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1.1　数列的概念
学习目标
1．了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式确定数列中的项．
2．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
核心素养
1．通过对数列有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助通项公式的确定与应用，提升数学运算素养.
知识点 1　数列的有关概念
1．数列：按一定_次序__排列的一列数叫作数列．
2．项：数列中的_每一个数__叫作这个数列的项．
3．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为_{an}__.数列的第1项，也叫数列的_首项__，an是数列的第n项，也叫数列的_通项__.
[提醒]　{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项．
想一想：
数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？
提示：数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．
练一练：
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．( × )
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( × )
(3)数列中的项可以相等．( √ )
[解析]　(1) {1,3,5,7}不表示数列．
(2) 数列具有有序性，顺序不同一定不是相同数列．
(3) 数列中的各项数可能相等．
知识点 2　数列的分类
1．项数_有限__的数列称为有穷数列．
2．项数_无限__的数列称为无穷数列．
练一练：
(多选)下列四个数列中，是无穷数列的是( AC )
A．1，，，，…
B．1,2,3,4，…，2n
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
[解析]　B、D是有穷数列，A、C是无穷数列．
知识点 3　数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用_一个式子__表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．
[提醒]　1.并不是所有的数列都有通项公式．
2．同一数列的通项公式表达形式不是唯一的．例如，数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，an＝(－1)n＋2或an＝cos nπ等．
3．数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集．
练一练：
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( B )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
[解析]　这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为an＝n＋1.
2．数列{an}中，若an＝，则a4＝ 　.
[解析]　因为an＝，
所以a4＝＝.
题型探究
题型一　数列的概念及分类
典例1　(多选)下列说法正确的是( AC )
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…是无穷数列
D．a，－3，－1,1，b,5,7,9,11能构成数列
[解析]　根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；由无穷数列的概念可知C正确；当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．
[规律方法]　数列概念的三个注意点
(1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．
(2)从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性，是理解、把握数列的关键．
对点训练 下列说法正确的是( C )
A．1,4,2，，不是数列
B．数列的第k项为1＋
C．－1,1,3,5，…是数列
D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
[解析]　A中，1,4,2，，是数列；B中，数列的第k项为1＋；D中，数列应记为{2n－2}，所以D不正确；很明显C正确.
题型二　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
典例2　写出下面各数列{an}的一个通项公式：
(1)9,99,999,9 999，…
(2)1，－3,5，－7,9，…
(3)，2，，8，，…
(4)3,5,9,17,33，…
[分析]　观察给出的前几项，归纳、猜想出通项公式．
[解析]　(1)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，新数列{bn}的通项公式为bn＝10n，可得原数列{an}的一个通项公式为an＝10n－1.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，新数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，考虑到(－1)n＋1具有转换正负号的作用，所以原数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察，各项变为，，，，，…，所以数列{an}的一个通项公式为an＝.
(4)3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…，所以数列{an}的一个通项公式为an＝2n＋1.
[规律方法]　由数列的前几项求通项公式的思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等，然后通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系；
(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式；
(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等；
(4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整；
(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系；
(6)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等求通项．
对点训练 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式．
(1)，，，，…
(2)1,0,1,0，…
(3)－1,2，－3,4，…
(4)2,22,222,2222，…
[解析]　(1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．
故an＝.
(2)奇数项为1，偶数项为0，
故an＝.
(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故an＝(－1)n·n.
(4)数列各项可化为×9，×99，×999，…，所以通项公式为an＝(10n－1).
题型三　数列中的项的求解与判断
典例3　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项．
(2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？
(3)数列{an}中有多少个负数项？
[分析]　(1)分别将n＝4，n＝6代入通项公式，即可求得a4，a6；(2)令an＝－49，an＝68，分别求得n的值，若n∈N*，则是数列的项，否则不是该数列的项；(3)令an<0，求出n的范围，范围内正整数的个数即数列{an}中负数项的个数．
[解析]　(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，
解得n＝7或n＝(舍去)，
所以n＝7，即－49是该数列的第7项．
令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2.
因为 N*，－2 N*，
所以68不是该数列的项．
(3)an＝n(3n－28)，令an<0，
又n∈N*，解得n＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，
即数列{an}中有9个负数项．
[规律方法]　判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列中的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的一项．
对点训练 已知数列{an}的通项公式是an＝.
试判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．
[解析]　令＝，得n2＝9，
所以n＝3(n＝－3舍去)，
故是该数列中的项，并且是第3项；
令＝，得n2＝，
所以n＝±，
由于与－都不是正整数，
因此不是数列中的项．
易错警示
忽略数列有序性致误
典例4　写出由集合{x|x∈N＋且x≤4}中的所有元素构成的所有数列(要求首项为1，且集合的元素只出现一次)．
[误区警示]　数列的记法{an}只是“借用”集合的符号{　}表示数列，它们之间有本质上的区别：(1)集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的．(2)集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列．
[解析]　集合可表示为{1,2,3,4}，由集合中的元素组成的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6个：1,2,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2.
1．数列1,3,6,10，x,21,28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值是( B )
A．12 B．15
C．17 D．18
[解析]　各项乘2，变为1×2,2×3,3×4，…，可得原数列的通项公式为an＝，
故x＝a5＝＝15.
2．有下列命题：
①数列，，，，…的一个通项公式是an＝；
②数列的图象是一群孤立的点；
③数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．
其中正确命题的个数为( A )
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析]　②正确，其余均不对．
3．把1,3,6,10,15,21这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则第七个三角形数是( B )
A．27 B．28
C．29 D．30
[解析]　观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可，根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
4．323是数列{n(n＋2)}(n∈N＋)的第_17__项．
[解析]　令n(n＋2)＝323，∴n2＋2n－323＝0，
∴(n＋19)(n－17)＝0，∵n∈N＋，∴n＝17.1.2　数列的函数特性
学习目标
1．了解数列的几种简单表示方法．
2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．
3．掌握判断数列的增减性的方法．
核心素养
1．通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养．
知识点 1　数列与函数的关系
数列可以看作是定义域为 正整数集N＋　(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数，当自变量_从小到大__依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
[提醒]　数列是一种特殊的函数，特殊在它的定义域是离散型的，所以图象是一些分散的点．并且数列有序，函数值域是集合，具有无序性．
想一想：
在数列{an}中，an＝，请说出数列{an}与函数f(x)＝(x>0)的图象的区别与联系？
提示：数列{an}的图象是一群孤立的点，而函数f(x)的图象是一条光滑的曲线，表示数列图象的点分布在函数图象上．
练一练：
在数列{an}中，an＝n2－9n(n∈N＋)，则此数列最小项的值是_－20__.
