|x≤－1或x≥7}，所以A∩( RB)＝{x|7≤x≤27}＝[7，27].
5．A　解法一　因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}．
又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以 U(M∪N)＝{5}．
解法二　因为 U(M∪N)＝( UM)∩( UN)， UM＝{3，4，5}， UN＝{1，2，5}，所以 U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}．
6．C　因为A，B均为R的子集，且A∩( RB)＝A，所以A RB，所以A∩B＝ .
7．D　∵A＝{x∈N*|x＜3}＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，∴集合B所有可能的结果为：{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∴满足条件的集合B共有4个．
8．B　因为A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，
所以阴影部分表示的集合为A∩( RB)＝{x|－1＜x≤1}．
9．C　A＝{x|log2x＜1}＝(0，2)，B＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，∴A∩B＝(0，2).
10．答案：3
解析：由U＝{1，2，a2－2a－3}， UA＝{0}可得a2－2a－3＝0.又A＝{|a－2|，2}，故|a－2|＝1，所以得解得a＝3.
11．答案：－1或2
解析：∵B A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，
由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，符合题意．
当a2－a＋1＝a时，得a＝1，不符合集合的互异性，故舍去，
∴a的值为－1或2.
12．答案：±2或－1
解析：若k＋2＝0，则A＝{x|－4x＋1＝0}，符合题意；
若k＋2≠0，由题意得得k＝2或k＝－1，综上得k＝±2或k＝－1.
13．A　因为A＝{x∈Z|－3≤x＜4}＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，
log2(x＋2)＜2，即log2(x＋2)＜log24，故0＜x＋2＜4，解得－2＜x＜2，
即B＝{x|－2＜x＜2}，则A∩B＝{－1，0，1}，其包含3个元素．
14．A　解不等式可得B＝{x|x＜0或x＞1}，
由题意可知阴影部分表示的集合为 U(A∩B)∩(A∪B)，
且A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝R，
∴ U(A∩B)＝{x|x≤1或x＞2}，
所以 U(A∩B)∩(A∪B)＝{x|x≤1或x＞2}．
15．C　解不等式＞0，则(x＋4)(x－1)＞0，解得：x＜－4或x＞1，即A＝{x|x＜－4或x＞1}，于是得 RA＝{x|－4≤x≤1}，而B＝{－2，－1，1，2}，所以( RA)∩B＝{－2，－1，1}．
16．C　因为y＝2cos x的最小正周期T＝＝6，且cos ＝，
cos ＝cos (π－)＝－cos ＝－，cos ＝－1，
cos ＝cos (π＋)＝－cos ＝－，cos ＝cos (2π－)＝cos ＝，
cos ＝1，cos ＝cos (2π＋)＝cos ＝，…，
所以A＝＝{1，－1，－2，2}，
又B＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，
所以A∩B＝{1，2}．
专练2　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．B　因为命题p： x0＜－1，2x0－x0－1＜0，则 p： x＜－1，2x－x－1≥0.
2．D　令f(x)＝sin x－x(x>0)，则f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)0)，故 x∈(0，＋∞)，sin x3．A　由x3∵对任意的a∈(0，1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝loga1＝0，∴命题q为真命题．
4．C　由 (p∨q)为假命题知p∨q为真命题，∴p，q中至少有一个为真命题．
5．B　∵当x>0时，x＋1>1，∴ln (x＋1)>0，故命题p为真命题，当a＝－1，b＝－2时，a26．D　由题意得，4x2＋(a－2)x＋>0恒成立，∴Δ＝(a－2)2－4×4×<0，得07．D　∵命题“ x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题等价于x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
8．B　对于命题p，取x＝0，y＝，则sin x＝0＞sin y＝－，但x＜y，p为假命题；对于命题q， a∈R，a2＋2≥2，则函数f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内为增函数，q为真命题．所以p∧q、p∧( q)、 (p∨q)均为假命题，( p)∧q为真命题．
9．C　若方程x2＋ax＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a2－4<0，即－2 x>0，2x－a>0则a<2x，
当x>0时，2x>1，则a≤1，即q：a≤1.
∵ p是假命题，∴p是真命题．
∵p∧q是假命题，
∴q是假命题，即得110．答案： x∈(0，)，tan x≤sin x
11．答案：[－，]
解析：命题“ x0∈R，使得3x＋2ax0＋1＜0”是假命题，即“ x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
12．答案：(－∞，－1)
解析：由“p或q”为真命题，得p为真命题或q为真命题．
当p为真命题时，设方程x2＋mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，
则有
解得m<－2；
当q为真命题时，有Δ′＝16(m＋2)2－16<0，
解得－3综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1).
13．B　不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分(包含边界)所示．
根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p为真命题，命题q也为真命题，所以根据复合命题真假判断结论可得ACD错误，B选项正确．
14．C　对于①，令y＝x－sin x，
则y′＝1－cos x≥0，
则函数y＝x－sin x在R上递增，
则当x>0时，x－sin x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin x恒成立，故①正确；
对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；
对于③，命题p∨q为真，即p，q中至少有一个为真，p∧q为真，即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；
对于④，命题“ x∈R，x－ln x>0”的否定是“ x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④错误．
综上，正确结论的个数为3.
15．A　根据题意可得圆弧，，对应的半径分别为AB，BC－AB，AB－DG，也即AB，BC－AB，2AB－BC，
则弧长l，m，n分别为AB，(BC－AB)，(2AB－BC)，
则m＋n＝(BC－AB)＋(2AB－BC)＝AB＝l，故命题p为真命题；
ln＝(2AB2－AB×BC)＝(2×－)＝(7－3)，
而m2＝(1－)2＝(7－3)，故ln＝m2，命题q为真命题．
则p∧q为真命题，p∧( q)，( p)∧q，( p)∧( q) 均为假命题．
16．答案：(－∞，3]
解析：若命题“ x∈R，ex＋1＜a－e－x”为假命题，则命题“ x∈R，ex＋1≥a－e－x”为真命题，即a≤ex＋e－x＋1在R上恒成立，
则a≤(ex＋e－x＋1)min，
因为ex＋e－x＋1≥2＋1＝3，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，
所以(ex＋e－x＋1)min＝3，
所以a≤3.
专练3　命题及其关系、充分条件与必要条件
1．B　由a＞b＞0，得＞1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足＞1，但是不满足a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“＞1”的充分不必要条件．
2．C　原命题中，若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题；其逆命题为：设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b，由不等式的性质可知该命题为真命题，由于互为逆否的命题同真假可知其否命题为真命题，其逆否命题为假命题，故真命题的个数为2.
3．A　因为sin x∈[－1，1]，所以 x∈R，sin x<1，所以命题p是真命题．因为 x∈R，|x|≥0，所以可得e|x|≥e0＝1，所以命题q是真命题．于是可知p∧q是真命题， p∧q是假命题，p∧ q是假命题， (p∨q)是假命题．
4．C　由p是q的充分不必要条件可知p q，qD /p，由互为逆否命题的两命题等价可得 q p， pD / q，∴ p是 q的必要不充分条件．选C.
5．B　当平面α∥平面ABC时，△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零；当△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零时，平面α可能与平面ABC相交，例如当BC∥平面α且AB，AC的中点在平面α内时，△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零，但平面α与平面ABC相交．即p是q的必要不充分条件．
6．A　由双曲线－＝1的焦点在x轴上可知，λ＞0.于是“ 0＜λ＜4”是“双曲线－＝1的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
7．B　由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，由函数y＝2x＋m－1有零点，则m<1，由函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，得08．A　由≤x2＋y2≤1，注意前一个等号成立条件为x＝y，
所以－≤x＋y≤，则x＋y＋2＞x＋y＋≥0，充分性成立；
当x＋y＋2＞0时，若x＝y＝1，则x2＋y2＝2＞1，必要性不成立．
所以“x2＋y2≤1”是“x＋y＋2＞0”的充分不必要条件．
9．A　|＋|＝|－|两边平方得到2＋2＋2·＝2＋2－2·，得·＝0，即⊥，故△ABC为 直角三角形，充分性成立；若△ABC为直角三角形，当∠B或∠C为直角时，|＋|≠|－|，必要性不成立．
10．答案：充分不必要
解析：由a∥b得，m2＝1，m＝±1，∴m＝1是a∥b的充分不必要条件．
11．答案：(－∞，－3]
解析：由x2＋x－6<0得－3即：A＝(－3，2)，
由x－a>0，得x>a，即：B＝(a，＋∞)，
由题意得(－3，2) (a，＋∞)，∴a≤－3.
12．答案：[9，＋∞)
解析：由≤2，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，
设p，q表示的范围为集合P，Q，则
P＝{x|－2≤x≤10}，
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
因为p是q的充分而不必要条件，所以P?Q.
所以解得m≥9.
13．B　若p成立，例如当x＝4，y＝1时，q不成立，即p q不成立，
反之，若x＝2且y＝3，则x＋y＝5是真命题，
所以若x＋y≠5，则x≠2或y≠3是真命题，即q p成立，
所以p是q的必要而不充分条件．
14．C　设等差数列{an}的公差为d.因为{an}为递增数列，所以d>0.当n>1－，且n∈N*时，an＝a1＋(n－1)d>a1＋(1－－1)d＝0，故存在正整数N0≥1－，当n>N0时，an>0，即充分性成立．若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，则当n>N0≥1时，a1＋(n－1)d>0.当a1≤0时，n－1>0，所以d>－≥0，即{an}为递增数列；当a1>0时，由题意得当n>N0时，an>0恒成立，即a1＋(n－1)d>0恒成立，所以d>－恒成立，所以d>(－)max.因为－随着n的增大而增大，且－恒为负值，所以d≥0，所以d>0，即{an}为递增数列，即必要性成立．故选C.
15．答案：①③④
解析：对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；
对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而 p2是真命题；
对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而 p3是真命题；
对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而 p4是假命题．
综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，( p2)∨p3是真命题，( p3)∨( p4)是真命题，所以答案为①③④.
16．答案：
解析：由|4x－3|≤1，得≤x≤1；
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1.
∵ p是 q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，∴?[a，a＋1]，
∴
两个等号不能同时成立，解得0≤a≤.
∴实数a的取值范围是.
专练4　函数及其表示
1．B　由得∴集合A中的元素为(1，1).
2．A
3．C　设＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，
∴f(x)＝x2－2x＋2(x≥1).
4．D　由，可得0≤x≤1；或，
可得x＞1；综上，f(x)≤2的x取值范围是[0，＋∞).
5．B　由题意得得0≤x≤2 018且x≠1.
6．A　设f(x)＝ax＋b，由f(f(x))＝x＋2知，a(ax＋b)＋b＝x＋2，得得∴f(x)＝x＋1.
7．B　当x∈[0，1]时，f(x)＝x；
当1≤x≤2时，设f(x)＝kx＋b，
由题意得：得
∴当x∈[1，2]时，f(x)＝－x＋3.
结合选项知选B.
8．A　f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：
当a>0时，2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；
当a≤0时，a＋2＋2＝0，解得a＝－4，满足题意．
9．C　∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.
10．答案：＋1
解析：f(3)＝f(1)＝f(－1)＝＋1.
11．答案：－
解析：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；
当a>1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，
得a＋1＝8，a＝7，
∴f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.
12．答案：[0，3)
解析：由题意得ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即y＝ax2＋2ax＋3与x轴无交点，当a＝0时y＝3符合题意；当a≠0时，Δ＝4a2－12a<0，得013．A　因为f(x＋2)＝2f(x)，
由题意f(21)＝f(19＋2)＝2f(19)＝22f(17)＝…＝210f(1)＝210.
14．B　作出函数f(x)的图像，f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增．
由f(a－3)＝f(a＋2) ，
若，即－2＜a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2) ＝，
所以a＝，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)
此时a＝2满足题意，则f(a)＝.
若，此时不存在满足条件的a.
15．答案：4 036
解析：∵f(a＋b)＝f(a)·f(b)，
∴f(n＋1)＝f(1)·f(n)，
∴＝f(1)＝2，
∴＋＋…＋＝2 018f(1)＝2 018×2＝4 036.
16．答案：
解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝＝，所以f(f(15))＝f＝cos ＝.
专练5　函数的单调性与最值
1．D　A项，x1＝0时，y1＝1，x2＝时，y2＝2>y1，所以y＝在区间(－1，1)上不是减函数，故A项不符合题意．B项，由余弦函数的图像与性质可得，y＝cos x在(－1，0)上递增，在(0，1)上递减，故B项不符合题意．C项，y＝ln x为增函数，故C项不符合题意．D项，由指数函数可得y＝2x为增函数，且y＝－x为减函数，所以y＝2－x为减函数，故D项符合题意．
2．D　由x2－4>0得x>2或x<－2，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为(－∞，－2).
3．B　y＝|x|(1－x)＝＝
＝
画出函数的图像，如图．
由图易知原函数在上单调递增．
4．D　由于g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1，2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有05．D　解法一(排除法)　取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意．
解法二(图像法)　
如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图像，即可快速直观判断D项符合题意．
6．B　由题意，f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，
故函数f(x)＝2|x|为偶函数，
且x＞0时，f(x)＝2x，故函数在(0，＋∞)单调递增，
∵log23＞log45＝log2＞log22＝1，cos ＝，
∴a＝f(log0.53)＝f(log23)＞b＞c.
7．A　因为2x－2y<3－x－3－y，
所以2x－3－x<2y－3－y.
设f(x)＝2x－3－x，则f′(x)＝2x ln 2－3－x×ln 3×(－1)＝2x ln 2＋3－xln 3，易知f′(x)>0，
所以f(x)在R上为增函数．
由2x－3－x<2y－3－y得x所以y－x＋1>1，所以ln (y－x＋1)>0.
8．C　f(x)＝
由f(x)的图像可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，
即a2＋a－2<0，解得－29．C　因为函数f(x)是定义在R上的单调函数，且f(f(x)－x＋1)＝1，所以f(x)－x＋1为常数，记f(x)－x＋1＝m，则f(x)＝x＋m－1，所以f(1)＝m，f(m)＝1，不妨设函数f(x)单调递增，且m＞1，则f(m)＞f(1)，即1＞m(矛盾)，故m＝1.所以f(x)＝x，故f(3)＝3.
10．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
解析：由已知可得解得－33，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).
11．答案：[－1，1)
解析：∵f(0)＝loga3<0，∴012．答案：3
解析：f(x)＝＝＝1＋，显然f(x)在[2，5]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝3.
13．B　y＝x－2在R上单调递增，y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(1，＋∞)上单调递增．
要使函数f(x)＝是定义在R上的增函数，
只需，解得：m＝1或m≥2.
所以实数m的取值范围是{1}∪[2，＋∞).
14．A　因为函数f(x)的定义域为R，
所以f(－x)＝log2(2－x＋1)＋x＝log2(2x＋1)－x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．
又当x＞0时，f′(x)＝－＝＞0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
而f(a－2)≥f(2a－1)等价于f(|a－2|)≥f(|2a－1|)，所以|a－2|≥|2a－1|，
化简得，a2≤1，所以－1≤a≤1.
15．答案：3
解析：∵y＝()x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3.
16．答案：(0，]
解析：∵对任意x1≠x2，都有<0成立，
∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，
∴解得0∴a的取值范围是(0，].
专练6　函数的奇偶性与周期性
1．B　通解　选项A：因为函数f(x)＝，所以f(x－1)－1＝－1＝－1＝－2，当x＝1，－1时，函数f(x－1)－1的值分别为0，－4.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
选项B：因为函数f(x)＝，所以f(x－1)＋1＝＋1＝＋1＝.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数．
选项C：因为函数f(x)＝，所以f(x＋1)－1＝－1＝－－1＝－，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)－1的值分别为－，0.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
选项D：因为函数f(x)＝，所以f(x＋1)＋1＝＋1＝－＋1＝，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)＋1的值分别为，2.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．
综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数．
优解　因为函数f(x)＝＝＝－1＋，所以函数f(x)的图像关于点(－1，－1)对称．
选项A：因为将函数f(x)的图像先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x－1)－1的图像，所以可知函数f(x－1)－1的图像关于点(0，－2)对称，从而该函数不是奇函数．
选项B：因为将函数f(x)的图像先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(x－1)＋1的图像，所以可知函数f(x－1)＋1的图像关于点(0，0)对称，从而该函数是奇函数．
选项C：因为将函数f(x)的图像先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x＋1)－1的图像，所以可知函数f(x＋1)－1的图像关于点(－2，－2)对称，从而该函数不是奇函数．
选项D：因为将函数f(x)的图像先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(x＋1)＋1的图像，所以可知函数f(x＋1)＋1的图像关于点(－2，0)对称，从而该函数不是奇函数．
综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数．
2．A　解法一　由函数y＝x3和y＝－都是奇函数，知函数f(x)＝x3－是奇函数．由函数y＝x3和y＝－都在区间(0，＋∞)上单调递增，知函数f(x)＝x3－在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝x3－是奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
解法二　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－f(x)，故f(x)＝x3－是奇函数．
∵f′(x)＝3x2＋>0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
3．D　∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.
4．C　因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
又因为f(1＋x)＝f(1－x)，
所以f(2－x)＝f(x)，
则f(2－x)＝f(－x)，即f(2＋x)＝f(x)，
所以周期为T＝2，
因为f()＝1，
f(－)＝f(2－)＝f()＝1.
5．C　∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1，f(－)＝f()＝，f()＝f(－)＝f()＝，
∴f(－)>f().
6．C　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f()＝f(－2)＝f(－)＝.
7．C　f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，得函数在(0，＋∞)上是减函数，图像越靠近y轴，图像越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于0<0.20.6<18．A　因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以由f(x)＝f(－x＋2) f(－x)＝f(x＋2)＝－f(x) f(x＋4)＝－f(x＋2) f(x)＝f(x＋4)，所以该函数的周期为4，
所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0.
9．A　∵f(x)是周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝，
又f(1)<1，∴<1，得－110．答案：－
解析：因为log32∈(0，1)，所以－log32∈(－1，0)，
由f(x)为奇函数得：f(log32)＝－f(－log32)＝－f(log3)＝－3log3＝－.
11．答案：1
解析：由偶函数得f(－x)＝f(x)，
即(－ex)ln (＋x)＝(ex－)ln (－x)对x∈R恒成立，整理得(－ex)ln a＝0，故ln a＝0，a＝1.
12．答案：4 034
解析：F(a)＋F(c)＝(a－b)f(a－b)＋2 017＋(c－b)f(c－b)＋2 017.∵b是a，c的等差中项，∴a－b＝－(c－b)，令g(x)＝xf(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，∴g(x)＝xf(x)是奇函数．∴(a－b)f(a－b)＋(c－b)f(c－b)＝0，∴F(a)＋F(c)＝2 017＋2 017＝4 034.
13．A　因为函数y＝f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，
即f(x)＝log2(x＋1)，f(1)＝log22＝1；
因为y＝f(x＋1)为偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，
即y＝f(x)的图像关于x＝1对称，
又y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，
则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即函数y＝f(x)是周期函数，周期为4，
则f(2 022)＋f(2 023)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1.
14．A　因为y＝f(x)图像关于点(0，0)与点(1，0)对称，所以f(－x)＋f(x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，所以f()＝f(－＋2)＝f(－)＝－(－)2＝－.
