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第四章 数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
学案
学习目标
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量，n，d，，之间的关系.
2.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.
知识汇总
等差数列的前n项和公式为或.
习题检测
1.设等差数列的前n项和为，且，则( ).
A.45 B.50 C.60 D.80
2.在各项均不为零的等差数列中，若，则( ).
A.-2 B.0 C.1 D.2
3.设是等差数列的前n项和，若，则( ).
A. B. C. D.
4.已知在等差数列中，，，，若，且，则k的值为( ).
A.9 B.10 C.11 D.12
5.记等差数列的前n项和为，若，则( )
A.2 B.4 C.8 D.16
6.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为( ).
A.184斤 B.176斤 C.65斤 D.60斤
7.（多选）设等差数列的前n项和为，若，，则( ).
A. B. C. D.
8.（多选）是等差数列，公差为d，前n项和为，若，，则下列结论正确的是( ).
A. B. C. D.
9.记为等差数列的前n项和，，，则___________.
10.数列的通项公式为，则它的前n项和__________.
11.已知数列是公差的等差数列，的前n项和为，，，则__________.
12.已知等差数列的前n项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求n.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为是等差数列，，所以，即，则.故选C.
2.答案：A
解析：由且，得，则.故选A.
3.答案：A
解析：由等差数列的求和公式可得，，化简得，所以.故选A.
4.答案：C
解析：由等差中项得，解得，所以公差，则，解得(舍去)或.故选C.
5.答案：C
解析：由题知，即，，
.故选C.
6.答案：A
解析：依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，则由题意得，，解得，则.故选A.
7.答案：AC
解析：因为等差数列的前n项和为，，，所以，解得，，则，.故选AC.
8.答案：ABD
解析：B：由可得，故B正确；
A：由可得，由可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；
C：，所以，故C不正确；
D：因为等差数列是单调递减数列，且，所以，则，故D正确.故选ABD.
9.答案：4
解析：因，所以，即，所以.
10.答案：
解析：法一：由知数列是等差数列，又，故.
法二：由知数列是等差数列，所以.
11.答案：120
解析：已知数列是公差的等差数列，则，由等差数列的求和公式可得，所以，则有，解得，，则，因此.
12.解析：(1)设等差数列的首项为，公差为d，
因为，，所以，，解得，，
则，，
故的通项公式为，.
(2)由(1)知，，
因为，所以，
即，化简得，解得.

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