[解析]　an＝n2－9n＝2－，
∵n∈N＋，
∴当n＝4或n＝5时，an取最小值－20.
知识点 2　数列的三种表示法
(1)列表法．(2)图象法．(3)_通项公式法__.
练一练：
对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n∈N＋，依照下表，则a2 023＝_5__.
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 4 3 1 2
[解析]　a1＝4，a2＝f(4)＝1，a3＝f(1)＝5，a4＝f(5)＝2，a5＝f(2)＝4，…，
该数列是周期为4的周期数列，
所以a2 023＝a3＝5.
知识点 3　递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
名称 定义 表达式 图象特点
递增数列 从第2项起，每一项都_大于__它的前一项 an＋1>an(n∈N＋) _上升__
递减数列 从第2项起，每一项都_小于__它的前一项 an＋1常数列 各项都_相等__ an＋1＝an(n∈N＋) 不升不降
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 an与an＋1(n∈N＋)大小不确定 上下摆动
练一练：
已知数列{an}的通项公式是an＝，则这个数列是( B )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
[解析]　数列{an}的通项公式是an＝＝＝1＋，则当n∈N＋时为递减数列．
题型探究
题型一　数列的表示方法
典例1　在数列{an}中，an＝n2－8n.
(1)画出数列{an}的图象；
(2)根据图象判定数列{an}的增减性．
[解析]　(1)列表
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…
图象如图所示．
(2)数列{an}的图象既不是上升的，也不是下降的，则数列{an}既不是单调递增的，也不是单调递减的．
[规律方法]　画数列的图象的方法
数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
对点训练 若数列{an}的通项公式为an＝－n2＋7n(n∈N＋)，求an的最大值，并与函数f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较．
[解析]　作出函数f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象与数列{an}的图象．
从图象上看，表示数列{an}的各点都在抛物线f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象上，
由数列{an}的图象，得an的最大值为a3＝a4＝12，
由函数f(x)的图象，得f(x)的最大值为f＝，
因此，an的最大值小于f(x)的最大值.
题型二　根据数列的单调性求参数的取值范围
典例2　已知数列{an}满足：an＝(n∈N＋)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( D )
A． B．
C．(1,3) D．(2,3)
[解析]　因为数列{an}是递增数列，所以由n≤7时，an＝(3－a)n－3知3－a>0，即a<3；由n>7时，an＝an－6知a>1.又a72或a<－9.综上，得2[规律方法]　利用数列的单调性确定变量的取值范围，解决此类问题常用以下等价关系
数列{an}递增 an＋1>an(n∈N＋)，数列{an}递减 an＋1对点训练 通项公式为an＝λn2＋n的数列{an}，若满足a1an＋1对n≥8恒成立，则实数λ的取值范围是( A )
A． B．
C． D．
[解析]　∵a1－，而an>an＋1对任意的n≥8恒成立，故λ<0，且－<，即λ<－，故选A．
题型三　求数列的最大项与最小项
典例3　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×n(n∈N＋)，数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
[解析]　数列{an}有最大项．
方法一：an＋1－an＝(n＋3)×n＋1－(n＋2)×n＝n×.
当n<5(n∈N＋)时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>5(n∈N＋)时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a7>a8>…，
∴数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.
方法二：＝＝，
令>1，即>1，解得n<5(n∈N＋)；
令＝1，即＝1，解得n＝5，∴a6＝a5；
令<1，即<1，解得n>5(n∈N＋)．
故a1a7>…，
∴数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.
方法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项(n≥2)，则
即
解得5≤n≤6.
故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝.
[规律方法]　求数列中的最大(最小)项问题的两种方法
(1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
(2)利用(n≥2)，求数列中的最大项an，利用(n≥2)，求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
对点训练 已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( A )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
[解析]　an＝－2n2＋21n＝－22＋，
因为n∈N*,5<<6，且a5＝55，a6＝54，
所以数值最大的项为第5项．
易错警示
用函数思想解题时忽略数列的特征而致错
典例4　已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是_(－3，＋∞)__.
[错解]　[－2，＋∞)
[误区警示]　在错解中，忽略了数列的特征，即n的取值的离散性，常会得出－≤1，即t∈[－2，＋∞)错误结果．事实上，由抛物线的对称性知，函数f(x)＝x2＋tx在[1，＋∞)上不单调照样可以使得数列{an}单调，当对称轴位于区间内时，a1[正解]　正解一：由数列{an}为递增数列，知an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，即t>－(2n＋1)恒成立．
而n∈N*，所以t>－3，故t的取值范围是(－3，＋∞)．
正解二：an＝n2＋tn＝2－，
由于n∈N*，且数列{an}为递增数列，结合二次函数的图象可得－<，解得t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞).
1．已知an＋1－an＝3，则数列{an}是( A )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
[解析]　∵an＋1－an＝3>0，∴an＋1>an.
2．已知数列{an}满足：任意m，n∈N＋，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝( A )
A． B．
C． D．
[解析]　由题意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，则a5＝a3·a2＝.
3．已知表示数列{an}的图象的点在函数y＝的图象上，则其通项公式为 an＝(n∈N＋)　.
[解析]　数列{an}对应的点列为(n，an)，即有an＝(n∈N＋)．
4．已知数列2a－1，a－3,3a－5为递减数列，则a的取值范围为_(－2,1)__.
[解析]　∵数列：2a－1，a－3,3a－5为递减数列，
∴解得－2∴a的取值范围为(－2,1)．2.1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列
学习目标
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的判定方法．
3．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用．
核心素养
1．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养．
知识点 1　等差数列的定义
文字语言 对于一个数列，如果从第_2__项起，每一项与它的前一项的_差__都是_同一个常数__，称这样的数列为等差数列
符号语言 若_an－an－1＝d(n≥2)__，则数列{an}为等差数列
[提醒]　“每一项与前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
想一想：
若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列吗？
提示：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列．
练一练：
(多选)下列数列是等差数列的是( AC )
A．0,0,0,0,0，…
B．1,11,111,1111，…
C．－5，－3，－1,1,3，…
D．1,2,3,5,8，…
[解析]　根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数．
知识点 2　等差数列的通项公式
若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝_a1＋(n－1)d__.