15．B　由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－f(－x)＝－sin (－πx)＝sin πx，即f(x)＝sin πx，x∈[－1，1]，又由当x＞1时，f(x)＝2f(x－2)，可画出函数图像，如图所示．
由图知，当3≤x≤5时，f(x)＝4f(x－4)＝4sin (πx－4π)＝4sin πx；
则当－5≤x≤－3时，f(x)＝－f(－x)＝4sin πx；
当－5≤x≤－3时，令4sin πx＝2，解得x1＝－，x2＝－(舍去)，
若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2成立，所以m的最大值为.
16．答案：－　ln 2
解析：本题先采用特殊值法求出f(x)，再检验正确性．因为f(x)为奇函数，所以
即
由①可得－b＝ln |a＋1|　③.将③代入②可得，＝|a＋1|2.当(a－1)(a＋)＝(a＋1)2时，解得a＝－.把a＝－代入①，可得b＝ln 2，此时f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，所以f(－x)＋f(x)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0，所以f(x)为奇函数，且f(0)，f(2)，f(－2)均有意义．当(a－1)(a＋)＝－(a＋1)2时，整理可得a2＋a＋＝0，此时Δ＝－4×<0，所以a无解．综上可得，a＝－，b＝ln 2.
专练7　二次函数与幂函数
1．C　∵幂函数y＝f(x)的图像过点(5，)，
∴可设f(x)＝xα，
∴5α＝，解得α＝－1，
∴f(x)＝x－1.
∴f(21－log23)＝f(2log2)＝f()＝()－1＝.
2．D　设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴f(x)＝x.∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
3．A　因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝2.
4．A　函数图像的对称轴为x＝，由题意得≥4，解得a≥8.
5．A　由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图像的对称轴为x＝，而抛物线的开口向上，且＝，＝，＝，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(－2)>f(2)>f(0).
6．B　因为f(x)>0的解集为(－1，3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1，3，所以即
令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1，0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，故m≥4.
7．B　由题意得
∴ac＝1，又a>0，∴c>0.
∴＋≥2 ＝6(当且仅当＝，即a＝3，c＝时等号成立).
8．A　∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
9．A　当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，
∴f(x)＝x3(x∈R)，
易知f(x)在R上是增函数，
结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，
知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立 mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立
m∈(－∞，－).
10．答案：－1
11．答案：f(x)＝x2
解析：幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)0，∴－112．答案：
解析：设g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由题意知g(x)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，即g(5)＝0，可以解得k＝(经检验满足题意).
13．B　原题可转化为关于a的一次函数y＝a(x－2)＋x2－4x＋4>0在a∈[－1，1]上恒成立，
只需 x<1或x>3.
14．B　因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误．
结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a15．答案：0(答案不唯一)　1
解析：当a<0时，f(x)＝－ax＋1(x16．答案：(，＋∞)
解析：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1，4)，得a>－＋在(1，4)上恒成立．令g(x)＝－＋＝－2(－)2＋，因为∈(，1)，所以g(x)max＝g(2)＝，所以要使f(x)>0在(1，4)上恒成立，只要a>即可，故实数a的取值范围是(，＋∞).
专练8　指数与指数函数
1．C　由题意得得a＝2.
2．A　若函数g(x)＝3x＋t的图像不经过第二象限，则当x＝0时，g(x)≤0，即30＋t≤0，解得t≤－1.
3．A　＝a2x＋a－2x－1＝－1＋－1＝－1＋＋1－1＝2－1.
4．B　∵y＝ax在[0，1]上单调，∴a0＋a1＝3，得a＝2.
5．D　由f(x)＝ax－b的图像知00，∴b<0.
6．A　a＝log52＝log54，而0＜log54＜1，即0＜a＜；由eb＝，得b＝ln ＜ln 1，即b＜0；c＝，而ln 3＞ln e＝1，即c＞；所以c＞a＞b.
7．D　因为a＝log0.62＜log0.61＝0，0＜b＝sin 1＜1，c＝20.6＞20＝1，所以a＜b＜c.
8．C　由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0).
9．B　∵f(x)＝ex－的定义域为R，f(－x)＝e－x－＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>f(x＋1).又f(x)在R上单调递增，∴2x－1>x＋1，∴x>2.
10．答案：－
解析：原式＝(－)－＋()－－＋1＝(－)＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
11．答案：－
解析：①当0即解得此时a＋b＝－.
②当a>1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递增，由题意可得即显然无解，所以a＋b＝－.
12．答案：1
解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x－1|的图像如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.
13．D　因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，则指数增长率r＝＝＝0.38，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间为t1天，
所以I(t)＝ert＝e0.38t，则e0.38(t＋t1)＝3e0.38t，
所以e0.38t1＝3，即0.38t1＝ln 3.
所以t1＝≈≈3(天).
14．C　I(t*)＝＝0.95K，整理可得e0.23(t*－53)＝19，两边取自然对数得0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈66.
15．答案：6
解析：由题意得f(p)＝，f(q)＝－，
所以
①＋②，得＝1，
整理得2p＋q＝a2pq，又2p＋q＝36pq，
∴36pq＝a2pq，又pq≠0，
∴a2＝36，∴a＝6或a＝－6，又a>0，得a＝6.
16．答案：[－，＋∞)
解析：设t＝2x，则y＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.
因为x∈[－2，2]，所以t∈.
又函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，
即y＝t2＋mt－2在区间上单调递增，
故有－≤，解得m≥－.
所以m的取值范围为[－，＋∞).
专练9　对数与对数函数
1．B　原式＝lg ＋lg 4－2＝lg (×4)－2＝1－2＝－1.
2．D　由题意得log(3x－2)≥0，即0<3x－2≤1.∴3．A　函数f(x)＝log(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝log(x2－2x)的单调增区间为(－∞，0).
4．A　∵f(x)＝(m－2)xa为幂函数，∴m－2＝1，m＝3，
∴g(x)＝loga(x＋3)，又g(－2)＝0，
∴g(x)的图像过(－2，0).
5．C　由得x>1，∴函数f(x)的定义域为(1，＋∞)不关于坐标原点对称，故函数f(x)为非奇非偶函数．
6．A　因为a＝log0.222 022＜log0.22＝－1，－1＜b＝sin (sin 2 022)＜1，c＝2 0220.22＞2 0220＝1，所以a＜b＜c.
7．C　f(x)的定义域为(0，2)，
f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x).
设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，
则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，
在(1，2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
∴选项A、B错误；
∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图像不关于点(1，0)对称，
∴选项D错误．
8．B　由y＝logax的图像可知loga3＝1，
所以a＝3.对于选项A：y＝3－x＝()x为减函数，A错误；
对于选项B：y＝x3，显然满足条件；
对于选项C：y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，C错误；
对于选项D：y＝log3(－x)，当x＝－3时，y＝1，D错误．
9．B　由75－15＝()(105－15)，有()＝，
又30－15＝()(75－15)，有()＝，即()m＝，
则m lg ＝lg ，解得m＝＝≈3.4.
10．答案：－7
解析：∵f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，a＝－7.
11．答案：8
解析：因为函数y＝()x，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝()x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝()－2－log2(－2＋4)＝9－1＝8.
12．答案：(－∞，]
解析：∵0<－x2＋2≤2，∴log2(－x2＋2)≤log22＝.
13．A　x＝ln ＜0，0＜y＝log52＜log5＝，z＝e－＝＞＝，所以x＜y＜z.
14．C　由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝10－≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
15．B　x＝log4(20 211 226×1 314 520)＝log2(20 211 226×1 314 520)，设20 211 226＝2m，1 314 520＝2n，由表格得知：220＝1 048 576，221＝2 097 152，224＝16 777 216，225＝33 554 432，所以24＜m＜25，20＜n＜21，所以m＋n∈(44，46)，log2(20 211 226×1 314 520)∈(44，46)，则x＝log2(20 211 226×1 314 520)∈(22，23).
16．答案：[－1，＋∞)
解析：∵函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f(0)＝0，∴f(－2)＝loga3＝－1，∴a＝，∴g(x)＝()x＋m－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).
专练10　函数的图像
1．A　设函数f(x)＝(3x－3－x)cos x，则对任意x∈[－，]，都有f(－x)＝(3－x－3x)cos (－x)＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，因此排除B，D选项．又f(1)＝(3－3－1)cos 1＝cos 1＞0，所以排除C选项．故选A.
2．A　把函数y＝log2x的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，得到函数y＝log2x的图像，再向右平移1个单位，得到函数y＝log2(x－1)的图像，即函数y＝log2(x－1)＝log2的图像．
3．A　对于B选项，f()＝0，与题图不符；
对于C选项，当π＜x＜时，|sin x|＞0，则f(x)＝＞0，与题图不符；对于D选项，f()＝0，与题图不符．排除BCD选项．
4．C　f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除A选项；
令x2＋|x|－2＝0，得x＝1或x＝－1，所以f(x)在x＝1和x＝－1处没有意义，函数图像存在虚线，当取1.000 001时，f(x)分母为正，分子为正，所以函数值为正数，排除B选项；当x＝－时，f(x)分母为负，分子为负，所以f(x)为正数，排除D选项；对比图像和函数值知只有C选项符合题意．
5．D　函数f(x)在x＝0处无定义，排除选项A；函数f(x)的图像关于原点对称，故f(x)为奇函数，排除选项B；当0＜x＜1时，cos x＞0，ex＞e－x，故＞0，排除选项C.
6．A　函数f(x)＝＝1＋，∵≠0，∴f(x)≠1.故A正确；显然f(x)的图像关于(－1，1)成中心对称，故B不正确；∵当x＝－2时，f(x)＝0，故图像与x轴有交点，C不正确；由函数的概念知D不正确．
7．B　图②是由图①y轴左侧图像保留，左右关于y轴对称得，故图②对应的解析式为y＝f(－|x|).
8．A　对于B选项，当x＝1时，y＝0，与图像不符，故B不符合题意．对于C选项，当x＝3时，y＝＝cos 3.因为cos 3>－1，所以cos 3>－，与图像不符，故C不符合题意．对于D选项，当x＝3时，y＝>0，与图像不符，故D不符合题意．综上，用排除法选A.
9．
D　由题意知y＝＝的图像是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y＝2sin πx的周期为T＝＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，
因此两图像的交点也一定关于点(1，0)成中心对称，
再结合图像(如图所示)可知两图像在[－2，4]上有8个交点，
因此8个交点的横坐标之和x1＋x2＋…＋x8＝4×2＝8.
10．答案：(－2，4)
解析：由题意得f(2)＝3，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称，∴y＝f(－x)过点(－2，3)，∴y＝f(－x)＋1的图像过点(－2，4).
11．答案：(－，－1)∪(1，)
解析：当x∈(0，)时，y＝cos x>0.
当x∈(，4)时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图像知，
当1又函数y＝为偶函数，
∴在[－4，0]上，<0的解集为(－，－1)，
所以<0的解集为(－，－1)∪(1，).
12．答案：(0，1)∪(1，4)
解析：根据绝对值的意义，
y＝
＝
在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示，根据图像可知，当013．A　y＝f(x)＝画出分段函数的大致图像，如图所示．
14．D　当a＝0时，f(x)＝|x＋1|＝，图像为A；
当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋x＝，图像为C；
当a＝－1时，f(x)＝|x＋1|－x＝，图像为B.
对于D：当x≥－1时f(x)＝x＋1＋ax＝(1＋a)x＋1为常数函数，则1＋a＝0，解得a＝－1，显然与B的图像矛盾，故D错误．
15．B　由题f′(x)＝x2＋2ax＋b(a＜0，b＜0)，Δ＝4a2－4b＞0，导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点x1，x2，且x1＋x2＝－2a＞0，x1·x2＝b＜0，只有B图符合．
16．答案：(3，＋∞)
解析：f(x)的大致图像如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m20，所以m>3.
专练11　函数与方程
1．B　由题意得x2－ax＋b＝0有两根2，3.
∴得
由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，
得x＝－或x＝1.
2．C　令f(x)＝log4x＋x－7，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在的区间为(5，6)，即方程log4x＋x＝7的根所在区间是(5，6).故选C.
3．A　由得x1＝－3，
由得x2＝10，
∴函数f(x)的所有零点之和为10－3＝7.
4．D　∵f()＝＋1>0，
f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，
∴f(x)在(，1)内无零点，在(1，e)内有零点．
5．B　∵f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上单调递增，
又f(2)＝ln 2＋4－6<0，f(3)＝ln 3>0，
∴f(x)的零点位于(2，3).
6．C　令f(x)＝log3x＋x－3，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)即方程的解所在的区间为(2，3).
7．B　由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin x cos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，
∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，
∴x＝0，π，2π，即零点有3个．
8．D　当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，
∴g(x)＝
由得x＝1或x＝3；
由得x＝－2－.
9．D　由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图像只有一个公共点，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0，2)，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图像有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．
10．答案：(，1)
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1，1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得11．答案：±1
解析：由题意得或
得x0＝±1.
12．答案：(3，5)
解析：∵偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，
∴函数f(x)的周期为2.在区间[－1，3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于f(x)的图像与y＝loga(x＋2)的图像在区间[－1，3]内有3个交点．当01且loga(1＋2)<1，loga(3＋2)>1，解得a∈(3，5).
13．A　作出函数f(x)的图像如图所示：
由图可知，当0＜a＜1时，直线y＝a与函数f(x)的图像有四个交点，且交点的横坐标分别为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，
由图可知，点(x3，a)、(x4，a)关于直线x＝5对称，则x3＋x4＝10，
由图可知，2＜x1＜3，3＜x2＜4，
由f(x1)＝f(x2)可得－log2(x1－2)＝log2(x2－2)，所以x1－2＝，
所以可得x1＝＋2，
所以＋＝2x1＋＝＋＋4，
易知函数g(x)＝＋＋4在(3，4)上为减函数，且g(3)＝，g(4)＝，故＋＝＋＋4∈(，).
14．D　通解　函数f(x)＝a(x－a)2 (x－b)＝(x－a)2(ax－ab)，求导得f′(x)＝2(x－a)(ax－ab)＋a(x－a)2＝a(x－a)(3x－a－2b).令f′(x)＝0，结合a≠0可求得x＝a或x＝.
(1)当a>0时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，)上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；
③若(2)当a<0时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意；
③若综上可知：当a>0且b>a时满足题意，当a<0且ba2成立．
优解　当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2(x－2)，作出该函数的图像(图略)，观察可知x＝1为函数的极大值点，满足题意．所以根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误．
当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，作出该函数的图像(图略)，观察可知x＝－1为函数的极大值点，满足题意．所以根据a＝－1，b＝－2可知选项A错误．
光速解　当a>0时，根据题意作出函数f(x)的大致图像如图1所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意作出函数f(x)的大致图像如图2所示，观察可知a>b.
综上可知，必有ab>a2成立．
15．D　f(x)＝＝＝1＋(x＞1)，
因为x＞1，所以x－1＞0，
所以f(x)＞1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
α，β分别是方程f(x)＝ex，f(x)＝ln x的根，
因为y＝ex与y＝ln x互为反函数，
所以y＝ex与y＝ln x的图像关于直线y＝x对称，
由，得，
画出函数y＝ex，y＝ln x和f(x)＝(x＞1)的图像，
由图可得1＜α＜2，
因为当x＝3时，ln 3＝ln ＜ln ＝＝，
当x＝4时，ln 4＝ln ＞ln ＝＝，
所以3＜β＜4，
所以4＜α＋β＜6，所以①正确，
对于②，由图可得1＜ln β＜2，所以e＜β＜e2，
因为1＜α＜2，所以e＜αβ＜2e2，所以②正确，
对于③，因为f(x)＝＝＝1＋(x＞1)的图像关于直线y＝x对称，
因为y＝ex和y＝ln x互为反函数，
所以(α，)与(β，)关于直线y＝x对称，
所以α＝或β＝，化简得α＋β＝αβ，所以③正确．
16．答案：(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞)
解析：当λ＝2时，不等式f(x)<0等价于
或
即2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集为(1，4).
易知函数y＝x－4(x∈R)有一个零点x1＝4，
函数y＝x2－4x＋3(x∈R)有两个零点x2＝1，x3＝3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图像(图略)，要使函数f(x)恰有2个零点，则只能有以下两种情形：①两个零点为1，3，由图可知，此时λ>4.②两个零点为1，4，由图可知，此时1<λ≤3.
综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞).
专练12　变化率与导数、导数的计算
1．D　∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，
∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，
∴f′(1)＝2f′(1)＋2，
∴f′(1)＝－2，
∴f(x)＝－4x＋x2，
∴f′(x)＝－4＋2x，∴f′(0)＝－4.
2．C　h′(t)＝－200t＋800，∴h′(2)＝－200×2＋800＝400 (m/h).
3．B　设曲线f(x)＝x3－1在x＝1处的切线倾斜角为α，因为f′(x)＝x2，则f′(1)＝，因为0≤α≤π，因此，α＝.
4．C　∵函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，
∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
5．D　∵y′＝aex＋ln x＋1，当x＝1时，y′＝ae＋1，
∴2＝ae＋1，∴a＝e－1. 故切点坐标为(1，1)，
将切点坐标(1，1)代入y＝2x＋b，
得1＝2＋b, ∴b＝－1.
6．B　令y′＝－＝－，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切点的横坐标为2.
7．B　∵f′(x)＝cos x－a sin x，
∴f′()＝－a＝，得a＝.
8．D　由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，
∴当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
由
得ax2＋ax＋2＝0，
由题意得得a＝8.
9．B　f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切线的倾斜角的范围是[0，)∪[π，π).
10．答案：y＝2x
解析：设该切线的切点坐标为(x0，y0)，由y＝ln x＋x＋1得y′＝＋1，则在该切点处的切线斜率k＝＋1，即＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，∴该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
11．答案：(1，0)
解析：设P(x0，y0)，因为y＝x2的导数为y′＝x，所以曲线y＝x2在点A(1，)处的切线的斜率为1，因为y＝x ln x的导数为y′＝1＋ln x，曲线y＝x ln x在点P处的切线斜率为1＋ln x0，所以1＋ln x0＝1，解得x0＝1，代入y＝x ln x可得y0＝0，故P(1，0).
12．答案：x＋y＝0
解析：设切线的切点为(x0，－x0ln x0－1)，对函数y＝－x ln x－1求导得y′＝－ln x－1，则切线的斜率为k＝－1－ln x0，所以切线方程为y＋x0ln x0＋1＝(－ln x0－1)(x－x0)，
将原点的坐标代入切线方程可得x0＝1，则k＝－1，
因此，所求切线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
13．A　∵f′(x)＝4ax＋，
∴k＝f′(1)＝4a＋≥2 ＝4，
当且仅当4a＝，即a＝时等号成立．
14．D　设切点(x0，x0ln x0)，∵y′＝ln x＋1，由题意得：
得ln x0＋＝ln x0＋1，
∴x0＝2.k＝1＋ln 2.
15．答案：1
解析：∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1，
又f(1)＝a，∴切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)，
令x＝0，y＝1，
∴l在y轴上的截距为1.
16．答案：1－ln 2
解析：直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln (x＋1)均相切，
设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝ln x＋2得y′＝，
由y＝ln (x＋1)得y′＝，
∴k＝＝，
∴x1＝，x2＝－1，
∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k.
