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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题一 三角形考点知识梳理专题训练
一、三角形相关概念
1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形
要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．
2．三角形的表示
通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．
3．三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．
（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．
②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．
③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．
（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．
②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．
（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．
注意：①三角形的三条高是线段
②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．
二、三角形三边关系定理
①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．
②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．
注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可
三、三角形的稳定性
三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．
四、三角形的内角
结论1：三角形的内角和为180°．表示： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．
注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角
如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）
②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．
如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．
五、三角形的外角
1．定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
2．性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补
3．外角个数
过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．
六、多边形
①多边形的对角线条对角线；
②n边形的内角和为（n－2）×180°；
③多边形的外角和为360°
高频考点
【考点1】三角形的分类
【典例1-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的表示( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【典例1-2】关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
【例1-3】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【考点2】三角形的三边关系
【例2-1】由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1) (2) (3)．
【例2-2】下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10
【例2-3】若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是　3＜x＜6　．
【考点3】三角形的中线
【例3-1】如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
【例3-2】如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【例3-3】 如图，AD是的中线，CE是的中线，若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
．
【考点4】三角形的高线
【例4-1】画中边上的高，下列画法中正确的是( )
A. B.
C. D.
【例4-2】下列判断错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点在三角形内
B．三角形的三条中线交于三角形内一点
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点
D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点
【例4-3】如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的边BC上的高AD与边AB上的高CE的比值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点5】三角形的角平分线：
【例5-1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（　　）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△DAF的中线
【例5-2】如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，正确的个数是（　　）
①BG是△ABD的边AD上的中线；
②AD既是△ABC的角平分线，也是△ABE的角平分线；
③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5-3】如图，在中，平分交于点，过点作交于点．若，，则______．
【考点6】三角形的稳定性
【例6-1】如图是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之差小于第三边
D．直角三角形的性质
【例6-2】如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（　　）
A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
【例6-3】下列生活中的实例利用到三角形的稳定性的是（　　）
A．自行车的三角车架 B．用两颗钉子把木条固定在墙上
C．学校大门口的伸缩门 D．四条腿的方桌
【考点7】三角形的内角和
【例7-1】若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的4倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，D是边上一动点，当是“和谐三角形”时，的度数是_________．
【例7-2】如图，在中，，，平分，平分，则的大小是（　　）

A． B． C． D．
【例7-3】如图，△ABC中，点D在△ABC的内部，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，DE∥AC，点E在BC上，若∠BAC＝80°，则∠BDE的度数是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．135°
【考点8】直角三角形的判定和性质
【例8-1】直角三角形的一锐角是，那么另一锐角是（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】如图，，若，则______°.
【例8-3】在下列条件中：①；②；③，能确定为直角三角形的条件有_________个．
【考点9】三角形的外角
【例9-1】 如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（　　）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
【例9-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　度．
【例9-3】如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
【考点10】 多边形的内角与外角：
【例10-1】（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为 _____；
（2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 _____．
【例10-2】如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝___．
【例10-3】看图回答问题：
(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
【考点11】正多边形
【例11-1】如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（　　）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【例11-2】如图，正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的边CD重合，DH的延长线与AB交于点P，则∠BPD的度数是（　　）
A．83° B．84° C．85° D．86°
【例11-3】已知一个正多边形的边数为n．
(1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值．
(2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题一 三角形考点知识梳理专题训练（解析版）
一、三角形相关概念
1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形
要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．
2．三角形的表示
通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．
3．三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．
（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．
②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．
③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．
（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．
②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．
（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．
注意：①三角形的三条高是线段
②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．
二、三角形三边关系定理
①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．
②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．
注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可
三、三角形的稳定性
三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．
四、三角形的内角
结论1：三角形的内角和为180°．表示： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．
注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角
如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）
②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．
如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．
五、三角形的外角
1．定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
2．性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补
3．外角个数
过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．
六、多边形
①多边形的对角线条对角线；
②n边形的内角和为（n－2）×180°；
③多边形的外角和为360°
高频考点
【考点1】三角形的分类
【典例1-1】三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的表示( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形根据三角形的分类可直接得到答案．
【解答】
解：三角形根据边分类，
图中小椭圆圈里的表示等边三角形．
故选：．
【典例1-2】关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
【答案】D
【分析】三角形的分类：按边分有普通三角形(三条边都不相等)，等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形)；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.据此判断即可.
【详解】解：甲分法正确，乙正确的分类应该为：
故选：D．
【点评】本题考查三角形的分类，解答的关键是熟知三角形的分类标准，易忽略等腰三角形包含等边三角形.