练一练：
1．已知等差数列{an}，a1＝2，a3＝5，则公差d等于( B )
A． B．
C．3 D．－3
[解析]　由已知等差数列{an}，a1＝2，a3＝5可得等差数列{an}的公差d＝＝＝.
2．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝4，如果an＝2 023，则序号n＝( D )
A．503 B．504
C．505 D．506
[解析]　由an＝a1＋(n－1)d得2 023＝3＋4(n－1)，解得n＝506.
题型探究
题型一　等差数列的通项公式
典例1　(1)已知数列{an}是等差数列，且a1＝1，a2＋a4＝10.求数列{an}的通项公式．
(2)在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an.
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋4d＝10，即2＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.
(2)设数列{an}的公差为d，由a5＝11，a8＝5，得
即解得a1＝19，d＝－2，
所以数列{an}的通项公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n.
[规律方法]　基本量法求通项公式
(1)根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．
(2)等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量．
(3)如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
对点训练 (1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( C )
A．8　　　　　　　 B．12
C．16 D．24
(2)等差数列{an}中，
①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；
②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
[解析]　(1)设公差为d，首项为a1，
则解得
∴a9＝a1＋8d＝16.
(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，
an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.
②an＝a1＋(n－1)d，
所以a5＝a1＋4d，
所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)
＝－2n＋21，
令－2n＋21＝1，得n＝10.
题型二　等差数列的判断与证明
典例2　(1)判断下列数列是否为等差数列？
①an＝3n＋2；
②an＝n2＋n.
(2)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，bn＝(n∈N*)．
求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差．
[解析]　(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．
②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．
(2)证明：方法一：因为＝，
所以＝＋3，所以－＝3，
又因为bn＝(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，且b1＝＝.所以数列{bn}是等差数列，首项为，公差为3.
方法二：因为bn＝，且an＋1＝，
所以bn＋1＝＝＝＋3＝bn＋3，
所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，b1＝＝.
所以数列{bn}是等差数列，首项为，公差为3.
[规律方法]　1．用定义证明一个数列是等差数列，即证明an＋1－an＝d(d为常数).
2．说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq(p，q∈N＋)即可．
对点训练 已知数列{xn}满足xn＝(n≥2，且n∈N＋)．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
[解析]　(1)证明：当n≥2时，＝＝＋，
∴－＝，
∴是等差数列，公差为.
(2)由(1)知，＝2＋(n－1)，
∴＝2＋×(100－1)＝35，
∴x100＝.
题型三　等差数列的实际应用
典例3　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
[解析]　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
即需要支付车费23.2元．
[规律方法]　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
对点训练 高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分(如第2次计划达到74分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为_11__.
[解析]　设经过n次考试后该学生的成绩为an，
则an＝5n＋69，由5n＋69≥120，得n≥＝10，所以至少要经过11次考试．
易错警示
求等差数列的公差时因考虑不周致误
典例4　首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( D )
A．d> B．d<3
C．≤d<3 D．[错解]　a10＝a1＋9d＝－24＋9d>0，解得d>.故选A．
[误区警示]　该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视第9项的要求．
[正解]　由题意知解得1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( A )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
[解析]　∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，
∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，
∴数列{an}是公差为2的等差数列．
2．等差数列－3,1,5，…的第15项的值是( B )
A．40 B．53
C．63 D．76
[解析]　设这个等差数列为{an}，
其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为( C )
A．92 B．47
C．46 D．45
[解析]　a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，
由－89＝－2n＋3，得n＝46.
4．已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝_13__.
[解析]　设公差为d，由题意得
解得∴an＝a1＋(n－1)d，∴a12＝2＋11＝13.第2课时　等差数列的性质及应用
学习目标
1．了解等差数列通项与一次函数的关系，理解公差d的几何意义．
2．掌握等差数列的性质及应用．
3．掌握等差中项的概念及应用．
核心素养
1．通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学习，培养数学抽象素养．
2．借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养．
知识点 1　等差数列的单调性与图象
(1)等差数列的图象
由an＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_等间隔的点__，其中_公差d__是该直线的斜率.
(2)从函数角度研究等差数列的性质与图象
由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_等间隔的点__，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_斜率__，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d>0时，{an}为_递增数列__；当d<0时，{an}为_递减数列__；当d＝0时，{an}为_常数列__.
[提醒]　等差数列通项公式的变形及推广
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以利用任意项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③即斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差．
想一想：
已知等差数列{an}的两项am，an，如何用am，an表示公差d？并解释公差d的几何意义．
提示：d＝.d是直线y＝dx＋(a1－d)的斜率．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若A＝，则a，A，b成等差数列．( √ )
(2)若{an}是等差数列，则an＝am＋(n－m)d.( √ )
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )
2．在等差数列{an}中，a3＝5，a7＝1，则数列{an}的公差d＝_－1__.
[解析]　因为a3＝5，a7＝1，故d＝＝－1.
知识点 2　等差数列的性质
(1)等差中项
如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成_等差数列__，那么A叫作a与b的等差中项，A＝ 　.
(2)如果{an}是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at.
[提醒]　在一个等差数列中，从第2项起，每一项an(有穷数列的末项除外)都是它的前一项an－1与后一项an＋1的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
练一练：
1．若等差数列{an}的公差为d，则{3an＋2}是( C )
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为3d的等差数列
D．非等差数列
[解析]　设bn＝3an＋2，则bn＋1－bn＝3an＋1＋2－3an－2＝3(an＋1－an)＝3d.
2．在等差数列{an}中，若a3＝2，a5＝7，则a7＝_12__.
[解析]　由等差数列的性质得a7＋a3＝2a5，则a7＋2＝2×7，得a7＝12.
题型探究
题型一　等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用
典例1　若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
[解析]　方法一：设等差数列{an}的公差为d，
∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
∴解得
∴a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
方法二：∵{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．
设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项，
∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.
∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝＝.
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
[规律方法]　若{an}是等差数列，则公差d＝，p，q∈N*；an＝ap＋(n－p)，p，q，n∈N*.
对点训练 等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_7__.
[解析]　方法一：设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
∴
∴a10＝a1＋9d＝＋＝7.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
∴a8－a2＝6d＝3，∴d＝.