即A(，－ln k＋2)，B(－1，－ln k)，
∵A、B在直线y＝kx＋b上，
∴
专练13　导数与函数的单调性
1．B　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x)<0，得02．C　由函数y＝f(x)与y＝f′(x)的关系可知，当x∈(－2，1)时，f(x)先减后增，故A不正确；当x∈(1，3)时，f(x)先增后减，故B不正确；当x∈(4，5)时，f′(x)>0，∴f(x)在(4，5)上单调递增，故C正确；由函数的图像可知函数在x＝4处取得极小值，故D不正确．
3．C　因为f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，所以f(x)在区间[1，3]上单调递减，f(x)的图像向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图像，所以f(x－1)在区间[2，4]上单调递减．用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，包含在区间[2，4]内的选项为C.
4．C　令f(x)＝x－sin x，x∈(0，)，
则f′(x)＝1－cos x＞0，
所以函数f(x)＝x－sin x在(0，)上单调递增，
所以x－sin x＞0，即x＞sin x在x∈(0，)上恒成立，
又π－3∈(0，)，
所以π－3＞sin (π－3)＝sin 3＞0，
又6∈(π，2π)，所以sin 6＜0，
所以π－3＞sin 3＞sin 6，
即a＞c＞b.
5．A　函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1的导数为f′(x)＝－3x2＋2ax－1.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴在(－∞，＋∞)上f′(x)≤0恒成立，即－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤，∴实数a的取值范围是[－，].
6．D　由f(x)＝x2－a ln x，得f′(x)＝2x－，
∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2x－≥0，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤2.
7．B　由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝.又当x＝1时，f(x)取得最大值－2，所以即所以a＝b＝－2，则f′(x)＝，所以f′(2)＝＝－.故选B.
8．A　由f′(x)＝x2－3x－4<0，得－1∴f(x)的单调减区间为(－1，4)，
∴y＝f(x＋3)的单调减区间为(－4，1).
9．C　∵f′(x)＝1＋，由题意得1＋＝0在(0，＋∞)上有解，∴a＝－x<0，∴a的取值范围是(－∞，0).
10．答案：－12
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意得3x2＋2bx＋c<0的解集为(－1，3).∴得
∴b＋c＝－12.
11．答案：(－π，－)，(0，)
解析：∵f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，
由f′(x)>0得－π∴f(x)的单调增区间为(－π，－)，(0，).
12．答案：2 022
解析：因为x1·2x1＝x2·log2x2＝2 022，所以2x1log22x1＝x2·log2x2＝2 022，则2x1＞1，x1＞0，x2＞1，设f(x)＝xlog2x，(x＞1)，则f′(x)＝log2x＋＞0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以2x1＝x2，所以x1x2＝x1·2x1＝2 022.
13．D　函数y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，可知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝0对称，即y＝f(x)为偶函数，构造g(x)＝xf(x)，当x∈(－∞，0)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，故y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减，且易知g(x)为奇函数，故y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，由21.5＞2＝log＞ln 3＞0，所以g(21.5)＜g(log)＜g(ln 3).
14．D　由题意得：，
令f(x)＝x ln x－x，则f′(x)＝ln x，
∴当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
∴f(x)min＝f(1)＝－1；
又f(e)＝0，当x∈(0，1)时，f(x)＜0；
∴方程f(x)＝t(－1＜t＜0)有两个不等解x1，x2，
∴0＜x1＜1，1＜x2＜e；
∵，又0＜＜1＜＜2＜e，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，1＜c＜e；
又f(2)＞f()，∴f(a)＞f(b)，∴a＜b；
综上所述：a＜b＜c.
15．B　因为f(1)＝＝0，所以x＝1不是不等式1－＞0的一个解，当x＞1时，f(x)＝＞0，
则1－＞0 f(x)－a＞0 a＜.
不等式1－＞0有且只有一个整数解等价于a＜只有一个整数解，
即f(x)的图像在直线y＝a的上方只有一个整数解 ，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，则x＝.
当x∈(0，)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
作出f(x)的图像，
由图像可知a的取值范围为f(3)≤a＜f(2)，
即≤a＜.
16．A　∵当x∈(0，＋∞)时不等式f(x)－xf′(x)＞0成立，
∴()′＝＜0，
∴g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，
则a＝4f(4－)＝＝g(4－)，
b＝f()＝＝g()，
c＝log9f(log)＝－2f(－)＝＝g(－)，
又∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(x)＝是定义在R上的偶函数，
则g(－)＝g()，
∵4－＝＝ ＞＝＞，
∵g(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴g(4－)＜g()＜g()，
则a＜b＜c.
专练14　导数与函数的极值、最值
1．A　f′(x)＝x－＝，且x>0，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0得02．A　f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，∴f(x)极大值＝f(－2)＝.
3．A　由题意知f′(x)＝ex＋(x－1)ex＋＝[ex(x－1)＋1].令g(x)＝ex(x－1)＋1，则g′(x)＝ex(x－1)＋ex＝xex，令g′(x)＝0，得x＝0，则函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0，由此可知f′(x)≥0，所以函数f(x)不存在极值点．
4．C　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴
或
当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，
∴在x＝1处不存在极值．
当时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
∴x∈(－，1)，f′(x)<0；x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，符合题意．∴
∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18.
5．B　∵函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，且f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，由题意得方程3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不同的实数解，∴Δ＝4m2－12(m＋6)>0，解得m<－3或m>6，∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞).
6．A　∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，所以f(x)在x＝－1两侧先增后减，f(x)在x＝1两侧先减后增，分别计算得f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以M＝1，N＝－19，则M－N＝1－(－19)＝20.
7．A　由ex≥k＋x恒成立，∴k≤(ex－x)min，设f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得x>0，由f′(x)<0，得x<0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1，∴k≤1.
8．D　由题意得f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，∴a＋b＝6，
∴t＝ab＝a(6－a)＝－(a－3)2＋9，∴tmax＝9.
9．B　函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，假设x1＜x2，则f′(x)＝x2＋ax＋b＝0有两个不等的实数根，Δ＝a2－4b＞0，方程f2(x)＋af(x)＋b＝0的判别式Δ′＝Δ＝a2－4b＞0，所以方程f2(x)＋af(x)＋b＝0有两解，且f(x)＝x1或f(x)＝x2，函数y＝f(x)的图像和直线y＝x1的交点个数即为方程f(x)＝x1解的个数，函数y＝f(x)的图像和直线 y＝x2的交点个数即为方程f(x)＝x2解的个数．f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，又f(x1)＝x1，画出图像如图所示，y＝f(x)的图像和直线y＝x1的交点个数为2个，y＝f(x)的图像和直线y＝x2的交点个数为1个，f(x)＝x1或f(x)＝x2的根共有3个，即方程f2(x)＋af(x)＋b＝0的不同实根个数为3.
10．答案：e－2
解析：f′(x)＝ex－2，∵x∈[1，e]，∴f′(x)>0，∴f(x)在[1，e]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝e－2.
11．答案：－4
解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，由题意得f′(2)＝0，得a＝3.∴f′(x)＝－3x2＋6x，∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时f(m)min＝f(0)＝－4.
12．答案：(－∞，0]
解析：设f(x)＝＋ln x，x∈，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)>0，得1令f′(x)<0，得≤x<1，
∴f(x)在[，1)内单调递减，在(1，2]上单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，
∴欲使a≤＋ln x在x∈上恒成立，则a≤0.
13．D　因为f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，所以f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)·cos x．因为x∈[0，2π]，所以x＋1>0.当f′(x)>0时，解得x∈[0，)∪(，2π]；当f′(x)<0时，解得x∈(，).所以f(x)在[0，)上单调递增，在[，]上单调递减，在(，2π]上单调递增．又f(0)＝2，f()＝＋2，f()＝－，f(2π)＝2，所以f(x)的最大值为＋2，最小值为－.故选D.
14．C　f′(x)＝－a，若a≤0，则f′(x)＝－a＞0不满足f(x1)＝f(x2)＝m(x1＜x2)，
所以a＞0，令f′(x)＝0，得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，因为x2－x1＝1，所以x2＝x1＋1，又f(x1)＝f(x2)＝f(x1＋1)，
所以ln x1－ax1＝ln (x1＋1)－a(x1＋1)，
即a＝ln (x1＋1)－ln x1＝ln ＝ln (1＋)，
因为x1≥1，
所以1＜1＋≤2，
所以a∈(0，ln 2]，
故实数a的最大值为ln 2.
15．答案：(－∞，2－2ln 2]
解析：当x∈(0，1]时，ln x≤0，此时|x－a|≥2ln x恒成立，
故x∈(1，＋∞)时，|x－a|≥2ln x恒成立，即x－a≥2ln x或x－a≤－2ln x，
即a≤x－2ln x或a≥x＋2ln x.
设f(x)＝x－2ln x，则f′(x)＝1－＝.
当x∈(1，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
故f(x)min＝f(2)＝2－2ln 2，故a≤2－2ln 2.
设g(x)＝x＋2ln x，则f′(x)＝1＋＞0，所以f(x)在x∈(1，＋∞)单调递增，不存在最大值，综上可知，a的取值范围是(－∞，2－2ln 2].
16．答案：(1，e)
解析：指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与五次函数y＝x5的图像恰好有两个不同的交点，等价于方程ax＝x5有两个不同的解．对方程ax＝x5两边同时取对数，得ln ax＝ln x5，即x ln a＝5ln x．因为x≠0，所以＝，从而可转化为f(x)＝与g(x)＝在图像上有两个不同的交点，g′(x)＝＝.当x∈(0，e)时，g′(x)＞0，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，所以函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以函数g(x)在x＝e处取到极大值，也是最大值，且最大值为.又因为当x∈(0，1)时，g(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，所以0＜f(x)＝＜.解得1＜a＜e，即a∈(1，e).
专练15　高考大题专练(一)　导数的应用
1．解析：(1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).
①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则xx2；令f′(x)<0，则x1所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；当a<时，f(x)在(－∞，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
(2)记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x－x＋ax0＋1)，
因为f′(x0)＝3x－2x0＋a，所以切线l的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0).
由l过坐标原点，得2x－x－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x.
令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1，
所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).
2．解析：(1)由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2a2x＋a－
＝＝，
则当x＞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
故函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为f()，
要使y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，只需f(x)的最小值恒大于0，即f()＞0恒成立，
故a2·()2＋a·－3ln ＋1＞0，得a＞，
所以a的取值范围为(，＋∞).
3．解析：(1)当x1＝－1时，f(x1)＝0.
由题意，得f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2，
则曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y＝2(x＋1).
由题意，知直线y＝2(x＋1)与曲线g(x)＝x2＋a相切，
所以2x＋2＝x2＋a，即方程x2－2x＋a－2＝0有两个相等的实数解，则Δ＝4－4(a－2)＝0，解得a＝3.
(2)方法一　因为f(x1)＝x－x1，f′(x1)＝3x－1，
所以曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)，
即y＝(3x－1)x－2x.
因为该切线也是曲线g(x)＝x2＋a的切线，
所以x2＋a＝(3x－1)x－2x，
所以方程x2－(3x－1)x＋a＋2x＝0有两个相等的实数解，所以Δ＝(3x－1)2－4(2x＋a)＝0，
则a＝x－2x－x＋.
令h(x)＝x4－2x3－x2＋，
则h′(x)＝9x3－6x2－3x＝9x(x＋)(x－1).
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－) － (－，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
h′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ? 极小值 ? 极大值 ? 极小值 ?
因为h(－)＝，h(1)＝－1<，
所以h(x)min＝－1.
又因为当x→＋∞(或x→－∞)时，h(x)→＋∞，
所以a的取值范围为[－1，＋∞).
方法二　因为f′(x)＝3x2－1，所以曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)，即y＝(3x－1)x－2x.
由g(x)＝x2＋a，得g′(x)＝2x.
曲线y＝g(x)在点(x2，g(x2))处的切线方程为y－(x＋a)＝2x2(x－x2)，即y＝2x2x－x＋a.
令
则a＝x－2x＝(9x－8x－6x＋1).
令m(x)＝9x4－8x3－6x2＋1，则m′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(x－1)(3x＋1).
当x<－或01时，m′(x)>0，此时函数y＝m(x)单调递增．
又m(－)＝，m(0)＝1，m(1)＝－4，
所以m(x)min＝m(1)＝－4，所以a≥＝－1，
即a的取值范围为[－1，＋∞).
4．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝－－ln x(x>0)，
则f′(x)＝－＝.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
故f(x)的最大值即为f(x)的极大值f(1)＝－1.
(2)因为函数f(x)恰有一个零点，所以方程a(x－ln x)－－ln x＝0在(0，＋∞)上恰有一个解，即方程a(x－ln x)＝＋ln x在(0，＋∞)上恰有一个解．
又易知当x>0时，x－ln x>0，
所以方程a＝在(0，＋∞)上恰有一个解．
令g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝.
令h(x)＝x－1－(x＋1)ln x(x>0)，
则h′(x)＝1－ln x－＝－ln x－.
由(1)知，h′(x)≤－1，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又h(1)＝0，所以当x∈(0，1]时，h(x)≥0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
则当x∈(0，1]时，g′(x)≤0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又当x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
所以a∈(0，＋∞).
5．解析：(1)函数定义域为R，f′(x)＝e(x－a)(x＋a)，
当a＞0时，f(x)在(－∞，－a)和(a，＋∞)上递增，在(－a，a)上递减；
当a＜0时，f(x)在(－∞，a)和(－a，＋∞)上递减，在(a，－a)上递增．
综上：当a＞0时，f(x)的递增区间是(－∞，－a)和(a，＋∞)，递减区间是(－a，a)；当a＜0时，f(x)的递减区间是(－∞，a)和(－a，＋∞)，递增区间是(a，－a).
(2)由(1)知当a＞0时，f(x)在(－∞，－a)和(a，＋∞)上递增，在(－a，a)上递减，
∴函数极大值f(－a)＝，函数极小值f(a)＝0，
又f(x)＝0，f(x)＝＋∞，
若使f(x)－4e＝0有三个零点，只需＞4e，解得：a＞e，
当a＜0时，f(x)在(－∞，a)和(－a，＋∞)上递减，在(a，－a)递增．
函数极小值f(a)＝0，函数极大值f(－a)＝，
又f(x)＝＋∞，f(x)＝0，
同理只需＞4e，解得a＜－e，
所以a的取值范围是(－∞，－e)∪(e，＋∞).
专练16　任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．D　设扇形的圆心角为θ，因为扇形的面积S＝θr2，所以θ＝＝＝.
2．B　因为1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°，所以sin 1≈sin 57°，sin 2≈sin 115°＝sin 65°，sin 3≈sin 172°＝sin 8°，因为y＝sin x在0°sin 1>sin 3.
3．C　由sin θ>0，tan θ<0，知θ为第二象限角，∴2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋<4．B　终边为第一象限的平分线的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，　①
终边为第三象限的平分线的角的集合是
{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}，　②
由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．
5．C　设扇形的圆心角为θ，半径为R，由题意得得θ＝3.
6．A　由三角函数的定义知cos α＝，tan α＝＝－，∴cos αtan α＝×(－)＝－.
7．C　∵－1 000°＝－3×360°＋80°，为第一象限角，∴sin (－1 000°)>0；
又－2 200°＝－7×360°＋320°，为第四象限角，
∴cos (－2 200°)>0；
∵－10＝－4π＋(4π－10)，为第二象限角，
∴tan (－10)<0；
∵sin π>0，cos π＝－1，π＝2π－，为第四象限角，
∴tan π<0，∴>0.
8．A　∵r＝，cos θ＝＝x，又x<0，∴x＝－1.
9．B　由题意得
得m＝－，∴cos α＝m＝－.
10．答案：1 080
解析：依题意r＝30 cm，＝2.4，所以l＝2.4r＝72 cm，所以S＝lr＝×72×30＝1 080 cm2.
11．答案：－
解析：∵θ∈(，π)，∴－1∴r＝＝－5cosθ，故sin α＝－.
12．答案：
解析：由题可知P(－8m，－3)，
∴cos α＝＝－，得m＝±，
又cos α＝－<0，∴－8m<0，
∴m＝.
13．B　由题意得，“弓”所在的弧长为
l＝＋＋＝，R＝1.25＝，
∴其所对的圆心角α＝＝＝，
∴两手之间的距离d＝＝×1.25≈1.768.
14．D　设半径为r，则＝r，r＝4，
所以弦长为2r sin ＝2×4×＝4，
矢为r－r cos ＝4－4×＝2，
所以弧田面积为S＝×(2×4＋22)＝4＋2.
15．答案：一
解析：由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
16．答案：
解析：∵cos θ＝－<0，tan θ<0，
∴θ为第二象限角，则y>0.
∴由＝－，得y＝.
专练17　同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．D　tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝＝＝2＋.
2．B　cos ＋cos π＋cos π＋cos π
＝cos ＋cos π＋cos (π－π)＋cos (π－)
＝cos ＋cos π－cos π－cos
＝0
3．D　tan (α－7π)＝tan α＝>0，又α∈(，π)，∴α∈(π，π)，∴sin α＝－，cos α＝－，∴sin α＋cos α＝－.
4．A　2sin α－cos α＝0，∴tan α＝，∴sin2α－2sinαcos α＝＝＝＝－.
5．C　方法一　因为tanθ＝－2，
所以角θ的终边在第二或第四象限，所以或
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝sin2θ＋sinθcos θ
＝－＝.
方法二　(弦化切法)因为tan θ＝－2，
所以
＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝
＝＝＝.
6．A　由sinα－cos α＝，得1－2sin αcos α＝，
∴2sin αcos α＝1－＝－，即：sin 2α＝－.
7．B　由题可知α为第一象限角，∴cos α＝，sin (α－)＝sin (α－)＝－cos α＝－.
8．C　因为π≈4cos 38°，
所以＝
＝＝＝＝8.
9．A　∵cos (2x－)＝sin 2x＝2sin x cos x＝sin2x，
∴tanx＝2，
∴tan (x－)＝＝＝.
10．答案：－
解析：sin (θ－π)＝－sin θ＝，sin θ＝－＜0，
由于角θ的终边过点A(4，a)，所以θ在第四象限，
所以cos θ＝＝，
所以tanθ＝＝－.
11．答案：
解析：α为锐角，＜α＋＜，sin (α＋)＝＝.
sin(2α＋)＝sin (2α＋－)＝sin (2α＋)－cos (2α＋)
＝×2sin (α＋)cos (α＋)－
＝××－＝－＝.
12．答案：－
解析：因为＜α＜，所以sinα＞cos α，
因此有cos α－sin α＝－＝－＝－，
把sin 2α＝代入，得cos α－sin α＝－＝－.
13．B　由题意得tan α＝＝b－a，
又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝，得|b－a|＝.
14．B　由题，因为2θ＋＝2(θ－)＋，
所以sin(2θ＋)＝sin ＝cos 2(θ－)＝2cos2(θ－)－1＝2×()2－1＝－.
15．答案：
解析：2tan(π－α)－3cos (＋β)＋5＝0化为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1化为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝.
