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人教A版2019必修第一册
第 5章 三角函数
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
目 录
1 学习目标
2 新课讲解
3 课本例题
4 课本练习
5 题型分类讲解
6 随堂检测
7 课后作业
学习目标
1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)
2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)
3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)
情境导入
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象.
通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？
【想一想】
【提示】正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线.
前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢 类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论．
1
-1
0
y
x
●
●
●
y=sinx ( x ∈ [0, ] )
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
思考：
在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点
因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图〉法”是非常实用的．
正弦函数的“五点画图法”
(0,0)
( , 1)
( ,0)
(2 ,0)
( ,-1)
(0,0)、( , 1)、（ ，0）、( ,0)、 (2 ,0)
0
1
-1
思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象
x
y
-2
-
o
2


3
2
2
3
4
正弦曲线
余弦曲线
余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平行移动 /2个单位长度而得到
余弦函数y=cosx(x ∈R)的图象
sin( x+ )=
cosx
0
0
0
1
0
0
0
1
o
1
y
x
-1
2
y=1+sinx，x [0, 2 ]
y=sinx，x [0, 2 ]
总结：函数值加减，图像上下移动
延伸探究1：如何利用y=sinx，x [0, 2 ]的图象，得到y=1+sinx，
x [0, 2 ]的图象？
总结：这两个图像关于X轴对称。
延伸探究2如何利用y= cosx，x [0, 2 ]的图象，
得到y= -cosx，x [0, 2 ]的图象？
y
x
o
1
-1
y= - cosx，x [0, 2 ]
y= cosx，x [0, 2 ]
1.在同一坐标系画出下列函数的图象. 通过观察两条曲线，说说它们的异同：
y
x
O
1
-1
简析：
课本练习
2.用五点法分别画出下列函数在[- , ]的图象：(1)y= - sinx； (2)y=2 - cosx，x [0, 2 ].
解：(1)
2)描出各点；
3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
1)列表得：
x
sinx
y=-sinx
1
-1
0
0
0
-1
1
0
0
0
y
x
O
1
-1
y= - sinx，x [- , ]
解：(2)
2)描出各点；
3)用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
1)列表得：
x
cosx
y=2-cosx
0
0
1
-1
-1
2
2
1
3
3
y= 2- cosx，x [- , ]
y
x
O
1
-1
2
3
2.用五点法分别画出下列函数在[- , ]的图象：(1)y= - sinx； (2)y=2 - cosx，x [0, 2 ].
y
x
O
1
-1
3.想一想，函数y= | sinx|与y= sinx图象间的关系，并进行验证。
简析：
y=sinx图象
y=|sinx|图象
x
y
1
-1
O
y=sinx
y=|sinx|
简析：
题型一：用“五点法”画正弦、余弦函数的简图
题型分类讲解
【变式】用“五点法”作出函数的简图.
0 2
1 0 -1 0 1
3 2 1 2 3
解：按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
题型二：正弦、余弦函数图象的应用
例2.求函数的定义域.
解：由得，画出的图象和直线，如图：
可知的解集为
【变式1】求函数的定义域.
解：由得，画出的图象和直线，如图：
可知的解集为
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
【变式3】若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
解析：由题意可知，sin x－2m－1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x＝2m＋1有两个根.
可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数图象有2个交点.
由y＝sin x图象可知：
－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，
解析：建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象.描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.
【变式4】在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数.
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个.
随堂检查
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.
课堂小结

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