∴a10＝a8＋2d＝6＋2×＝7.
题型二　用性质am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题
典例2　(1)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝( A )
A．9 B．12
C．15 D．18
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_35__；
(3)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，则a2＋a8＝( D )
A．150 B．160
C．200 D．300
[分析]　(1)根据等差数列的性质得出2a9＝a5＋a13，然后将值代入即可求出结果．
(2)方法一：求a5＋b5 各设出公差 利用通项公式；
方法二：求a5＋b5 {an}，{bn}都是等差数列 {an＋bn}也构成等差数列．
(3)求a2＋a8的值 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5 a5 a2＋a8＝2a5.
[解析]　(1)∵{an}是等差数列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.
(2)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，
所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴5a5＝750，
∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.
方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，
∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.
[规律方法]　等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中的项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．
对点训练 (1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为( A )
A．30 B．27
C．24 D．21
(2)已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝_24__.
[解析]　(1)(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝2(a2＋a5＋a8)，
即58＋(a3＋a6＋a9)＝88，
所以a3＋a6＋a9＝30.
(2)方法一：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120，
∴a8＝24，∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24.
方法二：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴a1＋3(a1＋7d)＋(a1＋14d)＝120，
∴a1＋7d＝24，
∴2a9－a10＝a1＋7d＝24.
题型三　等差数列中的对称设项
典例3　成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．
[分析]　已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．
[解析]　设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则：
由①，得a＝.代入②，得d＝±.∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
[规律方法]　三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
对点训练 (2023·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48，求这三个数．
[解析]　设这三个数为a＋d，a，a－d(d>0)，
则解得所以这三个数是6,4,2.
易错警示
对等差数列的定义理解不透彻而致误
典例4　已知数列{an}是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列{an}为等差数列”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[错解]　C
[误区警示]　应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明an＋1－an或an－an－1(n≥2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的每一项都满足等差的要求．
[正解]　B
1．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两个实根，则a5＋a8＝( A )
A．3 B．5
C．－3 D．－5
[解析]　a5＋a8＝a3＋a10＝3.
2．在等差数列{an}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，则a4＝( C )
A．4 B．
C．3 D．2
[解析]　因为(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3.
3．(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为( AB )
A．－2,4,10,16 B．16,10,4，－2
C．2,5,8,11 D．11,8,5,2
[解析]　设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
解得或
所以这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2.
4．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，则a3＋b3＝_90__.
[解析]　因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90.
5．已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
[解析]　因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：
2lg 4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．
从而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.
所以d＝4或d＝－2.
所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3.2.2　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和
学习目标
1．理解等差数列前n项和的推导方法．
2．掌握等差数列的前n项和公式．
核心素养
1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．培养逻辑推理素养．
2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系，培养数学运算素养．
知识点　等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝ 　 Sn＝ na1＋d　
[提醒]　在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”
想一想：
求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
提示：求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式Sn＝；若已知首项、公差和项数，则选用公式Sn＝na1＋d.
练一练：
1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝15，a7＝35，则S9＝( D )
A．450 B．400
C．350 D．225
[解析]　设公差为d，由解得a1＝d＝5，
所以S9＝9a1＋×d＝225.
2．已知数列{an}为等差数列，首项a1＝2，公差d＝4，前n项和Sn＝200，则n＝( C )
A．8 B．9
C．10 D．11
[解析]　由题意及等差数列前n项和公式知Sn＝na1＋＝2n2＝200，所以n＝10.
3．已知等差数列{an}满足a5＋a6＝28，则其前10项的和为_140__.
[解析]　由等差数列的性质得a1＋a10＝a5＋a6＝28，故其前10项之和S10＝＝5×28＝140.
题型探究
题型一　有关等差数列前n项和公式的计算
典例1　已知等差数列{an}中：
(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d；
(3)S5＝24，求a2＋a4.
[分析]　(1)Sm＝ma1＋d，解方程求得m，再利用通项公式am＝a1＋(m－1)d，求am.
(2)解方程组求d.
(3)可以利用Sn＝na1＋d求解，也可以利用Sn＝，求得a1＋a5，再利用等差数列的性质求得a2＋a4.
[解析]　(1)∵a1＝，d＝－，
∴Sm＝m－×＝－15，
∴m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)．
∴am＝a12＝－×11＝－4.
(2)Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4.
又an＝a1＋(n－1)d，∴－512＝1＋3d，∴d＝－171.
(3)方法一：S5＝5a1＋d＝24，
∴5a1＋10d＝24，
∴a1＋2d＝，
∴a2＋a4＝2a1＋4d＝2(a1＋2d)＝.
方法二：∵S5＝＝24，
∴a1＋a5＝，
∴a2＋a4＝a1＋a5＝.
[规律方法]　等差数列中基本量计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
对点训练 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a4＝12，则数列{an}的前6项之和为( C )
A．12 B．32
C．36 D．72
(2)设一个等差数列的前4项和为3，前8项和为11，则这个等差数列的公差为( A )
A． B．
C． D．
[解析]　(1)等差数列{an}中，a3＋a4＝12，所以等差数列{an}的前6项之和为：S6＝＝＝＝36.
(2)设这个等差数列的公差为d，首项为a1，则S4＝4a1＋d＝3，S8＝8a1＋d＝11，解得d＝.
题型二　等差数列前n项和的性质
典例2　(1)已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( B )
A．12　　　　 B．14　　　　
C．16　　　　 D．18
(2)两个等差数列{an}，{bn}，若＝，则＝( C )
A． B．
C． D．
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，试求S110.
[分析]　(1)求n想到Sn＝＝ Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4 a1＋an.
(2)求值想到Sn＝ 若m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq ＝.
(3)求S110想到Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列 S10＝100，S100＝10 项数和公差．
[解析]　(1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80.
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.
两式相加得4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30.
由Sn＝＝210，∴n＝14.
(2)由已知＝，＝＝.
(3)方法一：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设公差为d，前10项的和为：10×100＋d＝10，所以d＝－22，
所以前11项的和S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
则＝(n－1)＋a1，所以数列成等差数列．
所以＝，
即＝，
所以S110＝－110.
方法三：设等差数列{an}的公差为d，
S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，
又S100－10S10＝d－d＝10－10×100，
即100d＝－22，所以S110＝－110.
[规律方法]　等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…也构成等差数列．
(2)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则＝.