16．答案：②③
解析：由题意得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故①不正确；
由于＝－，∴cos ＝cos (－)＝sin ，故②正确；由于A＋B＋C＝π，∴2A＋B＋C＝π＋A，∴sin (2A＋B＋C)＝sin (π＋A)＝－sin A，故③正确．
专练18　三角函数的图像与性质
1．C　由图像可知，函数的半周期是2π，所以＝2π，得ω＝.
2．C　因为函数f(x)＝sin ＋cos
＝(sin ＋cos )
＝(sin cos ＋cos sin )
＝sin (＋)，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.
3．C　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π.
∴－≤cos (2x－)≤1，又f(x)的最小值为－2，
当a＞0时，f(x)min＝－a＝－2，∴a＝2.
当a＜0时，f(x)min＝2a，∴a＝－1.
4．B　最小正周期为π的只有A、B，又当2sin (2×－)＝2取得最大值，故y＝2sin (2x－)的图像关于直线x＝对称．
5．C　解法一　设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可得T<π－(－)且>(－)－(－π)，所以解法二(五点法)　由函数f(x)的图像知，ω×(－)＋＝－，解得ω＝，所以函数f(x)的最小正周期为.
6．C　(通解)将函数f(x)＝sin (ωx＋)的图像向左平移个单位长度得到y＝sin (ωx＋ω＋)的图像．由所得图像关于y轴对称，得ω＋＝kπ＋(k∈Z)，所以ω＝2k＋(k∈Z).因为ω>0，所以令k＝0，得ω的最小值为.故选C.
(快解)由曲线C关于y轴对称，可得函数f(x)＝sin (ωx＋)的图像关于直线x＝对称，所以f()＝sin (＋)＝±1，然后依次代入各选项验证，确定选C.
7．A　y＝sin x cos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，周期T＝＝π，振幅为1.
8．D　由图像可知：8～13时这段时间温度先下降再升高，A错误；8～16时最大温度2 ℃，最小温度－2 ℃，最大温差为4 ℃，B错误；8～16时0 ℃以下的时长超过3小时，C错误；T＝4×(13－11)＝8＝，ω＝，又过点(13，2)，故2cos (·13＋φ)＝2，解得φ＝，故f(x)＝2cos (x＋)，f(16)＝2cos (·16＋)＝－2，故16时温度为－2℃，D正确．
9．D　对于A，令sin x＝t，t∈[－1，0)∪(0，1]，则g(t)＝t＋，
当t∈(0，1]时，g(t)＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，取“＝”，故g(t)∈[2，＋∞)，又∵g(t)＝－g(－t)，∴g(t)为奇函数，
∴g(t)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故A错误；
对于B，由f(x)≠f(－x)，知f(x)不是偶函数，故B错误；
对于C，f(2π－x)＝sin (2π－x)＋＝－sin x－≠f(x)，故C错误；
对于D，f(π－x)＝sin (π－x)＋＝sin x＋＝f(x)，故f(x)的图像关于直线x＝对称，故D正确．
10．答案：
解析：∵f(x)＝sin (x＋φ)＝sin (x＋φ)，
∴f(x)max＝.
11．答案：
解析：∵f(x)≤f()对任意的实数x都成立，
∴f()＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
12．答案：－
解析：解法一(五点作图法)　由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos (2x＋φ).点(，0)可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f(x)＝2cos (2x－)，
所以f()＝2cos (2×－)＝－.
解法二(代点法)　由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.又点(，0)在函数f(x)的图像上，所以2cos (2×＋φ)＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝2cos (2x－)，所以f()＝2cos (2×－)＝－2cos ＝－.
解法三(平移法)　由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.函数y＝2cos 2x的图像与x轴的一个交点是(，0)，对应函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图像与x轴的一个交点是(，0)，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)的图像是由y＝2cos 2x的图像向右平移－＝个单位长度得到的，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)＝2cos 2(x－)＝2cos (2x－)，所以f()＝2cos (2×－)＝－2cos ＝－.
13．D　函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)在[0，π]上恰有3个零点，则3π≤ωπ＋＜4π，解得：≤ω＜.
14．C　对于③，∵x∈(0，π)，ωx－∈(－，ωπ－)，令f(x)＝sin (ωx－)＝0，得ωx－＝kπ，k∈Z，
由函数f(x)在区间(0，π)上有且仅有2个不同的零点，即ωx－取得0，π，
所以，解得＜ω≤，故③正确；
对于①，当x∈[0，π]，ωx－∈，
由＜ω≤，知ωπ－∈(π，2π]，
令ωx－＝＋kπ，由于ω值不确定，所以ωπ－＝不一定取到，故①错误；
对于②，当x∈(0，)时，ωx－∈(－，－)，
由＜ω≤，知－∈(，]，
即(－，－) ，即f(x)在区间(0，)上单调递增，故②正确；所以正确的个数为2个．
15．答案：1
解析：函数y＝sin 的周期为6，函数y＝sin 在上单调递减，当≤t≤时，[t，t＋1] .
M(t)－N(t)＝sin －sin ＝2cos (＋)sin (－)＝－cos (＋).
因为≤t≤，所以≤t＋≤，所以－1≤cos (t＋)≤－，
所以≤M(t)－N(t)≤1，
当t＝时取最大值1.
16．答案：
解析：由又y＝sin α在(，)上递减，所以
解得≤ω≤.
专练19　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图像
及三角函数模型
1．D　因为y＝2sin (3x＋)＝2sin [3(x＋)]，所以把函数y＝2sin (3x＋)图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝2sin [3(x＋－)]＝2sin 3x的图像．故选D.
2．A　y＝cos 2x＋1y＝cos x＋1y＝cos (x＋1)＋1y＝cos (x＋1).函数图像过(－1，0)，结合选项可知，选A.
3．A　将y＝sin (2x＋)的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin ＝sin 2x，令2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴y＝sin 2x在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，得到y＝sin 2x的一个单调增区间为，故A正确，B不正确，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，得y＝sin 2x的单调减区间为(k∈Z)，结合选项可知C、D不正确．
4．A　由图知A＝2，＝－(－)＝，
∴T＝π，∴ω＝2.
将(，2)坐标代入，得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ－，k∈Z.取k＝0，得φ＝－.
5．A　∵函数y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图像沿x轴向左平移φ个单位后，得到函数y＝2sin (2x＋2φ＋)，
因为函数是偶函数，
∴2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝＋(k∈Z).
当k＝0时，φ＝，则φ的最小值为.
6．A　由题意得π＋＝T，
∴T＝π，又T＝，∴ω＝2，
又当x＝π时，2sin (2×π＋φ)＝2，
∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，
∴φ＝－.
7．B　由题图可知，函数图像上两个相邻的最值点分别为最高点(－，2)，最低点(，－2)，
所以函数的最大值为2，即A＝2.
由图像可得x＝－，x＝为相邻的两条对称轴，
所以函数的周期T＝2×＝4π，故＝4π，解得ω＝.
所以f(x)＝2sin (x＋φ).
把点(－，2)代入可得
2sin ＝2，
即sin (φ－)＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z).
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin (x＋).
8．D　y＝sin (2x＋)＝cos (2x＋－)
＝cos (2x＋)＝cos ，
由y＝cos x的图像得到y＝cos 2x的图像，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；由y＝cos 2x的图像得到y＝cos 的图像，需将y＝cos 2x的图像上的各点向左平移个单位长度．
9．D　函数f(x)＝2sin (2x－)的图像向右平移个单位得到g(x)＝2sin [2(x－)－]＝2sin (2x－)，
g(x)＝2sin (2x－)＝2sin (2x＋－π)＝－2sin (2x＋)，B选项错误．
2x＋＝kπ，x＝－，所以g(x)的对称中心为(－，0)(k∈Z)，A选项错误．
g()＝－2sin (＋)＝－2sin ＝－2，所以g(x)的图像关于x＝对称，D选项正确．
10．答案：2sin (2x＋)
解析：由题图可知，f(x)max＝2，f(x)min＝－2，
故A＝2，
最小正周期T＝2×＝π，故ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin (2x＋φ).
又曲线y＝f(x)过点(－，2)，
所以2sin ＝2，
即φ－＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|<π，
所以φ＝.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (2x＋).
11．答案：－2
解析：由与x轴在原点右侧的第一个交点为(1，0)，在y轴右侧的第一个最高点为(3，2)知＝3－1，T＝8，或＝3－1，T＝，
当T＝8时，ω＝＝，A＝2，∴f(x)＝2sin (x＋φ)，代入点(1，0)，2sin (＋φ)＝0，又|φ|<，∴φ＝－，
f(x)＝2sin (x－)，f(－1)＝－2；当T＝时，ω＝＝，A＝2，∴f(x)＝2sin (x＋φ)，代入点(1，0)，
2sin (＋φ)＝0，又|φ|<，∴φ＝，f(x)＝2sin (x＋)，f(－1)＝－2.
综上，f(－1)＝－2.
12．答案：
解析：由题意得将y＝sin x的图像向左平移个单位，得到y＝sin (x＋)，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin (x＋)，即f(x)＝sin (x＋)，
∴f()＝sin ＝.
13．C　依题意，
解得
故f(x)＝2cos (ωx＋φ)－1，
而f ()＝1，f ()＝－1，
∴＝－＝，
故T＝π＝，则ω＝2；
∴2cos (＋φ)－1＝1，
故＋φ＝2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，故φ＝－，
∴f(x)＝2cos (2x－)－1；
将函数f(x)的图像上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，
得到y＝2cos (x－)－1，
再向左平移个单位长度，
得到g(x)＝2cos (x＋－)－1
＝2cos (x＋)－1，
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)，
故－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为[－＋3kπ，－＋3kπ](k∈Z).
14．B　根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像，
可得·＝－，∴ω＝3.所以f(x)＝A sin (3x＋φ),
结合五点法作图，3×＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π，∴φ＝，故f(x)＝A sin (3x＋).
再把点(，－1)代入，可得－1＝A sin (＋)，
即－1＝－A cos ，∴A＝，
所以f(x)＝sin (3x＋).
现将f(x)的图像向左平移个单位长度，
得到函数y＝g(x)＝sin [3(x＋)＋]＝cos 3x，
因为2g(x)＝，即cos 3x＝，所以3x＝＋2k1π，
k1∈Z或3x＝－＋2k2π，k2∈Z，
解得x＝＋，k1∈Z或x＝－＋，k2∈Z，
因为x∈[0，2π]，所以x＝或或或或或，
故方程2g(x)＝在[0，2π]上实数解的个数为6个．
15．D　对于A，由A(3，－3)，
知R＝＝6，
又T＝120，所以ω＝＝.
当t＝0时，点P在点A位置，有－3＝6sin φ，
解得sin φ＝－，
又|φ|<，
所以φ＝－，故A错误；
对于B，可知f(t)＝6sin (t－)，
当t∈(0，60]时，t－∈(－，]，
所以函数f(t)先增后减，故B错误；
对于C，当t∈(0，60]时，
t－∈(－，]，sin (t－)∈(－，1]，
所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；
对于D，当t＝100时，t－＝，P的纵坐标为y＝－3，横坐标为x＝－3，
所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正确．
16．答案：
解析：由题意得g(x)＝sin [2(x－φ)]＝sin (2x－2φ)，
∵|f(x)|≤1，|g(x)|≤1，∴|f(x1)－g(x2)|≤2.
当且仅当f(x1)＝1，g(x2)＝－1或f(x1)＝－1，g(x2)＝1时满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设A1(x1，－1)是f(x)的最低点，B(x2，1)是函数g(x)的一个最高点，
∴x1＝k1π＋π(k1∈Z)，x2＝k2π＋＋φ(k2∈Z)，
|x1－x2|≥＝，
∵φ∈(0，)，∴|x1－x2|≥－φ，
又|x1－x2|min＝，∴－φ＝，φ＝.
专练20　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．D　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．B　tan (α－)＝＝＝.
3．B　cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝.
4．D　cos105°－cos 15°＝－(sin 15°＋cos 15°)
＝－sin (15°＋45°)＝－sin 60°＝－.
5．A　＝
＝＝＝.
6．D　∵cos α＋cos (α－)＝1，
∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α
＝(cos α＋sin α)
＝cos (α－)＝1，
∴cos (α－)＝.
7．D　∵A＋B＝45°，∴tan (A＋B)＝＝1，
∴tan A＋tan B＝1－tan A tan B.
∴(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan A tan B＝2.
8．C　∵cos α＝，0<α<，∴sin α＝＝，又cos(α－β)＝，0<β<α<，∴0<α－β<，
∴sin (α－β)＝＝，
cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝×＋×＝＝，
又0<β<，∴β＝.
9．C　∵0<α<，∴<α＋<π，cos (α＋)＝，∴sin (α＋)＝＝，又－<β<0，
∴0<－<，∴<－<，
∴sin(－)＝＝，
∴cos(α＋)＝cos ＝cos (＋α)cos (－)＋sin (＋α)·sin (－)＝×＋×＝.
10．答案：
解析：∵＝－，
∴tan α＝－tan (α＋)＝－·，
整理得3tan2α－5tanα－2＝0，
∴tan α＝－或tan α＝2.
sin (2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)
＝·
＝·.
当tanα＝－时，sin (2α＋)＝；
当tan α＝2时，sin (2α＋)＝.
所以答案为.
11．答案：－
解析：由cos (α－)＋sin α＝，得cos α＋sin α＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝，∴sin (α＋)＝.
∴sin (α＋π)＝sin (α＋＋π)＝－sin (α＋)＝－.
12．答案：－1　
解析：∵tan (α＋2β)＝2，tan β＝－3，
∴tan (α＋β)＝tan (α＋2β－β)
＝
＝＝－1.
tan α＝tan (α＋β－β)
＝＝.
13．B　因为θ为第二象限角，由tan (θ＋)＝知，θ＋是第三象限角，所以sin (θ＋)＝－，故sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋)＝－.
14．C　由sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，
可知cos α＝，sin β＝，
故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝.
15．C　由cos β－3sin α＝2得，
(cos β－3sin α)2＝cos2β－6cosβsin α＋9sin2α＝4，　①
由sinβ＋3cos α＝得，
(sin β＋3cos α)2＝sin2β＋6sinβcos α＋9cos2α＝.　②
①＋②＝10＋6(sinβcos α－cos βsin α)＝10＋6sin (β－α)＝，
∴sin (β－α)＝－.
16．B　由sin (x＋y)＝2sin (x－y)得
sin x cos y＋cos x sin y＝2sin x cos y－2cos x sin y，
则tan x＝3tan y，
所以tan (x－y)＝＝＝≤，
当且仅当tan y＝时等号成立，
由于f(x)＝tan x在x∈(0，)上单调递增，
又x，y∈(0，)，
则x－y的最大值为.
专练21　三角恒等变换
1．C　cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.
2．A　∵α为锐角，∴<α＋<π，
∴sin(α＋)＝＝，
∴cos2α＝sin (＋2α)＝2sin (α＋)cos (α＋)＝2××＝.
3．A　f(x)＝＋sin 2x＝sin (2x－)＋，
∵≤x≤，∴≤2x－≤π，
∴当2x－＝π即x＝时f(x)min＝＋＝1.
4．D　∵cos 2θ＝＝＝＝.
5．B　∵sinθ＋sin (θ＋)＝sin θ＋sin θcos ＋cos θsin ＝sin θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)＝sin (θ＋)＝1.
∴sin (θ＋)＝＝.
6．C　tan 67.5°－＝－
＝－
＝
＝＝2.
7．A　解法一　因为tan 2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.
解法二　因为tan 2α＝＝＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.
8．A　∵a⊥b，∴sin θ－2cos θ＝0，
∴tan θ＝2，∴sin 2θ＋cos2θ＝2sinθcos θ＋cos2θ＝＝1.
9．D　通解　因为cos＝sin (－)＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos(2×)＝cos ＝.
优解　设cos2－cos2＝a，sin2－sin2＝b，则a＋b＝(cos2＋sin2)－(cos2＋sin2)＝1－1＝0　①，a－b＝(cos2－sin2)－(cos2－sin2)＝cos(2×)－cos (2×)＝cos －cos ＝2cos ＝　②，所以根据①＋②可得2a＝，即a＝，即cos2－cos2＝.
光速解　因为cos＝，cos ＝，
所以cos2－cos2＝()2－()2＝.
10．答案：
解析：∵sinx＝－，∴cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×(－)2＝.
11．答案：
解析：由sinα＋cos α＝，得1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－，∴cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
12．答案：　1
解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin (2x＋)＋1，又2cos2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b.∴A＝，b＝1.
13．C　由＝，得＝，
由此式可知cos α≠0，
所以＝，得tan α＝，
所以tan 2α＝＝＝.
14．D　因为f(x)＝6sin2＋2sincos －3＝3(1－cos x)＋sin x－3
＝sin (x＋φ)，tan φ＝－3，φ∈(－，)，
故当f(x)取得最大值时，若x＝θ，则θ＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
则tan θ＝tan (2kπ＋－φ)＝tan (－φ)＝＝－.
15．C　方法一　因为<α<2π，所以sin α<0，0所以 ＋＝＋
＝＋
＝＋＝－.
方法二　因为<<π，所以sin >0，cos <0，
所以 ＋
＝＋
＝＋＝－(＋)
＝－＝－.
16．C　由＝，
可得a＝sin x＋cos x＝2sin (x＋)，
因为x∈(0，)，
所以x＋∈(，)，则2sin (x＋)∈(1，2]，
所以a的取值范围为(1，2].
专练22　正弦定理和余弦定理、解三角形
1．C　由正弦定理得＝，
∴sin A＝＝＝，又a∴A为锐角，∴A＝.
2．D　解法一　由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).
解法二　由正弦定理＝，得sin C＝，从而cos C＝(C是锐角)，所以sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×－×＝.又＝，所以BC＝3.
3．A　由(2b－c)cos A＝a cos C得2b cos A＝(a cos C＋c cos A)，由正弦定理得
2sin B cos A＝(sin A cos C＋sin C cos A)＝sin (A＋C)＝sin B，又sin B≠0，
得cos A＝，A＝.
4．C　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cos A＝1，cos A＝，∴sin A＝＝，∴S△ABC＝bc sinA＝×4×＝.
5．D　∵b sin A＝3c sin B，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝1，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝9＋1－2×3×＝6，
∴b＝.
6．B　∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．
7．B　∵S△ABC＝AB×BC×sin B＝sin B＝，∴sin B＝，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 45°＝1＋2－2××＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 135°＝1＋2＋2××＝5，∴AC＝.
8．A　由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝50.
9．B　在△ABC中，由余弦定理，b2＋c2－a2＝bc可化为cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
由余弦定理，b cos C＋c cos B＝2可化为：b＋c＝2，解得：a＝2(a＝0舍去).
因为b2＋c2－a2＝bc，所以a2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，(当且仅当b＝c＝2时取等号).
所以△ABC的面积S＝bc sin A≤×4×＝.
10．答案：2
解析：由题意得S△ABC＝ac sin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
11．答案：9
解析：在△ABD中，设AB＝a，由余弦定理得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos ∠BAD＝3a2，所以BD＝a，
由托勒密定理可得a(BC＋CD)＝AC·a，
即BC＋CD＝AC，
又∠ABD＝∠ACD＝30°，∠ACB＝∠ADB＝30°，
所以四边形ABCD的面积
S＝BC·AC sin 30°＋CD·AC sin 30°
＝(BC＋CD)·AC＝AC2＝9.