【例1-3】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：D．
【考点2】三角形的三边关系
【例2-1】由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1) (2) (3)．
【答案】(1) 这三条线段不能构成三角形，理由见分析；(2) 这三条线段不能构成三角形，理由见分析；(3) 这三条线段能构成三角形，理由见分析
【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可．
（1）解：这三条线段不能构成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能构成三角形；
（2）解：这三条线段不能构成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段不能构成三角形；
（3）解：这三条线段能构成三角形，理由如下：
∵，
∴这三条线段能构成三角形．
【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
【例2-2】下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵1+1＝2，
∴1，1，2不能作为三角形的三边长，符合题意；
B、∵2+3＞4，
∴2，3，4能作为三角形的三边长，不符合题意；
C、∵2+4＞5，
∴2，4，5能作为三角形的三边长，不符合题意；
D、∵6+8＞10，
∴6，8，10能作为三角形的三边长，不符合题意；
故选：A．
【例2-3】若三角形三边长为3，2x+1，10，则x的取值范围是　3＜x＜6　．
【分析】根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求x的取值范围．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：10﹣3＜2x+1＜10+3，且2x+1＞0
解得：3＜x＜6，
即x的取值范围是3＜x＜6．
故答案为：3＜x＜6．
【考点3】三角形的中线
【例3-1】如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
【答案与解析】
解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．
又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，
∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．
又∵ BC＝8，∴ AC＝5．
答：AC的长为5cm．
【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．
【例3-2】如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【详解】∵是的中线，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
【例3-3】 如图，AD是的中线，CE是的中线，若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积平分来解题即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，
∴S△ADC＝S△ABC，S△ACE＝S△ADC，
∵S△ABC＝24，
∴S△ACE＝S△ABC＝×24＝6．
故选：A．
【点睛】考查三角形中线与三角形的面积关系，关键是掌握三角形中线把三角形面积平分．
【考点4】三角形的高线
【例4-1】画中边上的高，下列画法中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查的是三角形的高线的有关知识，直接利用三角形的高线的画法进行求解即可．
【解答】
解：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫三角形的一条高线，
由此可知：中边上的高画法正确的是选项，
故选C．
【例4-2】下列判断错误的是（ ）
A．三角形的三条高的交点在三角形内
B．三角形的三条中线交于三角形内一点
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点
D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点
【答案】A
【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意；
B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意；
C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意；
D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义．
【例4-3】如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的边BC上的高AD与边AB上的高CE的比值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据面积相等列出比例求解即可．
【详解】
解：∵的边上的高为，边上的高为，
，，
∴，
即：，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的高，根据面积相等列出等式是解题的关键．
【考点5】三角形的角平分线：
【例5-1】如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（　　）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△DAF的中线
【分析】利用已知条件可得∠BAE＝∠CAE，然后可得AE是△ABC的角平分线．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，
故选：B．
【例5-2】如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，正确的个数是（　　）
①BG是△ABD的边AD上的中线；
②AD既是△ABC的角平分线，也是△ABE的角平分线；
③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
【解答】解：∵G为AD的中点，
∴BG是△ABD的边AD上的中线，①说法正确；
∵∠1＝∠2，
∴AD既是△ABC的角平分线，AG是△ABE的角平分线，②说法错误；
∵CF⊥AD，
∴CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高，③说法正确；
故选：C．
【例5-3】如图，在中，平分交于点，过点作交于点．若，，则______．
【答案】39°．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
【考点6】三角形的稳定性
【例6-1】如图是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之差小于第三边
D．直角三角形的性质
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】
由图可知它所运用的几何原理是三角形具有稳定性
故选B．
【例6-2】如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（　　）
A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
【分析】由三角形具有稳定性，即可得到答案．
【解答】解：桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性．
故选：A．
【例6-3】下列生活中的实例利用到三角形的稳定性的是（　　）
A．自行车的三角车架 B．用两颗钉子把木条固定在墙上
C．学校大门口的伸缩门 D．四条腿的方桌
【答案】A
【分析】分别利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性等知识进行判断即可．
【详解】A、自行车的三角车架是利用了三角形的稳定性，符合题意；
B、用两颗钉子把木条固定在墙上是利用了两点确定一条直线，不符合题意；
C、学校大门口的伸缩门利用了四边形的不稳定性，不符合题意；
D、四条腿的方桌不是利用了三角形的稳定性，不符合题意．
故选：A．
【点睛】考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性和四边形具有不稳定性，难度不大
【考点7】三角形的内角和
【例7-1】若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的4倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，D是边上一动点，当是“和谐三角形”时，的度数是_________．
【答案】或．
【分析】分四种情况进行讨论：①当∠B＝4∠ADB时；②当∠ADB＝4∠BAD时；③当∠BAD＝4∠ADB时；④当∠B＝4∠DAB时；⑤当∠ADB＝4∠B时；⑥当∠BAD＝4∠B时．根据“和谐三角形”的定义求解即可．
【详解】解：∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，
当△ADC是“和谐三角形”时，分四种情况：
①当∠B＝4∠ADB时；
∠ADB==15°<30°；
不符合题意；
②当∠ADB＝4∠BAD时；
,
解得；
③当∠BAD＝4∠ADB时；
解得：，不符合题意；
④当∠B＝4∠DAB时；
；
解得．
⑤当∠ADB＝4∠B时；
∠ADB＝4∠B；不符合题意；
⑥当∠BAD＝4∠B时．
∠BAD＝4∠B；不符合题意；
综上所述，∠DAB的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查新定义，三角形内角和定理，理解“和谐三角形”的定义并且能够应用是解题的关键．
【例7-2】如图，在中，，，平分，平分，则的大小是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用角平分线的定义先求得和的大小，然后利用三角形的内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，．
由三角形的内角和定理可知：
．
故选；B．
【点评】本题主要考查的是角平分线的定义、三角形的内角和定理，掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理是解题的关键．
【例7-3】如图，△ABC中，点D在△ABC的内部，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，DE∥AC，点E在BC上，若∠BAC＝80°，则∠BDE的度数是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．135°
【分析】先根据角平分线的性质得出∠CAD的度数，再由平行线的性质得出∠ADE的度数，由∠ADB＝90°即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝180°﹣∠CAD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝360°﹣∠ADB﹣∠ADE＝360°﹣90°﹣140°＝130°．
故选：C．
【考点8】直角三角形的判定和性质
【例8-1】直角三角形的一锐角是，那么另一锐角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：直角三角形的一锐角是，那么另一锐角是
【例8-2】如图，，若，则______°.