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列是等差数列，且首项为a1，公差为 .
(4)项的个数的“奇偶”性质．
{an}为等差数列，公差为d.
①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；
S偶－S奇＝nd；＝；
②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；
S偶－S奇＝－an＋1；＝.
(5)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
(6)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.
对点训练 (1)已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝( D )
A．7　　　　 B．8
C．9 D．10
(2)等差数列{an}共2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则an＋1＝_29__.
[解析]　(1)∵等差数列{an}满足：a2＝2，
Sn－Sn－3＝54(n>3)
Sn＝100，
∴an＋an－1＋an－2＝54(n>3)
又{an}为等差数列，
∴3an－1＝54(n≥2)，
∴an－1＝18(n≥2)，
又a2＝2，Sn＝100，
∴Sn＝＝＝100.
∴n＝10，故选D.
(2)因为等差数列{an}共2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，记奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1－S2＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1)－(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝a1＋nd＝an＋1＝319－290＝29.
题型三　等差数列前n项和的最值
典例3　(1)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝_8__时，{an}的前n项和最大．
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝8，S4＝36.
①求{an}的通项公式；
②当n为何值时，Sn有最大值？并求其最大值．
[分析]　求Sn的最大值，可以利用数列的通项公式求解，也可以利用前n项和的函数特性求解．
[解析]　(1)8　由等差数列的性质，得a7＋a8＋a9＝3a8>0，a8>0.
又因为a7＋a10<0，所以a8＋a9<0，所以a9<0，所以S8>S7，S8>S9，即数列{an}的前8项和最大．
(2)①设公差为d，由题意得
即解得∴an＝－2n＋14.
②由①得Sn＝＝－n2＋13n
＝－2＋.
当n取与最接近的整数，即6或7时，Sn有最大值，最大值为S6＝S7＝－72＋13×7＝42.
[规律方法]　等差数列前n项和最值的两种求法
(1)转折项法．
①当a1>0，d<0时，由不等式组
可求得Sn取最大值时的n值．
②当a1<0，d>0时，由不等式组
可求得Sn取最小值时的n值．
(2)利用二次函数求Sn的最值．
知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn＝an2＋bn(a≠0)的形式，我们可将其变形为Sn＝a2－.
①若a>0，则当2最小时，Sn有最小值；
②若a<0，则当2最小时，Sn有最大值．
对点训练 (1)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为_20__.
(2)已知等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11.那么当n＝_7__，Sn取最大值．
[解析]　(1)方法一：对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值．因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，当Sn取得最大值时，对任意n∈N*满足解得n＝20.
即满足对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立的k的值为20.
方法二：同方法一可得公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，则n＝1时，a1＝39，所以Sn＝n2＋n＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，即当n＝20时，Sn取得最大值，从而满足对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立的k的取值为20.
(2)S3＝S11，所以其对称轴为n＝＝7，知n＝7时Sn取最大值．
易错警示
由和求项注意验证首项
典例4　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
[错解]　∵an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，
∴数列{an}是等差数列．
[误区警示]　an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证．
[正解]　a1＝S1＝6，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，
∴an＝显然a2－a1＝6－6＝0，a3－a2＝2，∴{an}不是等差数列．
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11＝( B )
A．58　　　 B．88　　　
C．143　　　 D．176
[解析]　S11＝＝＝＝88.
2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( B )
A．31 B．32
C．33 D．34
[解析]　由已知可得
解得
∴S8＝8a1＋d＝32.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( C )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析]　am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，公差d＝am＋1－am＝3－2＝1.由Sm＝＝0，得a1＝－am＝－2.
∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5.
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝ 2　.
[解析]　由题意得2＝3＋6，
化简得3d＝6，
∴d＝2.第2课时　等差数列习题课
学习目标
1．会利用数列的前n项和Sn求数列的通项公式an.
2．会使用裂项相消法求数列的前n项和．
3．掌握各项含有绝对值的等差数列前n项和的计算方法．
核心素养
1．等差数列前n项和公式Sn求an.培养数学运算素养．
2．借助裂项相消法求和的方法学习，培养直观想象素养.
知识点 1　知Sn求an
已知数列的前n项和Sn，若a1适合an，则通项公式an＝_Sn－Sn－1__，若a1不适合an，则 an＝　.
练一练：
若数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n，则{an}的通项公式是an＝_2n－8__.
[解析]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－7n)－[(n－1)2－7(n－1)]＝2n－8，
而a1＝S1＝－6，也符合上式，
所以an＝2n－8.
知识点 2　裂项相消法求和
形如 　(bn－an＝d，d为常数)的数列适合用裂项求和，其裂项形式为＝ 　.
练一练：
数列{an}中，an＝，其前n项和是Sn，则S6＝( D )
A． B．
C． D．
[解析]　因为an＝＝－，
所以S6＝a1＋a2＋a3＋…＋a6＝1－＋－＋－＋－＋－＋－＝1－＝.
题型探究
题型一　已知数列的前n项和Sn求通项an
典例1　(1)数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝( A )
A．7　　　　　 B．8　　　　　
C．9　　　　　 D．17
(2)数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n－1，求数列{an}的通项公式；
(3)已知数列{an}的前n项和为Sn满足a1＝，an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
[分析]　(1)求a4 Sn＝n2－1 a4＝S4－S3.
(2)求{an}的通项公式 Sn＝－n2＋n－1 分n＝1与n≥2 检验 结论．
(3)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，消去式中an，得到Sn的递推关系 {Sn}的通项公式 an.
[解析]　(1)a4＝S4－S3＝42－1－32＋1＝7.
(2)n＝1时，a1＝S1＝－＋1－1＝－，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－1－＝－3n＋，因为a1＝－不适合an＝－3n＋，
所以an＝
(3)因为an＋2Sn·Sn－1＝0，
所以an＝－2Sn·Sn－1.
当n＝1时，a1＝.
当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1，
所以Sn－Sn－1＝－2SnSn－1①.
因为a1＝，所以SnSn－1≠0，
①式的两边同除以SnSn－1得：
－＝－2，即：－＝2，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以＝2＋2(n－1)＝2n，即：Sn＝，
则an＝－2SnSn－1＝－(n≥2)．
因为a1＝不满足an＝－(n≥2)，所以数列的通项公式为an＝
[规律方法]　1.由Sn求通项公式an的步骤：
第一步：令n＝1，则a1＝S1，求得a1；
第二步：令n≥2，则an＝Sn－Sn－1；
第三步：验证a1与an的关系；
(1)若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1.