12．答案：
解析：由余弦定理可得cos C＝，所以a2＋b2－c2＝2ab cos C.
△ABC的面积为S＝ab sin C＝＝，
所以sin C＝cos C，即tan C＝1，又0＜C＜π，
所以C＝.
13．A　由正弦定理及a sin A－b sin B＝4c sin C得a2－b2＝4c2，由余弦定理可得cos A＝＝＝－.所以＝6.
14．答案：4
解析：由正弦定理，得sin A cos C＋sin A sin C－sin B－sin C＝0.
sin A cos C＋sin A sin C－sin (A＋C)－sin C＝0，
sin A sin C－sin C cos A－sin C＝0，
因为sin C≠0，
所以sin A－cos A＝1，2sin (A－)＝1，
所以sin (A－)＝，
因为A∈(0，π)，
所以(A－)∈(－，专练8　指数与指数函数
命题范围：指数的意义与运算；指数函数的定义、图像与性质．
[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
2．已知函数g(x)＝3x＋t的图像不经过第二象限，则t的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)
3．若a2x＝－1，则等于(　　)
A．2－1 B．2－2
C．2＋1 D．＋1
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝(　　)
A． B．2
C．4 D．
5．函数f(x)＝ax－b的图像如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A.a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．06．[2022·江西省景德镇市高三质检]设a＝log52，eb＝，c＝，则(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
7．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知a＝log0.62，b＝sin 1，c＝20.6，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＜b＜a B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
8．[2022·浙江杭州一中高三测试]函数f(x)＝()1－x2的单调减区间为(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－1，1)
9．[2022·安庆一中高三测试]已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(　　)
A．(－∞，－)∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，)∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)
二、填空题
10．(－)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0的值为________.
11．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.
12．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________.
[能力提升]
13．[2022·四川省成都高三“二诊模拟”]基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型I(t)＝ert来描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT，有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为(　　)(参考数据：ln 3≈1.098)(　　)
A．2天 B．5天
C．4天 D．3天
14．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A．60 B．63
C．66 D．69
15．已知常数a>0，函数f(x)＝的图像经过点P(p，)、Q(q，－).若2p＋q＝36pq，则a＝________．
16．已知函数y＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，则m的取值范围是________．专练23　高考大题专练(二)　三角函数与解三角形的综合运用
1．[2020·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(＋A)＋cosA＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
2．[2022·全国乙卷(文)，17]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A).
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
3．[2022·新高考Ⅰ卷，18]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
4．[2022·江西省南昌市模拟]如图，锐角△OAB中，OA＝OB，延长BA到C，使得AC＝3，∠AOC＝，sin ∠OAC＝.
(1)求OC；
(2)求sin ∠BOC.
5．[2022·江西省重点中学联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c从条件①：b sin ＝a sin B，条件②：b＝a cos C＋c，条件③：b tan A＝(2c－b)tan B这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A；
(2)若·＝3，求a的最小值．专练16　任意角和弧度制及任意角的三角函数
命题范围：角的概念、角度制与弧度制的互化、三角函数的定义．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·河南平顶山检测]若一个扇形的面积是2π，半径是2，则这个扇形的圆心角为(　　)
A． B．
C． D．
2．三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是(　　)
参考值：1弧度≈57°，2弧度≈115°，3弧度≈172°
A．sin 1>sin 2>sin 3
B．sin 2>sin 1>sin 3
C．sin 1>sin 3>sin 2
D．sin 3>sin 2>sin 1
3．若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则是(　　)
A．第二象限角
B．第一象限角
C．第一或第三象限角
D．第一或第二象限角
4．[2022·上海横峰中学月考]终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是(　　)
A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
5．一个扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角α的终边过点P(，－)，则cos α·tan α的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
7．给出下列各函数值：
①sin (－1 000°); ②cos (－2 200°)；
③tan (－10); ④.
其中符号为负的有(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
8．已知角θ的终边经过点P(x，3)(x<0)且cos θ＝x，则x等于(　　)
A．－1 B．－
C．－3 D．－
9．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点A(m，)，则cos α的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．不确定
二、填空题
10．[2022·安徽省高三3月联考]折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l，扇形所在的圆的半径为r，当l与r的比值约为2.4时，折扇看上去的形状比较美观．若一把折扇所在扇形的半径为30 cm，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是________cm2.
11．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(，π)，则sin α＝________．
12．已知角α的终边经过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m＝________．
[能力提升]
13．[2022·景德镇模拟]《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414，≈1.73)(　　)
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
14．[2022·宿州模拟]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是(　　)
A．(－4) 平方米
B．(－2)平方米
C．(4＋2) 平方米
D．(2＋4) 平方米
15．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
16．已知tan θ<0，且角θ终边上一点为(－1，y)，且cos θ＝－，则y＝________．专练24　平面向量的概念及其线性运算
命题范围：平面向量的概念和几何表示、共线向量、向量的加减、数乘等线性运算．
[基础强化]
一、选择题
1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)
A．②③ B．①②
C．③④ D．②④
2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．|a|＝|b| B．a∥b
C．|a|>|b| D．a⊥b
3．[2022·新高考Ⅰ卷，3]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
4．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＝λ(＋)，则实数λ＝(　　)
A．－ B．
C．2 D．－2
6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)
A．2－ B．－＋2
C．＋ D．－＋
7．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
8．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC内部
9．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A.＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
二、填空题
10．在△ABC中，D是AB边上一点，＝3，且＝λ＋，则λ的值为________．
11．[2021·全国甲卷]若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
12．[2022·贵州省高三测试]在平行四边形ABCD中，＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
[能力提升]
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3＋5＋2＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为(　　)
A.　　　B．4 C．3　　　D．
14．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)
A． B．
C． D．
15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：
①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题的序号为________．
16．在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．专练30　等比数列及其前n项和
命题范围：等比数列的概念与性质、等比数列的通项公式、前n项和公式．
[基础强化]
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝(　　)
A． B．2 C． D．3
2．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)
A．2 B．1 C． D．
3．[2022·江西省赣州市期末]已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a6＝(　　)
A．6 B．9 C．27 D．81
4．[2022·江西省南昌市模拟]数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，则a4＝(　　)
A．8 B．16
C．12 D．24
5．[2022·珠海模拟]在等比数列{an}中，a＝a9且a8＞a9，则使得an－>0的自然数n的最大值为(　　)
A．10 B．9
C．8 D．7
6．已知各项均为正数的等比数列 {an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝ (　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
7．[2022·江西省赣州市一模]等比数列{an}满足a8＋a10＝，a11＋a13＝1，则a20＋a22＝(　　)
A．8 B．4
C．－4 D．－8
8．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)
A．10 B．15
C．20 D．25
9．[2022·全国乙(文)，10]已知等比数列的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)
A．14 B．12
C．6 D．3
二、填空题
10．[2022·江西省南昌市第十中学月考]若等比数列{an}的前n项的和为Sn，且满足S2＝3，S3－S1＝6，则a6＝________．
11．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
12．[2022·吉林省长春市质量监测]已知数列{an}是首项为3，公比为q的等比数列，Sn是其前n项的和，若a3a4＋a5＝0，则q＝________；S3＝________．
[能力提升]
13．[2022·北京模拟]《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1.参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A．2.9天 B．3.9天
C．4.9天 D．5.9天
14．[2022·陕西省西安中学三模]在等比数列{an}中，a7，a11是方程x2＋5x＋2＝0的两根，则的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．－或
15．在公比为q的正项等比数列{an}中，a4＝4，则当2a2＋a6取得最小值时，log2q＝________．
16．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．专练41　直线、平面平行的判定与性质
命题范围：直线、平面平行的定义，判定定理与性质定理及其简单应用．
[基础强化]
一、选择题
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．一条直线不相交
B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线都不相交
2．[2022·宁波模拟]下列命题中正确的是(　　)
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a α，b α，则b∥α
3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
4．下列命题中，错误的是(　　)
A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下面说法正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
6.
[2022·杭州模拟]已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有(　　)
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
8．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)
A．16 B．24或
C．14 D．20
9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)
二、填空题
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
12．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
[能力提升]
13．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
14．[2022·陕西省西安中学三模]如图，已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱AA1，CC1，C1D1的中点，则下列各选项正确的是(　　)
A．直线BC1与平面EFG平行，直线BD1与平面EFG相交
B．直线BC1与平面EFG相交，直线BD1与平面EFG平行
C．直线BC1、BD1都与平面EFG平行
D．直线BC1、BD1都与平面EFG相交
15．[2022·福州检测]如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是(　　)
A．直线BQ∥平面EFG
B．直线A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
16．[2022·合肥市第一中学模拟]正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为(　　)
A．[1，] B．[，]
C．[，] D．[1，]专练21　三角恒等变换
命题范围：二倍角公式、三角恒等变换．
　　　　　　　　　　　　　　　　[基础强化]
一、选择题
1．若sin ＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．已知α为锐角，且cos (α＋)＝，则cos 2α＝(　　)
A． B．
C．－ D．±
3．函数f(x)＝sin2x＋sinx·cos x在上的最小值为(　　)
A．1 B．
C．1＋ D．
4．若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
5．[2020·全国卷Ⅲ]已知sin θ＋sin (θ＋)＝1，则sin (θ＋)＝(　　)
A． B．
C． D．
6．[2022·成都双流中学模拟]tan 67.5°－的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
7．[2021·全国甲卷]若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
8．已知向量a＝(sin θ，－2)，b＝(1，cos θ)，且a⊥b，则sin 2θ＋cos2θ的值为(　　)
A．1 B．2 C． D．3
9．[2021·全国乙卷]cos2－cos2＝(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅱ]若sinx＝－，则cos 2x＝________．
11．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．
12．已知2cos2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________．
[能力提升]
13．[2022·江西省赣州市期末]
若＝，则tan 2α＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
14．[2022·陕西省西安中学模拟]当x＝θ时，f(x)＝6sin2＋2sincos －3取得最大值，则tan θ＝(　　)
A．3 B．－3
C． D．－
15．[2022·陕西省西安中学四模]已知<α<2π，则 ＋＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
16．[2022·河南省六市检测] 已知x为锐角，＝，则a的取值范围为(　　)
A．[－2，2] B．(1，)
C．(1，2] D．(1，2)专练52　算法初步
命题范围：程序框图与基本算法语句．
[基础强化]
一、选择题
1．用辗转相除法求得168与486的最大公约数是(　　)
A．3　　　B．4　　　C．6　　　D．16
2．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别是21，32，75，则输出的a，b，c分别是(　　)
A．75，21，32 B．21，32，75
C．32，21，75 D．75，32，21
3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
第3题　　　　第4题　　　　　第5题
4．[2020·全国卷Ⅰ]执行如图所示的程序框图，则输出的n＝(　　)
A．17 B．19 C．21 D．23
5．[2022·成都石室中学高三模拟]执行如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的a，b，c分别为0.41.2，1.20.4，log0.41.2，则输出的结果为(　　)
A．a B．b
C．c D．无法确定
6．[2022·陕西省西安中学二模]执行如图程序框图，若输入N＝6，则输出p的值是(　　)
A．720 B．120
C．5 040 D．1 440
第6题　　　　　　　第7题
7．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入(　　)
A．A＝ B．A＝2＋
C．A＝ D．A＝1＋
8．
[2022·安徽省江南十校一模]《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一本，成于公元1世纪左右，该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从厚五尺墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问几日两鼠相逢？”有人设计了如图所示的程序框图解决此问题，则此题的结果为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
9．
执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于(　　)
A．2－
B．2－
C．2－
D．2－
二、填空题
10.
右图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．
11．
按照如图程序运行，则输出k的值是________．
12．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别是0和9，则输出的i的值为________.
　
第12题　　　　　第13题
[能力提升]
13．上图程序框图表示的算法的功能是(　　)
A．计算小于100的奇数的连乘积
B．计算从1开始的连续奇数的连乘积
C．从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数
D.计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n值
14．
[2022·全国乙卷(文)，7]执行右边的程序框图，输出的n＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
15．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝ln (－x)
C．f(x)＝
D．f(x)＝
　
第15题　　　　　　第16题
16．[2022·东北三省高三模拟]在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1 728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数字呢？许多研究者认为，之所以选用这个数字，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系．中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如12地支，12个时辰，12生肖…….十二进制数通常使用数字0～9以及字母A，B表示，其中A即数字10，B即数字11.对于如图所示的程序框图，若输入a＝1 728，k＝12，则输出的数为________．专练29　等差数列及其前n项和
命题范围：等差数列的概念和性质、等差数列的通项公式及前n项和公式．
[基础强化]
一、选择题
1．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．10
2．等差数列{an}的前n项和Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝(　　)
A．8 B．10
C．12 D．14
3．[2022·包头模拟]已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
4．[2022·崇左模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于(　　)
A．225 B．250
C．270 D．300
5．[2022·吕梁模拟]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1－1，则数列{}的前10项和为(　　)
A． B．55
C． D．65
6．已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15，则数列{an}的公差为(　　)
A．－3 B．－
C．－2 D．－4
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7＝(　　)
A．13　　　B．49 C．35　　　D．63
8．若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4≤4，S6≥12，则a4的最小值为(　　)
A．2 B．
C．3 D．
9．若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
11．[2022·全国乙(文)，13]记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________．
12．[2022·新乡模拟]一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为________．
[能力提升]
13．[2022·广西省五市高三联考] 某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除(如公元2000年)或能被4整除而不能被100整除(如公元2012年).闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日．狄更斯的出生日是(　　)
A．星期五 B．星期六
C．星期天 D．星期一
14．[2022·济宁模拟]设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项不正确的是(　　)
A．a1>0，d<0
B．a7＋a8>0
C．S6与S7均为Sn的最大值
D．a8<0
15．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
16．[2022·陕西省西安中学四模]在等差数列{an}中，a7＝15，a2＋a6＝18，若数列{(－1)nan}的前n项之和为Sn，则S100＝________．专练18　三角函数的图像与性质
命题范围：三角函数的图像、性质．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·安徽省蚌埠市高三质检]已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图像如图所示，则ω的值为(　　)
A．2　　　B．1 C．　　　D．
2．[2021·全国乙卷]函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
3．已知函数f(x)＝2a cos (2x－)(a≠0)的定义域为，最小值为－2，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．－1或2 D．1或2
4．下列函数中最小正周期为π且图像关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝2sin (2x＋)
B．y＝2sin (2x－)
C．y＝2sin (＋)
D．y＝2sin (－)
5．[2020·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝cos (ωx＋)在[－π，π]的图像大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
6．[2022·全国甲卷(文)，5]将函数f(x)＝sin (ω>0)的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
7．函数y＝sin x cos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是(　　)
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
8．[2022·贵州省高三适应性测试]2022年春节期间，G市某天从8～16时的温度变化曲线(如图)近似满足函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π，x∈[8，16])的图像．下列说法正确的是(　　)
A.8～13时这段时间温度逐渐升高
B．8～16时最大温差不超过5℃
C．8～16时0℃以下的时长恰为3小时
D．16时温度为－2℃
9．[2020·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝sin x＋，则(　　)
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线x＝π对称
D．f(x)的图像关于直线x＝对称
二、填空题
10．函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．
11．设函数f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)，若f(x)≤f()对于任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
12．[2021·全国甲卷]已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f＝________．
[能力提升]
13．[2022·山西省高三模拟]已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω＞0)在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是(　　)
A．[，) B．
C． D．[，)
14．[2022·江西省赣州市高三摸底(一模)]已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0)在区间(0，π)上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：
①f(x)在区间[0，π]上有且仅有2条对称轴；
②f(x)在区间(0，)上单调递增；
③ω的取值范围是(，].