【答案】59
【分析】根据对顶角相等，直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵，,
∴
故答案为：59
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，对顶角相等，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【例8-3】在下列条件中：①；②；③，能确定为直角三角形的条件有_________个．
【答案】3
【分析】利用三角形的内角和定理，即可分别进行判断．
【详解】解：①∵，
又∵，
∴，
∴；故①符合题意；
②∵，
又；
∴，
∴；故②符合题意；
③∵，
又，
∴，
故③符合题意；
∴能确定为直角三角形的条件有3个；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理进行判断．
【考点9】三角形的外角
【例9-1】 如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（　　）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
【答案】D
【解答】解：∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＝∠3+∠CED，
∴∠2＞∠3，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠A，
∴∠1＞∠2，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故选：D．
【例9-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　度．
【答案】如图连接CE，
根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，
在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．
【例9-3】如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.
解法三：连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）
【考点10】 多边形的内角与外角：
【例10-1】（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为 _____；
（2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 _____．
【答案】 36°##36度 6或7
【分析】（1）根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可．
（2）求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：（1）一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为360÷10＝36°．
故答案为：36°；
（2）设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）×180＝720，
解得：n＝6．
∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，
∴原多边形的边数为6或7．
故答案为：6或7．
【点睛】此题考查了正多边形外角和多边形的内角和；解题的关键是熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系，熟知正多边形外角与边数的关系式．
【例10-2】如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝___．
【答案】##42度
【解析】
【分析】
利用多边形的外角和定理，即减去等边三角形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，再减去和的度数，最后得出答案．
【详解】
等边三角形的内角的度数是，正方形的内角的度数为，正五边形的内角的度数是，
则．
故答案为：
【点评】此题考查了多边形外角和定理，正多边形内角和公式，熟练掌握相关知识及正确运算是解题关键．
【例10-3】看图回答问题：
(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
【答案】(1)理由见详解
(2)
【分析】（1）根据多边形的内角和定理即可求解；
（2）根据题意设多边形的边数为，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵设多边形的边数为，则边形的内角和是，
∴内角和一定是度的倍数，
∵，
∴内角和为不可能．
（2）解：设多边形的边数为，
∴，解得，，
∴多边形的边数是，
∴小华求的是十三边形的内角和．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
【考点11】正多边形
【例11-1】如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（　　）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【分析】根据正五边形的轴对称性以及多边形的外角和等于360度解答即可．
【解答】解：如图：
由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG＝90°，
∴∠G+∠EDG＝90°，
∵，DG平分正五边形的外角∠EDF，
∴，
∴∠G＝90°﹣∠EDG＝54°．
故选：B．
【例11-2】如图，正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的边CD重合，DH的延长线与AB交于点P，则∠BPD的度数是（　　）
A．83° B．84° C．85° D．86°
【分析】利用多边形的内角和与正多边形的性质分别求得∠BCD，∠B，∠DCH的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理求得∠CDH的度数，再结合四边形的内角和为360°进行计算即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BCD＝∠B＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∵五边形GHCDL为正五边形，
∴CD＝CH，∠DCH＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠CDH＝∠CHD＝＝36°，
∵四边形BCDP的内角和为360°，
∴∠BPD＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，
故选：B．
【例11-3】已知一个正多边形的边数为n．
(1)若这个正多边形的内角和的比外角和多，求n的值．
(2)若这个正多边形的一个内角为，求n的值．
【答案】(1)n的值为12；(2)n的值为5．
【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答；
（2）先求得这个正多边形的每个外角为，根据多边形外角和定理解答即可．
（1）解：依题意，得，
解得，即n的值为12；
（2）解：∵正多边形的一个内角为，
∴这个正多边形的外角为．
∵多边形的外角和为，
∴，即n的值为5．
【点拨】本题考查了正多边形的内角与外角，解题的关键是牢记正多边形的内角和公式与外角和等于360°．
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