(2)若a1不适合an，则an＝
2．Sn与an的关系式的应用
(1)“和”变“项”．
首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式．
(2)“项”变“和”．
首先将an转化为Sn－Sn－1，得到Sn与Sn－1的关系式，然后求Sn.
对点训练 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a8＝( B )
A．64 B．128
C．32 D．216
(2)正项数列{an}，a1＝1，前n项和Sn满足Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)，则a10＝( A )
A．72 B．80
C．90 D．82
(3)设数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋1，那么此数列的通项公式an＝ 　.
[解析]　(1)an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，
又S1＝21＝2，a1＝21－1＝1.不符．
∴an＝
∴a8＝28－1＝27＝128.
(2)由Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)，两边同除以，得－＝2；而S1＝a1＝1，∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝4n2－4n＋1；再根据an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得an＝8n－8(n≥2)，所以a10＝8×10－8＝72.
(3)由题意知，当n＝1时，a1＝S1＝0，
当n≥2时，Sn＝－n2＋1①，
Sn－1＝－(n－1)2＋1②
所以①－②，得an＝Sn－Sn－1＝－2n＋1.
∵a1＝0不适合an＝－2n＋1.
∴an＝
题型二　裂项求和
典例2　在数列{an}中，an＝＋＋…＋.又bn＝，求数列{bn}的前n项和．
[分析]　首先化简{an}的通项公式，求出bn后再利用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和．
[解析]　因为an＝＋＋…＋＝＝，
所以bn＝＝＝＝8.
因此数列{bn}的前n项和为Sn＝8＋8＋…＋8＝8＝.
[规律方法]　裂项相消求和
(1)适用数列：形如(bn－an＝d，d为常数)的数列可以用裂项求和．
(2)裂项形式：＝.
(3)规律发现：一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形，如分离常数、有理化等；二是裂项后不是相邻项相消的，要写出前两组、后两组观察消去项、保留项．
(4)特殊裂项：
①＝＝.
②＝－.
③＝.
④＝1＋.
对点训练 (1)已知数列{an}为等差数列，且a2＝2，a6＝6，则＋＋…＋＝( C )
A． B．
C． D．
(2)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5与a7的等差中项为13，{an}的前n项和为Sn.
①求an以及Sn；
②若bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)设数列{an}的公差为d，
由已知得，解得a1＝1，d＝1，
所以an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝ －，
因此 ＋＋…＋＝1－ ＋ － ＋…＋ －＝1－＝.
(2)①设等差数列{an}的公差为d，
由得
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，Sn＝na1＋d＝n2＋2n.
②由题意可得bn＝＝＝
＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋＋＋…＋
＝＝.
题型三　含绝对值的数列的前n项和
典例3　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解析]　(1)设等差数列的公差为d，
由题意可得
即解得
所以an＝13－2(n－1)＝15－2n.
(2)因为Sn＝＝14n－n2，
令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N*，
当n≤7时，则an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2；
当n≥8时，则an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)
＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98；
综上所述：Tn＝
[规律方法]　已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤：
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点；
第二步，求和，①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)可分段求和再相加．
对点训练 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2－10n.
(1)求an；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解析]　(1)①当n＝1时，a1＝S1＝－9；
②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－(n－1)2＋10n－10＝2n－11，
对n＝1也成立，所以an＝2n－11(n∈N*)；
(2)当1≤n≤5时，an<0，即Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝10n－n2.
当n≥6时，an>0，Tn＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an)＝－S5＋Sn－S5＝n2－10n＋50，
综上，Tn＝
易错警示
裂项求和要找准相加相消的规律
典例4　求数列的前n项和．
[错解]　∵＝，
∴数列的前n项和Sn＝＝＝＋.
[误区警示]　错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项．
[正解]　∵＝，
∴数列的前n项和
Sn＝
＝
＝－.
[点评]　运用裂项相消法求和时，要弄清消去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找出规律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或漏项、错项的错误．
1．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12的值为( A )
A．100 B．99
C．120 D．130
[解析]　a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7
＝122＋12＋1－72－7－1＝100.
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于( C )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
[解析]　an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，
由an<180得n<13且n∈N*，
由n边形内角和定理得，
(n－2)×180＝n×120＋×5.
解得n＝16或n＝9，
∵n<13，∴n＝9.
3．等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为( D )
A．a3＋a5 B．a2＋2a10
C．a20＋d D．a12＋a9
[解析]　∵S20＝×20＝10(a1＋a20)，∴M＝a1＋a20＝a12＋a9.故选D.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝_190__.
[解析]　令an＝2n－30≥0，即n≥15，故前14项都是负数，
所以S10＝－(a1＋a2＋…＋a10)
＝－＝190.3.1　等比数列的概念及其通项公式
第1课时　等比数列
学习目标
1．掌握等比数列的概念、判定方法和通项公式．
2．理解等比数列通项公式的推导过程．
3．掌握等比数列通项公式的简单应用．
核心素养
1．通过对等比数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助等比数列通项公式的简单应用，提升数学运算素养.
知识点 1　等比数列
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于_同一个常数__，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
(2)符号语言：在数列{an}中，若＝q(q为常数，且q≠0)对任意n∈N*都成立，则数列{an}是等比数列．
[提醒]　“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒．
想一想：
1．为什么等比数列的每一项均不为零？
提示：若存在一项为零，设这一项为ak，则
(1)若ak不是最后一项，它将不能与ak＋1作比；
(2)若ak是最后一项，可推知公比q等于零，从而a2＝0，它将不能与a3作比．
故等比数列的每一项均不能为零．
2．常数列一定是等比数列吗？
提示：不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数列；当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等比数列的任意一项均不为零．( √ )
(2)等比数列{an}的公比q＝.( × )
(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( × )
(4) n∈N*，an＋1＝qan，其中q是常数且不为零，则{an}是等比数列．( × )
2．下面四个数列中，一定是等比数列的是( D )
A．q,2q,4q,6q B．q，q2，q3，q4
C．q,2q,4q,8q D．，，，
[解析]　对于A，B，C：当q＝0时不是等比数列，故A，B，C错误；对于D：由已知可得q≠0，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确．
知识点 2　等比数列的通项公式
首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为_an＝a1qn－1__.