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
15．[2022·广西五市高三联考]设函数y＝sin 在[t，t＋1]上的最大值为M(t)，最小值为N(t)，则M(t)－N(t)在≤t≤上最大值为________．
16．已知ω>0，函数f(x)＝sin (ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．专练47　直线与圆、圆与圆的位置关系
命题范围：直线与圆、圆与圆的位置关系．
[基础强化]
一、选择题
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
2．已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　)
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
3．[2022·北京卷，3]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　)
A． B．－
C．1 D．－1
4．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
5．[2022·江西省南昌市月考] 倾斜角为45°的直线l将圆C：x2＋y2＝4分割成弧长的比值为的两段弧，则直线l在y轴上的截距为(　　)
A．1 B．
C．±1 D．±
6．已知直线l经过点(0，1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝2，则直线l的斜率k的值为(　　)
A．1 B．－1或1
C．0或1 D．1
7．[2020·全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A． B．
C． D．
8．[2022·江西省高三联考]已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l：2x－y＋4＝0，点P为直线l上任意一点，过P作圆C的一条切线，切点为A，则切线段PA的最小值为(　　)
A． B．
C．2 D．4
9．已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值为(　　)
A． B．4
C． D．9
二、填空题
10．[2022·新高考Ⅰ卷，14] 写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
11．已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
12．过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则切线方程为
________________．
[能力提升]
13．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2，6] B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3]
14．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法错误的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15．[2022·贵州省高三测试]如图，圆O：x2＋y2＝4交x轴的正半轴于点A.B是圆上一点，M是弧的中点，设∠AOM＝θ(0<θ<π)，函数f(θ)表示弦AB长与劣弧长之和．当函数f(θ)取得最大值时，点M的坐标是________．
16．已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则＋的最小值为________．专练12　变化率与导数、导数的计算
命题范围：导数的概念与运算、导数的几何意义．
　　　　　　　　　　　　　　　　[基础强化]
一、选择题
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
2．[2022·陕西省西安中学高三四模]某旅游者爬山的高度h(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2 h这一时刻的高度变化的速度是(　　)
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
3．[2022·江西省九江市第二次高考模拟]曲线f(x)＝x3－1在x＝1处的切线倾斜角是(　　)
A． B． C． D．
4．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26 B．29
C．212 D．215
5．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
6．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．
7．f′(x)是f(x)＝sin x＋a cos x的导函数，且f′()＝，则实数a的值为(　　)
A． B． C． D．1
8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与二次曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a等于(　　)
A．－2 B．0 C．1 D．8
9．过函数f(x)＝x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为(　　)
A． B．[0，)∪[，π)
C．[，π) D．(，]
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅰ]曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________________．
11．[2022·江西省赣州市高三期末]设曲线y＝x2在点A(1，)处的切线与曲线y＝x ln x在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为________．
12．[2022·安徽省高三一模]过坐标原点且与曲线y＝－x ln x－1相切的直线方程为________．
[能力提升]
13．已知a>0，曲线f(x)＝2ax2－在点(1，f(1))处的切线的斜率为k，则当k取最小值时a的值为(　　)
A． B．
C．1 D．2
14．已知直线y＝kx－2与曲线y＝x ln x相切，则实数k的值为(　　)
A．ln 2 B．1
C．1－ln 2 D．1＋ln 2
15．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图像在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
16．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝________．专练34　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
命题范围：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．
[基础强化]
一、选择题
1．在3x＋2y＜6表示的平面区域内的一个点是(　　)
A．(3，0)　　　　　　　 B．(1，3)
C．(0，3) D．(0，0)
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A．3 B．9
C．18 D．36
3．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为(　　)
A．10 B．9
C．3 D．无数个
4．已知点P(1，－2)，Q(a，2)，若直线2x＋y－4＝0与线段PQ有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
5．[2022·全国乙卷(文)，5] 若x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值是(　　)
A．－2 B．4
C．8 D．12
6．[2022·陕西省西安中学二模]若x，y满足约束条件且z＝x＋2y，则(　　)
A．z有最小值也有最大值
B．z无最小值也无最大值
C．z有最小值无最大值
D．z有最大值无最小值
7．[2022·江西省临川第一中学模拟]若实数x，y满足，则z＝2x＋y的值不可能为(　　)
A．2　　　B．4 C．9　　　D．12
8．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)
A．4 B．9
C．10 D．12
9．若x，y满足约束条件则t＝的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[0，]
C．(0，] D．[－，0]
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅱ]若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是________．
11．[2022·河南开封高中模拟]已知不等式组表示的平面区域为Ω，则直线2x＋y＋m＝0(m∈R)被Ω截得的线段长度的最大值为________．
12．[2022·江西赣州二模]已知实数x，y满足若目标函数z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为________．
[能力提升]
13．[2022·浙江效实中学模拟]已知点P(x，y)满足不等式组点A(2，1)，O为坐标原点，则·的取值范围是(　　)
A．[－，] B．[－，4]
C．[，4] D．(－∞，－]
14．[2022·四川宜宾市叙州区三模]已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝16相交于A，B两点，则|AB|的最小值是(　　)
A．2 B．
C．4 D．2
15．已知实数x，y满足设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为________．
16．已知实数x，y满足存在x，y使得2x＋y≤a成立，则实数a的取值范围是________．专练6　函数的奇偶性与周期性
命题范围：函数的奇偶性、函数的周期性．
[基础强化]
一、选择题
1．[2021·全国乙卷]设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
2．[2020·全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝(　　)
A．3 B．
C．－ D．－3
4．[2022·安徽省蚌埠市高三下学期质检]已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，f()＝1，则f(－)＝(　　)
A．－ B．－1
C．1 D．
5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝3x，则(　　)
A．f(－1)＝f(2) B．f(－1)＝f(4)
C．f(－)>f() D．f(－)＝f(4)
6．[2021·全国甲卷]设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f＝，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．b8．[2022·东北三省高三联考]定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(－x＋2)，则f(2 022)＝(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．不确定
9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1，4) B．(－2，0)
C．(－1，0) D．(－1，2)
二、填空题
10．[2022·四川省成都“二诊模拟”]函数f(x)是定义在R上的奇函数，当－1＜x＜0时，f(x)＝3x，则f(log32)＝________．
11．[2022·陕西省西安中学高三模拟]已知函数f(x)＝(ex－)ln (－x)为R上的偶函数，则实数a＝________．
12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，令F(x)＝(x－b)f(x－b)＋2 017，若b是a，c的等差中项，则F(a)＋F(c)＝________．
[能力提升]
13．[2022·江西省临川高三模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2 022)＋f(2 023)＝(　　)
A.－1 B．1
C．504 D．无法确定
14．[2022·贵州省高三适应性测试]函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于点(0，0)与点(1，0)对称．当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，则f()＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
15．[2022·陕西省西安高三三模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sin πx，且满足当x＞1时，f(x)＝2f(x－2)，若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2成立，则m的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
16．[2022·全国乙卷(文)，16]若f＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．专练14　导数与函数的极值、最值
命题范围：函数的极值最值及导数的应用．
　　　　　　　　　　　　　　　　[基础强化]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)
A． B．1
C．0 D．不存在
2．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为(　　)
A． B．6
C． D．7
3．函数f(x)＝ex＋x的极值点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)
A．11或18 B．11
C．18 D．17或18
5．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，2)
B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3，6)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
6．已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3，2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝(　　)
A．20 B．18 C．3 D．0
7．若ex≥k＋x在R上恒成立，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞)
8．若a>0，b>0且f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，t＝ab，则实数t的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
9．[2022·陕西省西安中学高三二模]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1，则关于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0的不同实根个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题
10．函数f(x)＝ex－2x在[1，e]上的最小值为________．
11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________．
12．若不等式a≤＋ln x对于任意x∈恒成立，则a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·全国乙卷(文)，11]函数f(x)＝cos x＋sin x＋1在区间的最小值、最大值分别为(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
14．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知函数f(x)＝ln x－ax(x≥1)，若f(x1)＝f(x2)＝m(x1＜x2)，且x2－x1＝1，则实数a的最大值为(　　)
A．2 B．
C．ln 2 D．e
15．[2022·河南省六市联考]若不等式|x－a|－2ln x≥0恒成立，则a的取值范围是________．
16．[2022·四川省成都高三“二诊模拟”]若指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与五次函数y＝x5的图像恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________．专练58　高考大题专练(七)　坐标系与参数方程
1．[2022·贵阳市五校联考]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为(t为参数)，直线l的极坐标方程为ρsin (θ－)＝－.
(1)已知点M(6，a)在曲线C上，求a的值；
(2)设点P为曲线C上一点，求点P到直线l距离的最小值．
2．[2022·全国甲卷(文)，22]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(s为参数).
(1)写出C1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
3．[2022·全国乙卷(文)，22]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin ＋m＝0.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
4.[2021·全国甲卷]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1，0)，M为C上的动点，点P满足＝ ，写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
5．[2022·安阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l过点M(1，0)且倾斜角为α.
(1)求出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且＝，求cos α的值．
6．[2022·石嘴山模拟]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上且满足|OA|·|OB|＝8，点B的轨迹为C2.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)设点M的极坐标为(2，)，求△ABM面积的最小值．专练35　基本不等式
命题范围：基本不等式及其应用．
[基础强化]
一、选择题
1．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是(　　)
A．2　　 B．2
C．3 D．4
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　　)
A．2 B．
C．4 D．
3．下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x∈(0，]时，sin x＋的最小值为4
C．当x>0时，＋≥2
D．当04．若log4(3a＋4b)＝log2 ，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
6．[2022·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若＝x＋y，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．9
7．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
8．[2022·河南安阳模拟]已知a，b为正实数，且a＋b＝6＋＋，则a＋b的最小值为(　　)
A．6 B．8
C．9 D．12
9．[2022·安徽马鞍山三模]若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋3b)，则a＋b的最小值为(　　)
A．4 B．4＋2
C．6 D．3＋3
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
11．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
12．[2022·浙江绍兴模拟]若直线ax－by－3＝0(a＞0，b＞0)过点(1，－1)，则＋的最大值为________．
[能力提升]
13．[2022·全国甲(文)，12] 已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)
A．a>0>b B．a>b>0
C．b>a>0 D．b>0>a
14．若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．a≥ B．a>
C．a< D．a≤
15．[2022·宁夏石嘴山第一中学三模]设复数z＝a＋bi(a，b＞0，a，b∈R)，若复数z对应的点在直线x＋3y－2＝0上， 则＋的最小值为________．
16．设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________．专练27　数系的扩充与复数的应用
命题范围：复数的实部、虚部、模的概念，复数的同则运算．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·江西省八所重点中学联考]复数z满足iz＝3＋4i，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2022·全国乙卷(文)，2]设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　)
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
3．[2022·安徽省江南十校一模]已知复数z在复平面内对应的点为(2，1)，z是的共轭复数，则＝(　　)
A．－＋i B．－－i
C．＋i D．－i
4．[2022·全国甲卷(文)，3] 若z＝1＋i.则|iz＋3|＝(　　)
A．4 B．4
C．2 D．2
5．[2022·东北三省三校模拟]复数z＝(其中i为虚数单位)的模为(　　)
A．1 B．
C．2 D．5
6．[2022·江西省九江市模拟]若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．0或1 D．－1或1
7．已知＝b＋2i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a－b＝(　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．1
8．复数z＝2＋5i，i是虚数单位，则z的共轭复数的虚部是(　　)
A．5i B．－5i
C．5 D．－5
9．[2022·陕西省西安中学二模]若复数z＝i2 022＋，则的虚部为(　　)
A．－ B．
C．－i D．i
二、填空题
10．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
11．i是虚数单位，复数＝________．
12．已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
[能力提升]
13．若2－i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则bc＝(　　)
A．10 B．20
C．32 D．－20
14．[2022·陕西省西安中学四模]已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
15．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝________．
16．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．专练56　古典概型、几何概型和条件概率
命题范围：随机事件概率、古典概型、几何概型．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国甲卷(文)，6]从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A．　　B．
C． D．
2．[2022·安徽省皖北协作区联考] 在区间(0，2]上随机取一个数，则使事件“log(3x－2)≥1”发生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现；红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)
A． B．
C． D．
4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A． B．
C． D．
5．[2021·全国甲卷]将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　)
A．0.3 B．0.5
C．0.6 D．0.8
6．设z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)
A．＋ B．－
C．－ D．＋
7．[2022·江西省景德镇市高三质检]英国数学家贝叶斯(1701～1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，(A的对立事件)存在如下关系：P(B)＝P(B∣A)·P(A)＋P(B∣)·P().若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为(　　)
A．0.01 B．0.009 9
C．0.108 9 D．0.1
8．[2021·全国乙卷]在区间(0，)随机取1个数，则取到的数小于的概率为(　　)
A． B．
C． D．
9．[2022·陕西省西安中学四模]某人准备到某接种点接种新冠疫苗加强针，该接种点在前一天已用完全部疫苗，新的疫苗将于当天上午8：00～11：00之间随机送达，若他在9：00～12：00之间随机到达该接种点，则他到达时疫苗已送达的概率是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
10．[2022·全国乙卷(文)，14]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
11．记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.
12．甲、乙两人玩猜数字的游戏，先由甲任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
[能力提升]
13．[2022·江西省赣州一模]已知正方形ABCD的中心为M，从A，B，C，D，M五个点中任取三点，则取到的三点构成直角三角形的概率为(　　)
A. B．
C． D．
14．[2022·江西省临川模拟]《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b，则满足|a－b|＝1的概率为(　　)
A． B．
C． D．
15．[2022·江西省南昌十中月考]设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是(　　)
A． B．
C． D．
16．从集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}中随机取一个点P(x，y)，若xy≥k(k>0)的概率为，则k的最大值是________．专练26　平面向量的数量积及其应用
命题范围：平面向量的数量积及其几何意义、平面向量数量积的应用．
[基础强化]
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，CA＝5，则·＝(　　)
A．15　　　 B．9
C．－15 D．－9
2．已知向量a＝(2，3)，b＝(x，1)，且a⊥b，则实数x的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
3．[2022·全国乙(文)，3] 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
4．[2020·全国卷Ⅱ]已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
5．[2022·江西省九江市模拟]已知单位向量a、b满足|a－2b|＝，则a·b＝(　　)
A．1 B．－1
C． D．－
6．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos 〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则＋的最小值为(　　)
A．4 B．9
D．8 D．10
8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
9．[2022·江西省南昌市月考]已知△OAB，OA＝1，OB＝2，·＝－1，过点O作OD垂直AB于点D，点E满足＝，则·的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
二、填空题
10．[2022·全国甲(文)，13] 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝________．
11．[2022·安徽省江南十校一模]已知向量a＝(t，2)，b＝(－t，1)，满足|a－b|＝|a＋b|，则t＝________．
12．已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos 〈a，b〉＝________．
[能力提升]
13．[2022·北京卷，10] 在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　)
A．[－5，3] B．[－3，5]
C．[－6，4] D．[－4，6]
14．[2022·陕西省西安中学模拟]在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2，点M、N是线段AC上的动点，且|MN|＝2，则·的最小值为(　　)
A．12 B．8
C．6 D．6
15．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
16．[2022·江西省景德镇市质检]已知e1，e2是两个单位向量，设a＝λe1＋μe2，且满足λ＋μ＝4，若|e1－e2|＝|e2－a|＝|a－e1|，则|a|＝________．专练4　函数及其表示
命题范围：函数的概念及其表示、映射、函数的对应法则、函数的定义域、值域．
[基础强化]
一、选择题
1．已知集合A到集合B的映射f：(x，y)→(x＋2y，2x－y)，在映射f下对应集合B中元素(3，1)的A中元素为(　　)
A．(1，3) B．(1，1)
C．(3，1) D．(5，5)
2．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝
3．已知函数f(＋1)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x2＋1(x≥1)
C．f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)
D．f(x)＝x2－2x(x≥1)
4．[2022·江西省赣州市高三(一模)]
设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x取值范围是(　　)
A.[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
5．若函数y＝f(x)的定义域为[1，2 019]，则函数g(x)＝的定义域为(　　)
A．[0，2 018]
B．[0，1)∪(1，2 018]
C．(1，2 018]
D．[－1，1)∪(1，2 018]
6．[2022·葫芦岛一中高三测试]已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝x＋2，则函数f(x)＝(　　)
A．x＋1 B．2x－1
C．－x＋1 D．x＋1或－x－1
7．如图所表示的函数解析式为(　　)
A.y＝|x－1|，0≤x≤2
B．y＝－|x－1|，0≤x≤2
C．y＝－|x－1|，0≤x≤2
D．y＝1－|x－1|，0≤x≤2
8．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)
A．－4 B．－1
C．1 D．4
9．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，2]
C．[－1，2] D．[2，5]
二、填空题
10．[2022·吉林省长春市高三质检]已知f(x)＝，则f(3)的值为________．
11．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.
12．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·吉林省长春市高三质检(三)]已知函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝x，那么f(21)＝(　　)
A．210 B．211
C．220 D．221
14．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　)
A．2 B．
C．1 D．0
15．若f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝______．
16．函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．专练19　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图像及三角函数模型
命题范围：三角函数的解析式、三角函数的图像变换．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·浙江卷，6]为了得到函数y＝2sin 3x的图像，只要把函数y＝2sin 图像上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．把函数y＝cos 2x＋1的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是(　　)
3．将函数y＝sin (2x＋)的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
4．函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则(　　)
A．y＝2sin (2x－)
B．y＝2sin (2x－)
C．y＝2sin (x＋)
D．y＝2sin (x＋)
5．[2022·江西省南昌市月考]将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图像沿x轴向左平移φ(φ>0)个单位后，得到关于y轴对称的图像，则φ的最小值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
6．函数y＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
7．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin (x＋)
B．f(x)＝2sin (x＋)
C．f(x)＝2sin (x＋)
D．f(x)＝2sin (2x＋)
8．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin (2x＋)，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
9．[2022·安徽省高中联考]将函数f(x)＝2sin (2x－)的图像向右平移个单位后所得到的函数记为g(x)，则下列结论中正确的是(　　)
A．g(x)的对称中心为(＋，0)(k∈Z)
B．g(x)＝2sin (2x＋)
C．g(x)在(，)上单调递减
D．g(x)的图像关于x＝对称
二、填空题
10．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图像如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________．
11．[2022·南昌市模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为(1，0)，在y轴右侧的第一个最高点为(3，2)，则f(－1)＝________．
12．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图像，则f()＝________．
[能力提升]
13．[2022·安徽芜湖一中模拟]已知函数
f(x)＝A cos (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的大致图像如图所示，将函数f(x)的图像上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A．[－＋3kπ，3kπ](k∈Z)
B．[3kπ，3kπ＋](k∈Z)
C．[－＋3kπ，－＋3kπ](k∈Z)
D．[－＋3kπ，＋3kπ](k∈Z)
14．[ 2022·陕西省西安中学模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图像如图所示，现将f(x)的图像向左平移个单位长度得到y＝g(x)的图像，则方程2g(x)＝在[0，2π]上实数解的个数为(　　)
A．5　　　B．6　　　C．7　　　D．8
15．[2022·西南大学附中模拟]水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)(t≥0，ω>0，|φ|<)，则下列叙述正确的是(　　)
A．水斗作周期运动的初相为－
B．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
16．将函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2有|x1－x2|min＝，则φ＝________．专练53　随机抽样
命题范围：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
[基础强化]
一、选择题
1．某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为(　　)
A．①系统抽样，②分层抽样
B．①分层抽样，②系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样
D．①分层抽样，②简单随机抽样
2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则(　　)
A．P1＝P2C．P1＝P33．[2022·江西省赣州市高三摸底]某学校为了更好落实“五育”管理，对高一年级1 890名新生的体质情况进行调查，现将这些新生编号成1，2，3，4，…，1 890，再采用系统抽样的方法从这些新生中抽取210名学生进行体质测验．若43号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　　)
A．15号学生 B．72号学生
C．1 214号学生 D．1 267号学生
4．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9
14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
15 0 1 2 2 3 3 3
若将运动员按成绩由好到差编为1～35，再用系统抽样方法从中抽取7人，则成绩在区间[139，151]上的运动员的人数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
5．[2022·江西省赣州市高三期末]某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行001，002，…，599，600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是(　　)
33 21 18 34 29　78 64 56 07 32　52 42 06 44 38　12 23 43 56 77　
35 78 90 56 42
84 42 12 53 31　34 57 86 07 36　25 30 07 32 86　23 45 78 89 07　
23 68 96 08 04
32 56 78 08 43　67 89 53 55 77　34 89 94 83 75　22 53 55 78 32　
45 77 89 23 45
A.457 B．328
C．253 D．072
6．[2022·河南省高三调研] 中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球．某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为(　　)
A．23 B．92
C．128 D．180
7．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　　)
A.8号学生 B．200号学生
C．616号学生 D．815号学生
8．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取(　　)
A．18人 B．16人
C．14人 D．12人
9．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为一，二，三，…，十．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第七组中抽取的号码是(　　)
A．63 B．64
C．65 D．66
二、填空题
10．[2022·山西省高三模拟] 某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组，并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计，结果如下表：
书法组 舞蹈组 乐器组
高一 x 20 30
高二 45 30 10
已知按兴趣小组类别用分层抽样的方法，从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人，其中书法组被抽取12人，则x＝________．
11．某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
12．某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为6，则在第6组中抽取的号码为________．
[能力提升]
13．从2 007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2 007名学生中剔除7名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率(　　)
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等，且为
D.都相等，且为
14．我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役300人，则北乡遣(　　)
A.104人 B．108人
C.112人 D．120人
15．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
16．为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z，依次构成等差数列，且4，y，z＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为________．专练54　统计图表、用样本估计总体
命题范围：频率分布直方图、茎叶图、众数、中位数、平均数、方差、标准差．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国甲卷(理)，2]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则(　　)
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
2．[2022·全国乙卷(文)，4]分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是(　　)
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
3．[2022·河南省郑州市高三预测]在成都市“高三第一次诊断性”考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课．假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是(　　)
A.平均分变大，方差不变
B.平均分变小，方差不变
C.平均分不变，方差变大
D.平均分不变，方差变小
4．[2022·安徽省蚌埠市高三质检] 2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中错误的是(　　)
A.2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B.2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比低于交通通信占比
C.2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
D.2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%
5．[2022·吉林省长春市高三质监]某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评．工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个地点进行现场测评，下表是两个街道的测评分数(满分100分)，则下列说法正确的是(　　)
甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98
乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99
A.甲、乙两个街道的测评分数的极差相等
B.甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等
C.街道乙的测评分数的众数为87
D.甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大
6．[2022·陕西省高三二模]某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将所得数据分成6组：[90，91)，[91，92)，[92，93)，[93，94)，[94，95)，[95，96]，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是(　　)
A.b＝0.25
B.长度落在区间[93，94)内的个数为35
C.长度的中位数一定落在区间[93，94)内
D.长度的众数一定落在区间[93，94)内
二、填空题
7．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
8．已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值＝________．
甲组 乙组
7 2 n
9 m 3 2 4 8
[能力提升]
9．[2022·湖北模拟]某企业2021年12个月的收入与支出数据的折线图如图，
已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法不正确的是(　　)
A．该企业2021年1月至6月的总利润低于2021年7月至12月的总利润
B．该企业2021年1月至6月的平均收入低于2021年7月至12月的平均收入
C．该企业2021年8月至12月的支出持续增长
D.该企业2021年11月份的月利润最大
10．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是(　　)
1 2　5
2 0　2　3　3
3 1　2　4　4　8　9
4 5　5　5　7　7　8　8　9
5 0　0　1　1　4　7　9
6 1　7　8
A.46，45，56　　　　　　B．46，45，53
C．47，45，56 D．45，47，53
11．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2＝(x＋x＋x－12)，则数据x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均数为________．
12．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________．专练3　命题及其关系、充分条件与必要条件
命题范围：命题及真假判断、四种命题及其关系、充分条件、必要条件、充要条件．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·陕西省西安中学高三(四模)]“a＞b＞0”是“＞1”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．原命题：设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
3．[2021·全国乙卷]已知命题p： x∈R，sin x＜1；命题q： x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q B．( p)∧q
C．p∧( q) D． (p∨q)
4．若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是(　　)
A. p是q的必要不充分条件
B． q是p的必要不充分条件
C． p是 q的必要不充分条件
D． q是 p的必要不充分条件
5．[2022·陕西省高三模拟]在空间中，已知命题p：△ABC的三个顶点到平面α的距离相等且不为零，命题q：平面α∥ 平面ABC，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．[2022·安徽省江南十校高三一模]“0＜λ＜4”是“双曲线－＝1的焦点在x轴上”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．[2022·江西省高三模拟]x，y∈R，则“x2＋y2≤1”是“x＋y＋2＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知A，B，C为不共线的三点，则“|＋|＝|－|”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
10．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，1)，则“m＝1”是a∥b的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
11．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg (x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
12．已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，则m的取值范围为________.