[提醒]　(1)已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项．
(2)在通项公式中，有an，a1，q，n四个量，如果已知任意三个，那么可求出第四个量．
想一想：
等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？
提示：an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的值，即an＝f(n)．数列{an}图象上的点(n，an)都在指数函数f(x)的图象上．反之指数函数f(x)＝ax＝a·ax－1(a>0，a≠1)可以构成一个首项为a，公比为a的等比数列{a·an－1}．
练一练：
1．已知等比数列{an}的公比为正数，若a3a9＝2a，a2＝2，则a1＝( C )
A． B．
C． D．2
[解析]　设等比数列{an}的公比为q，q>0，
a3a9＝2a a2·q·a2·q7＝2(a2q3)2 q2＝2，
因为q>0，所以q＝，而a2＝2，
所以a1＝＝＝.
2．已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝－1，则数列{an}的公比q为_－2__.
[解析]　q3＝＝－8，所以q＝－2.
题型探究
题型一　等比数列通项公式及应用
典例1　在等比数列{an}中，
(1)a1＝3，a3＝27，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[分析]　(1)已知等比数列的通项公式an＝a1qn－1代入a1，a3，求出q，最后求出an.
(2)已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出a1，q，由an＝1求n.
[解析]　(1)设公比为q，则a3＝a1·q2，
所以27＝3q2，所以q＝±3，
an＝3n或an＝－(－3)n.
(2)设公比为q，由题意，得
由得q＝，∴a1＝32.
又an＝1，∴32×n－1＝1，
即26－n＝20，∴n＝6.
[规律方法]　与等比数列通项有关的基本量计算
(1)常规方法：根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q，再求an；
(2)整体法：利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这里体现了整体思想的应用．
对点训练 在等比数列{an}中：
(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意得解得q＝.
∴a3＋a6＝a3＋a3q3＝a3(1＋q3)＝36，
∴a3＝32.
∴an＝a3·qn－3＝32×n－3＝n－8＝，
∴n－8＝1，∴n＝9.
(2)∵a7＝a5q2，∴q2＝，
∵an>0，∴q＝.
∴an＝a5·qn－5＝8×n－5＝n－8.
题型二　等比数列的判定与证明
角度1　等比数列的判定
典例2　(1)已知数列{an}满足an＋1＝an，若a4＝8，则a1等于( C )
A．1 B．2
C．64 D．128
(2)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4”是“{an}是公比为2的等比数列”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)因为数列{an}满足an＋1＝an，
所以该数列是以为公比的等比数列，
又a4＝8，所以＝8，即a1＝64.
(2)an＝2an－1，n＝2,3,4，有可能数列每一项都是零，此时数列不是等比数列，反过来{an}是公比为2的等比数列，则一定满足an＝2an－1.故为必要不充分条件．
[规律方法]　判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列；
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
对点训练 (1)数列{an}满足a4＝1，an＋1－2an＝0(n∈N*)，则a1等于( B )
A． B．
C． D．
(2)已知数列{an}，则“{an}为等比数列”是“a＝an－1·an＋1，n＝2,3,4…，”的( B )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)由an＋1－2an＝0，得数列{an}为等比数列，且公比为2，
又a4＝1，则8a1＝1，即a1＝.
(2)若{an}成等比数列，则a＝an－1·an＋1成立，当an－1＝an＝an＋1＝0时，满足a＝an－1·an＋1成立，但{an}成等比数列不成立，故“{an}为等比数列”是“a＝an－1·an＋1，n＝2,3,4，…”的充分不必要条件．
角度2　等比数列的证明
典例3　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1.
(1)证明：数列{an－2}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析]　(1)证明：因为an＋1＝an＋1，
所以an＋1－2＝(an－2)，
又a1－2＝－1≠0，所以＝，
所以{an－2}是首项为－1，公比为的等比数列．
(2)由(1)得an－2＝－1×n－1＝－，
所以an＝2－.
[规律方法]　1.证明一个数列是等比数列，可考虑用定义证明，即证明＝q(q为常数，且n≥2)．
2．说明一个数列不是等比数列，只需说明存在两个相邻两项的比不等即可．
对点训练 已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.求证：数列为等比数列．
[证明]　因为＝＋，
所以－2＝－＝，
又因为－2＝－≠0，
所以是首项为－，公比为的等比数列．
易错警示
忽视等比中项的符号致错
典例4　等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
[错解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，
∴q≠1，由已知，得
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∴由②除以①，得q(1－q)＝.
∴q＝，∴a1＝＝96.
∴a6＝a1q5＝96×5＝3.
∵a5，a7的等比中项为a6，
∴a5，a7的等比中项为3.
[误区警示]　错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．
[正解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1，
由已知，得，
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∴由得q(1－q)＝，
∴q＝，∴a1＝＝96.
令G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9，
∴a5，a7的等比中项是±3.
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( A )
A．64　　　　　　　　 B．81
C．128 D．243
[解析]　设等比数列的公比为q，
∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.
又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，
∴a7＝26＝64.
2．(多选)若{an}是等比数列，则下列是等比数列的是( ACD )
A．{－2an} B．{an＋an＋1}
C． D．{4anan＋1}
[解析]　设{an}的公比为q，则＝q，＝＝q(常数)，故A正确；若q＝－1，则an＋1＋an＝0.(等比数列的各项不能为0)，故B错误；＝＝(常数)，故C正确；＝·＝q2(常数)，故D正确．
3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( C )
A．4 B．8
C．6 D．32
[解析]　设这个数列有n项，则128＝4×2n－1，∴2n－1＝32，∴n＝6.
4．等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于_1或－2__.
[解析]　∵在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，∴a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0.解得q＝1或q＝－2.第2课时　等比数列的性质及应用
学习目标
1．结合等差数列的性质，理解等比数列的性质．
2．掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项．
3．理解等比数列的单调性与a1，q的关系．
核心素养
1．通过等比数列的性质的应用，培养数学运算素养．
2．借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养.
知识点 1　等比中项
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成_等比数列__，那么称G为a，b的等比中项．
[提醒]　(1)只有两个正数或两个负数才有等比中项；
(2)注意：若G2＝ab，G不一定是a与b的等比中项，例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．
练一练：
1．在等比数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于( D )
A．－5 B．5
C．－9 D．9
[解析]　方法一：由题设，q2＝＝3，
所以a6＝a4q2＝9.