[能力提升]
13．[2022·江西省南昌市高三月考]条件p：x≠2或y≠3，条件q：x＋y≠5，p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．[2022·北京卷，6]设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
15．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4　 ②p1∧p2
③( p2)∨p3 ④( p3)∨( p4)
16．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若 p是 q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．专练44　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
命题范围：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和一般式．
[基础强化]
一、选择题
1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k为(　　)
A． B．
C．－ D．－
2．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A． B．
C．π D．π
3．已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
4．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．[2022·宿州模拟]若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A.k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
6．经过点P(1，2)且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程为(　　)
A．2x－y＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0或2x－y＝0
D．x＋y－3＝0或2x－y＝0
7．[2022·沈阳模拟]直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
8．直线x sin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，π) B．∪
C． D．∪(，π)
9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A．
B．∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D．[1，2]
二、填空题
10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．
11．曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．
12．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率为1，则m＝________．
[能力提升]
13．[2022·长沙调研]设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)
A． B．[－1，0]
C．[0，1] D．
14．[2022·衡水模拟]1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　　)
A．0° B．1°
C．2° D．3°
15．曲线y＝x3－x＋5在各点处的切线的倾斜角的取值范围是________．
16．若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为________.专练17　同角三角函数的基本关系及诱导公式
命题范围：同角三角函数的基本关系式及诱导公式．
　　　　　　　　　　　　　　　　[基础强化]
一、选择题
1．tan 255°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
2．cos ＋cos π＋cos π＋cos π的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．若α∈(，)，tan (α－7π)＝，则sin α＋cos α＝(　　)
A．± B．－
C． D．－
4．已知2sin α－cos α＝0，则sin2α－2sinαcos α的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
5．若tan θ＝－2，则等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
6．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3，4)，则sin (α－)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
8．[2022·江西省八校联考]魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4cos 38°，则的值为(　　)
A． B．－
C．8 D．－8
9．已知x∈(0，π)，且cos(2x－)＝sin2x，则tan(x－)＝(　　)
A． B．－
C．3 D．－3
二、填空题
10．[2022·安徽省蚌埠市高三质检]已知角θ的终边过点A(4，a)，且sin (θ－π)＝，则tan θ＝________．
11．[2022·河南省六市联考]设α为锐角，若cos (α＋)＝，则sin (2α＋)的值为________．
12．[2022·陕西省西安中学高三三模]已知sin 2α＝，且＜α＜，则cos α－sin α＝________．
[能力提升]
13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
14．[2022·江西省临川高三模拟]已知cos (θ－)＝，则sin (2θ＋)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
15．已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)＝1，则sin β的值为________．
16．设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是________(填写序号).
①cos (A＋B)＝cos C；
②cos ＝sin ；
③sin (2A＋B＋C)＝－sin A．专练36　合情推理与演绎推理
命题范围：合情推理(归纳和类比)、演绎推理．
[基础强化]
一、选择题
1．下面几种推理是演绎推理的是(　　)
A．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)由此归纳数列{an}的通项公式
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
D．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
2．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理(　　)
A．大前提错误　　 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76 C．123 D．199
4．[2022·全国乙卷(理)，4]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1，2，…).则(　　)
A．b1C．b65．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)
A． B． C． D．
6．[2022·陕西省西安中学四模]第24届冬季奥林匹克运动会， 于2022年2月4日～2月20日在北京和张家口联合举行．为了更好地安排志愿者工作，现需要了解每个志愿者掌握的外语情况，已知志愿者小明只会德、法、日、英四门外语中的一门．甲说，小明不会法语，也不会日语；乙说，小明会英语或法语；丙说，小明会德语．已知三人中只有一人说对了，由此可推断小明掌握的外语是(　　)
A．德语 B．法语
C．日语 D．英语
7．完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是(　　)
多面体 顶点数V 面数F 棱数E 各面内角和的总和
三棱锥 4 6
四棱锥 5 5
五棱锥 6
(说明：上述表格内，顶点数V指多面体的顶点数)
A．2(V－2)π B．(F－2)π
C．(E－2)π D．(V＋F－4)π
8．[2022·东北三省三校联考]下列说法错误的是(　　)
A．由函数y＝x＋x－1的性质猜想函数y＝x－x－1的性质是类比推理
B．由ln 1≤0，ln 2＜1，ln 3＜2…猜想ln n≤n－1(n∈N*)是归纳推理
C．由锐角x满足sin x＜x及0＜＜，推出sin ＜是合情推理
D．“因为cos (－x)＝cos x恒成立，所以函数y＝cos x是偶函数”是省略大前提的三段论
9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
二、填空题
10．[2022·安徽芜湖一中三模]一道单选题，现有甲、乙、丙、丁四位学生分别选择了A，B，C，D选项．他们的自述如下，甲：”我没选对”；乙：“甲选对了”；丙：“我没选对”；丁：“乙选对了”．其中有且仅有一位同学说了真话，则选对正确答案的同学是________．
11．[2022·重庆南开中学模拟]给定正整数n(n≥5)，按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n行只有一项，记第i行第j项为aij，如图所示．现给定n＝2 022，若ai4＞2 022，则i的最小值为________．
12．[2022·江西赣州二模]“n×n蛇形数阵”是指将从1开始到n2(n∈N*)的若干个连续的自然数按顺序顺时针排列在正方形数阵中，如图分别是3×3与4×4的蛇形数阵，在一个11×11的蛇形数阵，则该数阵的第6行第5列的数为________．
　　
1　 2　 3　 4
12　13　14　5
11　16　15　6
10　9　 8　7
[能力提升]
13．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R等于(　　)
A． B．
C． D．
14．[2020·全国卷Ⅱ]如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12，设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
15．[2022·安徽淮南二模]像，，等这样分子为1的分数在算术上称为“单位分数”，数学史上常称为“埃及分数”.1202年意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘术》中提到，任何真分数均可表示为有限个埃及分数之和，如＝＋＋.该结论直到1880年才被英国数学家薛尔维斯特严格证明，实际上，任何真分数(a＜b，a∈N*，b∈N*)总可表示成＝＋①，这里x＝[]，即不超过的最大整数，反复利用①式即可将化为若干个“埃及分数”之和．请利用上面的方法将表示成3个互不相等的“埃及分数”之和，则＝________．
16．[2022·河南开封三模]在第24届北京冬奥会开幕式上， 一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图中的三角形的周长为1，则第4个图形的周长为________．专练38　空间几何体的结构及其三视图和直观图
命题范围：柱体、锥体、台体、球体的结构及其简单几何体的三视图和直观图．
[基础强化]
一、选择题
1．以下命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　 B．1 C．2 D．3
2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
3．已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
4．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A－BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(　　)
A. B． C． D．
5．三视图如图所示的几何体是(　　)
A.三棱锥 B．四棱锥
C．四棱台 D．三棱台
6.
[2021·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是(　　)
7.
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的棱长度之和为(　　)
A．6 B．4
C．2＋2 D．2＋2
9．
[2020·全国卷Ⅰ]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
10．一个圆台上、下底面的半径分别为3和8，若两底面圆心的连线长为12，则这个圆台的母线长为________．
11．[2021·全国乙卷]以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为__________(写出符合要求的一组答案即可).
12．[2022·上海二模]如图1，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q－BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为________．
[能力提升]
13．[2022·江西省临川第一中学模拟]如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有侧棱中，最长的侧棱长为(　　)
A．2 B．
C．2 D．3
14．[2022·陕西宝鸡二模]如图，在正三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，
PA＝PB＝PC＝4，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是________．
15．[2022·江西省景德镇质检]如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有侧面中，面积的最大值为________．
16．[2022·重庆一中高三月考]传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球， 这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现．如图，在底面半径为2的圆柱O1O2内有球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，设A，B分别为圆柱O1O2的上、下底面圆周上一点，且O1A与O2B所成的角为90°，直线AB与球O的球面交于两点M，N，则线段MN的长度为________．专练39　空间几何体的表面积和体积
命题范围：空间几何体的表面积与体积．
[基础强化]
一、选择题
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π　　　　　　　 B．12π
C．8π D．10π
2．[2022·全国甲(文)，4] 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为(　　)
A．8 B．12
C．16 D．20
3.
已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为(　　)
A．1－
B．3＋
C．2＋
D．4
4．[2020·全国卷Ⅱ]已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　)
A． B．
C．1 D．
5．[2022·江西省南昌市模拟]圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为(　　)
A． cm B．15 cm
C．10 cm D．20 cm
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)
A．＋2π B．＋π
C．4＋2π D．4＋π
7．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是(　　)
A．158 B．162
C．182 D．324
8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是(　　)
A.4 B．8
C．4 D．8
9．[2022·全国甲(文)，10] 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　)
A． B．2
C． D．
二、填空题
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________，体积是________．
11．[2021·全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
12．[2022·安徽省皖北区联考]在三棱锥P－ABC中，侧棱PA＝PB＝PC＝，∠BAC＝，BC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为________．
[能力提升]
13．[2022·全国乙(文)，12] 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A． B．
C． D．
14．[2022·江西省赣州市一模]在半径为2的球O的表面上有A，B，C三点，AB＝2.若平面OAB⊥平面ABC，则三棱锥O－ABC体积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
15．[2022·江西省临川模拟]将一个边长为4的正三角形以其中一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为________．
16．[2022·安徽省江南十校一模]半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为V1的二十四等边体，其外接球体积为V2，则＝________．专练11　函数与方程
命题范围：方程的根与函数的零点问题．
[基础强化]
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－
C．和 D．－和－
2．方程log4x＋x＝7的根所在区间是(　　)
A．(1，2) B．(3，4)
C．(5，6) D．(6，7)
3．[2022·山东莱芜高三测试]函数f(x)＝的所有零点之和为(　　)
A．7 B．5
C．4 D．3
4．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点
B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点
C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
5．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点位于(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
6．[2022·衡阳八中高三测试]方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
7．函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
8．[2022·山西康杰中学高三测试]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1，3} B．{－3, －1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
9．已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足(　　)
A．k≤2 B．－1C．－2≤k<－1 D．k≤－2
二、填空题
10．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
11．设函数f(x)＝若f(x0)＝1，则x0＝________.
12．已知偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·山西省高三模拟]设函数f(x)＝，若f(x)＝a有四个实数根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则＋的取值范围是(　　)
A.(，) B．(4，)
C．(3，) D．(3，＋∞)
14．[2021·全国乙卷]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　)
A．a＜b B．a＞b
C．ab＜a2 D．ab＞a2
15．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知f(x)＝(x＞1)，若α，β分别是方程f(x)＝ex，f(x)＝ln x的根，则下列说法：①α＋β＞4；②e＜αβ＜2e2；③α＋β＝αβ，其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
16．已知λ∈R，函数f(x)＝
当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．专练37　证明
命题范围：证明方法：分析法、综合法、反证法．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·大庆联考]用反证法证明命题：“若a2＋b2＋c2＋d2＝0，则a，b，c，d都为0”．下列假设中正确的是(　　)
A．假设a，b，c，d都不为0
B．假设a，b，c，d至多有一个为0
C．假设a，b，c，d不都为0
D．假设a，b，c，d至少有两个为0
2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
证明过程如下：
∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
又∵a，b，c不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac).
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
此证法是(　　)
A．分析法 　
B．综合法
C．分析法与综合法并用 　
D．反证法
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是(　　)
A．①—分析法，②—综合法
B．①—综合法，②—分析法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
5．设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b，a③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中正确判断的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在△ABC中，sin A sin CA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
7．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是(　　)
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
9．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
二、填空题
10．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是____________．
11．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时应假设__________________．
12．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是______________．
[能力提升]
13．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
14．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为(　　)
A．a，b都能被5整除
B．a，b不都能被5整除
C．a，b至少有一个能被5整除
D．a，b至多有一个能被5整除
15．设a，b∈R，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；
④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
16．设a，b是互不相等的正数，给出下列不等式：
①(a＋3)2>2a2＋6a＋11；
②a2＋≥a＋；
③|a－b|＋≥2.
其中恒成立的是________．专练1　集合及其运算
命题范围：集合的概念、元素与集合之间的关系、集合的基本关系、集合的基本运算．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国乙卷(文)，1]集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|－1A．{2，4} B．{2，4，6}
C．{2，4，6，8} D．{2，4，6，8，10}
2．[2022·贵州省高三适应性测试]设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C＝(　　)
A．{2} B．{2，3}
C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}
3．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知集合A＝{x∈N|1≤x≤3}，B＝{x|x2－6x＋5＜0}，则A∩B＝(　　)
A． B．{1，2，3}
C．(1，3] D．{2，3}
4．[2022·江西省南昌市高三下学期月考]已知集合A＝{x|1≤x≤27}，B＝{x|log2(x＋1)＜3}，则A∩( RB)＝(　　)
A．[1，7) B．[7，27]
C．[－1，1] D．(7，27]
5．[2021·全国乙卷]已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则 U(M∪N)＝(　　)
A．{5} B．{1，2}
C．{3，4} D．{1，2，3，4}
6．[2022·河南省郑州市高三质检]已知A，B均为R的子集，且A∩( RB)＝A，则下面选项中一定成立的是(　　)
A．B A B．A∪B＝R
C．A∩B＝ D．A＝ RB
7．[2022·四川省成都市高三诊断]设集合A＝{x∈N*|x＜3}，若集合B满足A∪B＝{1，2，3}，则满足条件的集合B的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．[2022·江西省九江市高三模拟]已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|x＞1}，则如图所示的阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|x＞－1} B．{x|－1＜x≤1}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
9．[2022·四川省成都市高三模拟]已知集合A＝{x|log2x＜1}，集合B＝{y|y＝}，则A∩B＝(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(0，2) D．[0，＋∞)
二、填空题
10．已知U＝{1，2，a2－2a－3}，A＝{|a－2|，2}， UA＝{0}，则a的值为________．
11．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}.若B A，则实数a＝________．
12．若集合A＝{x|(k＋2)x2＋2kx＋1＝0}有且仅有2个子集，则实数k的值为________.
[能力提升]
13．[2022·陕西省西安中学高三模拟]已知集合A＝{x∈Z|－3≤x＜4}，B＝{x|log2(x＋2)＜2}，则A∩B的元素个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
14．[2022·陕西省西安中学高三下学期二模]已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x＞0}，则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|x≤1或x＞2}
B．{x|x＜0或1＜x＜2}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|1＜x≤2}
15．[2022·江苏省南通市高三大联考]设集合A＝，B＝{－2，－1，1，2}，则( RA)∩B＝(　　)
A．{－1，1} B．{－2，－1}
C．{－2，－1，1} D．{－2，－1，1，2}
16．[2022·江西省临川高三模拟]已知集合
A＝，
B＝{x}，
则A∩B＝(　　)
A．{－2，－1} B．{－2，－1，1}
C．{1，2} D．{－1，1，2}专练22　正弦定理和余弦定理、解三角形
命题范围：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．
[基础强化]
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝(　　)
A． B．π
C． D．或π
2．[2021·全国甲卷]在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
3．[2022·安徽省江南十校一模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若(2b－c)·cos A＝a cos C，则角A的大小为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A． B．1 C． D．2
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝，则b＝(　　)
A．14 B．6
C． D．
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
7．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A．5 B．
C．2 D．1
8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
9．[2022·陕西省西安中学模拟]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2＋c2－a2＝bc，b cos C＋c cos B＝2，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
二、填空题
10．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝____________.
11．[2022·安徽舒城中学模拟]托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
12．[2022·陕西省西安中学二模]△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝________．
[能力提升]
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
14．[2022·四川省成都石室中学模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C＋a sin C－b－c＝0.若△ABC的面积为3，则b＋c的最小值为________．
15．[2022·全国甲卷(文)，16]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________．
16．[2022·江西省临川第一中学模拟]已知在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝13，CD＝AD，且cos B＝，∠BAD＝2∠BCD.则AD＝________．专练51　高考大题专练(五)　圆锥曲线的综合运用
1．[2022·全国甲卷(文)，21] 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
2．[2021·全国甲卷]抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点， 且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
3．[2021·全国乙卷]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．
4．[2022·全国乙卷(文)，21]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B(，－1)两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点．
5．[2022·江西省宜春市高三模拟]已知点T是圆A：(x－1)2＋y2－8＝0上的动点，点B(－1，0)，线段BT的垂直平分线交线段AT于点S，记点S的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过B(－1，0)作曲线C的两条弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若·＝0，求△BPQ面积的最大值．专练45　两条直线的位置关系及距离公式
命题范围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离．
[基础强化]
一、选择题
1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
2．[2022·江西省南昌市二模]已知直线2x－y＋1＝0与直线x＋my＋2＝0垂直，则m＝(　　)
A．－2 B．－
C．2 D．
3．[2022·陕西省西安中学二模]已知直线l1：2x＋ay＋2＝0与直线l2：(a－1)x＋3y＋2＝0平行，则a＝(　　)
A．3 B．－2
C．－2或3 D．5
4．当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．过点P(2，1)且与原点O距离最远的直线方程为(　　)
A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0
7．[2022·洛阳模拟]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
8．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(　　)
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
9．直线l经过点M(2，1)，若点P(4，2)和Q(0，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　)
A．3x－2y－4＝0
B．x＝2或3x－2y－4＝0
C．x＝2或x－2y＝0
D．x＝2或3x－2y－8＝0
二、填空题
10．若曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则A到直线x＋y－3＝0的距离为________.
11．[2022·陕西省西安中学四模]直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直，则实数m＝________．
12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．
[能力提升]
13．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．2
14．当点P(3，2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为(　　)
A． B．0
C．－1 D．1
15．[2022·苏州模拟]已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是(　　)
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
16．[2022·武汉调研]台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tan α的值为(　　)
A．或 B．或1
C．或 D．1或专练32　高考大题专练(三)　数列的综合运用
1．[2021·全国乙卷]设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<.
2．[2022·全国甲(文)，18]记Sn为数列的前n项和．已知＋n＝2an＋1.
(1)证明：是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
3．[2022·新高考Ⅰ卷，17] 记Sn为数列的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
4.[2021·全国甲卷]记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列．
5．[2022·云南省高三联考(二)]已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a＋2an－8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{(－1)n(Sn－3n)}的前n项和Tn.专练7　二次函数与幂函数
命题范围：二次函数、幂函数的解析式、图像与性质．
[基础强化]
一、选择题
1．若幂函数y＝f(x)的图像过点(5，)，则f(21－log23)为(　　)
A． B．
C． D．－1
2．幂函数y＝f(x)的图像经过点(3，)，则f(x)是(　　)
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
3．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　)
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2 D．m≠
4．如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a满足的条件是(　　)
A．a≥8 B．a≤8
C．a≥4 D．a≥－4
5．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)
A．f(0)B．f(0)C．f(2)D．f(－2)6．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3).若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
7．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
8．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－)
B．(－，0)
C．(－∞，0)∪(，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
二、填空题
10．已知a∈{－2，－1，－，，1，2，3}，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________．
11．已知幂函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈N*)满足f(2)12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________．
[能力提升]
13．对于任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(　　)
A．{x|13}
C．{x|12}
14．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；
②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；
④5a其中正确的是(　　)
A．②④ B．①④
C．②③ D．①③
15．[2022·北京卷，14]设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为________．
16．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围是________．专练15　高考大题专练(一)　导数的应用
命题范围：导数的应用、导数的几何意义．
1．[2021·全国乙卷]已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．
2．[2021·全国甲卷]设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
3．[2022·全国甲卷(文)，20]已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．
(1)若x1＝－1，求a；
(2)求a的取值范围．
4．[2022·全国乙卷(文)，20]已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
5．[2022·山西省太原市高三模拟]已知函数f(x)＝(x－a)2e.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若方程f(x)－4e＝0有三个零点，求a的取值范围．专练28　数列的概念与简单表示法
命题范围：数列的概念、数列的通项公式、数列的单调性、递推数列．
[基础强化]
一、选择题
1．若数列的前4项分别为，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8＝(　　)
A．15 B．16
C．49 D．64
3．已知数列，，，，3，…，那么7是这个数列的第(　　)
A．23项 B．25项
C．19项 D．24项
4．已知an＝，那么数列{an}是(　　)
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
5．在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第(　　)
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
6．[2022·潍坊一模]已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝(　　)
A．27　　　B．28 C．29　　　D．30
7．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn.若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，6) B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，3]
8．[2022·安徽省蚌埠市质检] 若数列{an}满足：a1＝1，且an＋1＝，则a5＝(　　)
A．7 B．10
C．19 D．22
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1，(n∈N*)，则S5＝(　　)
A．31 B．42
C．37 D．47
二、填空题
10.，，，，…的一个通项公式是________．
11．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．
12．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
[能力提升]
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋)，则an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
14．已知数列{an}满足
an＝若对任意的n∈N*都有an＜an＋1成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，4) B．(2，5)
C．(1，6) D．(4，6)
15．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为________．
16．[2022·北京质检]已知数列{an}满足21·a1＋22·a2＋23·a3＋…＋2n·an＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．专练5　函数的单调性与最值
命题范围：函数的单调性、最值．
[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝ln x D．y＝2－x
2．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)
A．(－∞，0) B．
C．[0，＋∞) D．(，＋∞)
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(0，1]
C．(0，1)
D．(0，1]
5．[2021·全国甲卷]下列函数中是增函数的为(　　)
A．f(x)＝－x B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
6．已知函数f(x)＝2|x|，a＝f(log0.53)，b＝f(log45)，c＝f(cos )，则(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>a>b
7．[2020·全国卷Ⅱ]若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A．ln (y－x＋1)>0 B．ln (y－x＋1)<0
C．ln |x－y|>0 D．ln |x－y|<0
8．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
9．[2022·河南省六市高三联考]函数f(x)是定义在R上的单调函数，f(f(x)－x＋1)＝1，则f(3)＝(　　)
A．9 B．8
C．3 D．1
二、填空题
10．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
11．已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数f(x)的单调递增区间是________．
12．已知函数f(x)＝，x∈[2，5]，则f(x)的最大值是________．
[能力提升]
13．[2022·河南省郑州市高三质量预测]若函数f(x)＝是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞，1]∪{2} B．{1}∪[2，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
14．[2022·安徽省高三联考]已知函数f(x)＝log2(2x＋1)－x，若f(a－2)≥f(2a－1)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1]
C．[0，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
15．函数f(x)＝()x－log2(x＋2)在[－1，1]上的最大值为________．
16．f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．专练10　函数的图像
命题范围：简单函数图像及其应用．
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·全国甲卷(文)，7]函数y＝cos x在区间的图像大致为(　　)
2．为了得到函数y＝log2的图像，可将函数y＝log2x图像上所有点的(　　)
A．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位
3．[2022·安徽省滁州市高三第二次质检]函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
4．[2022·河南省郑州市高三质量预测]函数f(x)＝的部分图像大致是(　　)
5．[2022·江西省九江市第二次高考模拟]已知函数y＝f(x)的部分图像如图所示，则y＝f(x)的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
6．对于函数f(x)＝的图像及性质的下列表述，正确的是(　　)
A．图像上点的纵坐标不可能为1
B．图像关于点(1，1)成中心对称
C．图像与x轴无交点
D．图像与垂直于x轴的直线可能有两个交点
7．已知图①中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图像对应的函数为(　　)
A.y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)
C．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)
8．[2022·全国乙卷(文)，8]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图像，则该函数是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
9．[2022·山西晋中一中高三测试]函数y＝的图像与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图像的所有交点的横坐标之和等于(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
二、填空题
10．[2021·安徽师大附中高三测试]若函数y＝f(x)的图像经过点(2，3)，则函数y＝f(－x)＋1的图像必定经过的点的坐标为________．
11．函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图像如图所示，那么不等式<0的解集为________．
12．已知函数y＝的图像与函数y＝kx－2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·湖北武汉示范高中联考]如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图像的形状大致是(　　)
14．[2022·安徽省高三下学期一模]函数f(x)＝|x＋1|＋ax的图像不可能是(　　)
15．[2022·江西省南昌市高三模拟]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a＜0，b＜0)，则函数f(x)的图像可能是(　　)
16．已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.专练50　抛物线
命题范围：抛物线的定义、标准方程与简单的几何性质．
[基础强化]
一、选择题
1．抛物线y＝x2的焦点到其准线的距离为(　　)
A．1 B．2
C． D．
2．[2020·全国卷Ⅲ]设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A．(，0) B．(，0)
C．(1，0) D．(2，0)
3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为(　　)
A．抛物线 B．直线
C．线段 D．射线
4．[2022·江西省赣州市高三摸底]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，以F为圆心，半径为的圆与l交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．2
C．2 D．4
5．[2022·全国乙卷(文)，6] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)
A．2 B．2
C．3 D．3
6．AB是抛物线x2＝y的焦点弦，且|AB|＝4，则AB的中点到x轴的距离为(　　)
A．2 B．
C． D．
7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
8．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·等于(　　)
A． B．－
C．3 D．－3
9．[2022·江西省景德镇高三质检]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且|AB|＝.若＝t(其中t>1)，则t的值为(　　)
A． B．
C．2 D．3
二、填空题
10．[2022·河南省六市高三调研]抛物线y＝ax2经过点M(2，1)，则M到焦点F的距离为________．
11．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|PQ|＝________.
12．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
[能力提升]
13．[2022·四川省成都高三模拟]设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2x上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)
A.1 B．
C． D．
14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为(　　)
A．＋ B．9＋
C．9＋ D．＋
15．[2022·江西省赣州市高三期末]抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A，B，C在E上，O是坐标原点，若点F为△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3.则S＋S＋S＝________．
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在x轴上方)，则＝________.专练9　对数与对数函数
命题范围：对数的意义与运算；对数函数的定义、图像与性质．
[基础强化]
一、选择题
1．lg ＋2lg 2－()－1＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．[1，＋∞) B．(，＋∞)
C． D．(，1]
3．函数f(x)＝log(x2－2x)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，0) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，1)
4．若函数f(x)＝(m－2)xa是幂函数，则函数g(x)＝loga(x＋m)(a>0且a≠1)的图像过点(　　)
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(－3，0) D．(3，0)
5．函数f(x)＝lg (x＋1)＋lg (x－1)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
6．[2022·江西省八校联考]设a＝log0.222 022，b＝sin (sin 2 022)，c＝2 0220.22，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
7．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，2)单调递减
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图像关于点(1，0)对称
8．[2022·益阳一中高三测试]若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　)
9．[2022·江西省九江市第二次高考模拟]牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T－Tc＝()(T0－Tc)，其中Tc是环境温度，h为常数．现有一个105 ℃的物体，放在室温15 ℃的环境中，该物体温度降至75 ℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30 ℃，则m的值约为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)
A．2.9 B．3.4
C．3.9 D．4.4
二、填空题
10．已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________．
11．函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．
12．函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为________．
[能力提升]
13．[2022·广西桂林、崇左、贺州、河池、来宾市联考]已知x＝ln ，y＝log52，z＝e－，则(　　)
A．x＜y＜z B．x＜z＜y
C．z＜y＜x D．y＜z＜x
14．[2021·全国甲卷]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
15．[2022·江西省南昌市高三模拟]纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展．许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造如下一个双数列模型的方法处理大数运算．
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024
11 12 … 19 20 21 22 23 24 25 …
2 048 4 096 … 524 288 1 048 576 2 097 152 4 194 304 8 388 608 16 777 216 33 554 432 …
如512×1 024，我们发现512是9个2相乘，1 024是10个2相乘．这两者的积，其实就是2的个数做一个加法．所以只需要计算9＋10＝19.那么接下来找到19对应的数524 288，这就是结果了．若x＝log4(20 211 226×1 314 520)，则x落在区间(　　)
A．(15，16) B．(22，23)
C．(42，44) D．(44，46)
16．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝ax＋m－3的图像不经过第一象限，则m的取值范围为________．专练55　变量的相关关系、统计案例
命题范围：散点图、变量的相关关系、回归直线方程、独立性检验及其应用．
[基础强化]
一、选择题
1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断(　　)
A.变量x与y线性相关，u与v非线性相关
B．变量x与y线性相关，u与v不相关
C．变量x与y线性相关，u与v线性相关
D．变量x与y不相关，u与v不相关
2．[2022·江西省南昌市模拟]根据分类变量x与y的观察数据，计算得到K2＝2.974，依据下表给出的K2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是(　　)
P(K2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有95%的把握认为变量x与y独立
B．有95%的把握认为变量x与y不独立
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
3．[2022·宝鸡模拟]蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程＝0.25x＋k，则下列说法不正确的是(　　)
x(次数/分钟) 20 30 40 50 60
y(℃) 25 27.5 29 32.5 36
A.k的值是20
B．变量x，y呈正相关关系
C．若x的值增加1，则y的值约增加0.25
D．当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预测值为33.5 ℃
4．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.1
根据以上样本数据，她建立的身高y(cm)与年龄x(周岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.96，给出下列结论：
①y与x具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心(42，117.1)；
③儿子10岁时的身高是145.86 cm；
④儿子年龄增加1周岁，身高约增加7.19 cm.
其中，正确结论的个数是(　　)
A．1　　B．2
C．3 D．4
5．某大学舞蹈社团为了解新生对街舞的喜欢是否与性别有关，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢街舞 不喜欢街舞 总计
男生 184 26 210
女生 200 50 250
总计 384 76 460
根据表中数据，求得K2的观测值k0＝≈4.804，则至少有______%的把握认为对街舞的喜欢与性别有关．(　　)
参考数据：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．90 B．95
C．97.5 D．99
6．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为＝0.8x－155，后因某未知原因使第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m(如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m的值为(　　)
x 196 197 200 203 204
y 1 3 6 7 m
A．8.3 B．8.2
C．8.1 D．8
二、填空题
7.
如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘法估计公式计算，y与x之间的线性回归方程为＝x＋1，则＝________．
8．为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K2≈3.918.经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：
①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%.
其中所有正确结论的序号是________．
9．为了解适龄公务员对放开生育三胎政策的态度，某部门随机调查了200位30～40岁之间的公务员，得到的情况如下表：
男公务员 女公务员
生三胎 80 40
不生三胎 40 40
则________(填“有”或“没有”)99%以上的把握认为“生三胎与性别有关”．
附：K2＝
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[能力提升]
10．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭年支出为(　　)
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
11．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男 45 10
女 30 15
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025
k 2.706 3.841 5.024
附：K2＝
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
12．[2022·青岛模拟]某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过________．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d；
P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.001
k0 3.841 5.024 6.635 10.828
13.某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：
产品数x个 10 20 30 40 50
产品总成本(元) 62 a 75 81 89
由最小二乘法得到回归方程＝0.67x＋54.9，则a＝________.专练57　高考大题专练(六)　概率与统计的综合运用
1．[2022·江西省重点中学联考]某蛋糕店计划按日生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完，该蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量(单位：个)，整理得表：
日需求量n 28 29 30 31 32 33
频数 3 4 6 6 7 4
(1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，以记录了30天的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求当天的利润不少于60元的概率；
(2)该蛋糕店想提高该面包的销售利润，员工甲和乙分别提出两种方案．甲的方案：保持一天生产30个这种面包；乙的方案：加大产量一天生产31个这种面包．根据以上30天日需求量的日平均利润来决策哪一种方案收益更好．
2．[2022·全国甲卷(文)，17]甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2＝，
P 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
3．[2021·全国乙卷]某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s和s.
(1)求x，y, s，s；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y－x≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).
4.[2022·江西省南昌市二模]国际上常用体重指数作为判断胖瘦指标，体重指数是体重(单位：千克)与身高(单位：米)的平方的比值．高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：
档次 低体重 正常 超重 肥胖
体重指数x(单位：kg/m2) x<17.3 17.3≤x<23.9 23.9≤x<27.2 x≥27.2
学生得分 80 100 80 60
抽查了某校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：
16.3 16.9 17.1 17.5 18.2 18.5 19.0 19.3 19.5 19.8
20.2 20.2 20.5 20.8 21.2 21.4 21.5 21.9 22.3 22.5
22.8 22.9 23.0 23.3 23.3 23.5 23.6 23.8 24.0 24.1
24.1 24.3 24.5 24.6 24.8 24.9 25.2 25.3 25.5 25.7
25.9 26.1 26.4 26.7 27.1 27.6 28.0 28.8 29.1 30.0
(1)请你计算该校这次检查中学生平均得分，估算该校高三学生的肥胖率；
(2)从这50名学生中选取了6名男同学，测量了他们的肺活量，得到如下数据表：
序号 1 2 3 4 5 6
体重指数x(单位：kg/m2) 19.0 20.5 21.5 22.5 23.5 28.0
肺活量y(单位：ml) 2 800 3 100 3 200 3 420 3 640 4 240
求y关于x的线性回归方程．
参考数据：xi＝135，i＝20 400，(xi－)2＝48.5，(xi－)(yi－)＝7 760.
参考公式：回归直线方程是＝x＋，其中＝＝，
＝－.
5．[2022·全国乙卷(文)，19]某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得＝0.038，＝1.615 8，iyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝，≈1.377.专练46　圆的方程
命题范围：圆的标准方程和一般方程．
[基础强化]
一、选择题
1．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．已知点A是直角△ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(－4，a)，C(2a＋2，2)，则△ABC外接圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－3)2＝5
B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5
D．(x＋3)2＋y2＝5
4．已知方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－∞，1)
5．点P(5a＋1，12a)在(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．|a|<1 B．a<
C．|a|< D．|a|<
6．直线y＝kx－2k＋1恒过定点C，则以C为圆心，以5为半径的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝25
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
7．[2022·深圳模拟]已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4，则圆M的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
8．[2022·安徽省滁州市高三质检]已知A，B为圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB＝90°，则点P的轨迹方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝
B．(x－1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
9．已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
二、填空题
10．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．
11．[2022·全国甲卷(文)，14]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
12．[2022·全国乙卷(文)，15]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________________．
[能力提升]
13．已知一个圆的圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
14．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，则切线的方程为________.
15．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．
16．[2022·湘潭质检]设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则·的最大值为________．专练43　高考大题专练(四)　立体几何的综合运用
1．[2022·全国甲卷(文)，19]小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．
(1)证明：EF∥平面ABCD；
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
2.
[2021·全国甲卷]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.
3.
[2022·四川师范大学考试]如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB上的一点，且PE＝λPB，F为线段BC上的动点，
(1)当λ为何值时，平面AEF⊥平面PBC，并说明理由；
(2)若PA＝2，BC＝3，平面AEF⊥平面PBC，VE ABF∶VP ABCD＝1∶6，求出点B到平面AEF的距离．
4．[2022·全国乙卷(文)，18]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F ABC的体积．
5．[2020·全国卷Ⅰ]如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P ABC的体积．专练49　双曲线
命题范围：双曲线的定义、标准方程与简单的几何性质．
[基础强化]
一、选择题
1．平面内到两定点F1(－5，0)，F2(5，0)距离差的绝对值等于8的动点P的轨迹方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2．设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为(　　)
A．19 B．26
C．43 D．50
3．[2022·成都石室中学模拟]已知双曲线－＝1，其焦点到渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
4．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1，2)
5．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
6．[2020·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
7．[2021·全国甲卷]点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　)
A． B．
C． D．
8．[2022·江西省临川一中模拟]已知F1(－3，0)，F2(3，0)分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D. －y2＝1
9．[2022·江西省南昌市高三模拟] 已知中心在原点的双曲线E的离心率为2，右顶点为A，过E的左焦点F作x轴的垂线l，且l与E交于M，N两点，若△AMN的面积为9，则E的标准方程为(　　)
A.x2－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
二、填空题
10．[2021·全国乙卷]双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．
11．[2022·全国甲卷(文)，15]记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________________．
12．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝________.
[能力提升]
13．[2022·陕西省西安中学模拟] 第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例(如图)：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．2
14．[2022·陕西省西安中学四模]已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
15．[2022·江西省赣州市高三摸底]已知F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，过F1作C的渐近线的垂线，垂足为P.若△F1PF2的面积为，则C的离心率为________．
16．[2022·江西省南昌市高三模拟]
已知F1、F2分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，F2也是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若|PF1|＝|F1F2|，则双曲线E的离心率为________．

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