方法二：由等比数列性质，a2a6＝a，
所以1×a6＝32，即a6＝9.
2．1与9的等比中项为_±3__.
[解析]　1与9的等比中项为±＝±3.
知识点 2　等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(1)当或 　时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当或 　时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q＝1时，等比数列{an}为_常数列__(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．
练一练：
在等比数列{an}中，首项a1<0，要使数列{an}对任意正整数n都有an＋1>an.则公比q应满足( B )
A．q>1 B．0C．[解析]　在等比数列{an}中，首项a1<0，
若an＋1>an，即a1qn>a1qn－1，
因为a1<0，所以qn因为数列{an}对任意正整数n都有an＋1>an，所以q>0，
所以q－1<0，解得0知识点 3　等比数列的性质
1．等比数列的项之间的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am·_qn－m__(m，n∈N*)．
(2)多项关系
项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am·an＝_ap·aq__.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，
则am·an＝_a__.
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·_an－1__＝ak·_an－k＋1__＝a(n为正奇数)．
练一练：
1．在等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8·a9·a10·a11＝( B )
A．10 B．25
C．50 D．75
[解析]　a8·a11＝a9·a10＝a5·a14，∴a8·a9·a10·a11＝(a5·a14)2＝25.
2．在由正数组成的等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝_16__.
[解析]　∵{an}成等比数列，
∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，
∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)，
∴a5＋a6＝＝16.
题型探究
题型一　等比数列的单调性
典例1　在等比数列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，则数列{an}为( A )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
[解析]　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.
又a1>0，所以数列{an}为递增数列．
[规律方法]　由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．
对点训练 在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是( D )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
[解析]　如等比数列{(－1)n}的公比为－1，为摆动数列，不具有单调性；等比数列的公比为，是递减数列；等比数列的公比为，是递增数列.
题型二　等比数列性质的应用
典例2　已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[分析]　→
[解析]　(1)∵a2a4＝a，a4a6＝a，
∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2·…·a9a10)
＝log3(a5a6)5＝log3310＝10.
[规律方法]　等比数列性质的作用
1．利用等比数列的性质解题，会起到化繁为简的效果．
2．等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥“下标”的“指引”作用．
对点训练 (1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝_25__；
(2)数列{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝_1或64__；
(3)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_50__.
[解析]　(1)方法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，
∴a8a9a10a11＝52＝25.
方法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5，
∴a8a9a10a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(a·q17)2＝25.
(2)∵a1a9＝a3a7＝64，∴a3，a7是方程x2－20x＋64＝0的两根．
解得或.
①若a3＝4，a7＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝4，
∴a11＝a7q4＝16×4＝64.
②若a7＝4，a3＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝，
∴a11＝a7q4＝4×＝1.故a11＝64，或a11＝1.
(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.
令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，则2S＝(ln a1＋ln a20)＋(ln a2＋ln a19)＋…＋(ln a20＋ln a1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20ln e5＝100，所以S＝50.
题型三　等比数列的实际应用
典例3　光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，……，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的 ( C )
A．2倍 B．4倍
C．8倍 D．16倍
[解析]　单位时间内的进光量形成公比为的等比数列{an}，则F4对应单位时间内的进光量为a5，F1.4对应单位时间内的进光量为a2，从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的＝8倍．
[规律方法]　关于等比数列在应用问题中的应用
首先根据题意判断是否是等比数列模型，其次分析等比数列的首项、公比、项数，最后利用等比数列的通项公式计算解题．
对点训练 (1)计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( C )
A．300元　　 B．900元
C．2 400元　　 D．3 600元
(2)生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为( D )
A．10－2 kJ B．10－1 kJ
C．102 kJ D．103 kJ
[解析]　(1)第一年价格为：8 100×＝5 400；
第二年价格为：5 400×＝3 600；
第三年价格为：3 600×＝2 400.
(2)能量流动法则表明能量的效率大约是10%，如果要使H3获得10 kJ能量，则H1×(10%)2＝H3，解得H1＝103 kJ.
易错警示
忽略等比数列中的项的符号致错
典例4　在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为( A )
A．9 B．－9
C．±9 D．18
[错解]　∵a3a7＝a4a6＝a1a9，
∴(a1a9)2＝81，∴a1a9＝±9，故选C．
[误区警示]　本题易忽略在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件，而得到a1a9＝±9.
[正解]　因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.
所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.
因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，
所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
1．在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝( C )
A．24 B．30
C．54 D．108
[解析]　∵a8＝a4q4，∴q4＝＝＝3，∴a12＝a8·q4＝18×3＝54.
2．在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝( B )
A．6 B．2
C．2或6 D．－2
[解析]　由题意知，a2＋a18＝－6，a2a18＝4，∴a2<0，a18<0，∴a10<0，又∵a＝a2·a18＝4，∴a10＝－2.又a4a16＝a2·a18＝4，∴a4a16＋a10＝4－2＝2.故选B.
3．设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且bn＝log2an，则“{bn}为递减数列”是“0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　由题设an＝a1qn－1>0且q>0，则bn＝log2a1＋(n－1)log2q＝nlog2q＋log2，
若{bn}为递减数列，故log2q<0，则0若0所以“{bn}为递减数列”是“04．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 　.
[解析]　设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.
∵0第1课时　等比数列的前n项和
学习目标
1．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
核心素养
1．通过等比数列的前n项和公式的应用，培养数学运算素养．
2．能利用等比数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题，培养数学建模素养.
知识点　等比数列前n项和公式及推导
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn＝ Sn＝
[提醒]　若题目中q为字母参数，不确定具体数值，则求等比数列的前n项和时，应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论．
想一想：
当q≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn是n的函数，该函数的解析式有什么特点？
提示：Sn＝＝－qn＋，Sn是关于n的指数型函数，其中指数式的系数与常数互为相反数．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有等比数列的前n项和都可以直接使用公式Sn＝.( × )
(2)数列{an}的前n项和Sn＝aqn＋b(q≠1)，则数列{an}一定是等比数列．( × )
(3)等比数列的前n项和不可以为0.( × )
提示：(1) 当q＝1时，Sn＝na1.
(2) 只有当a与b互为相反数时，数列{an}才是等比数列．
(3) 例如1，－1,1，－1，….
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝3,2a1＋a2＝4，则S6＝( D )
A．128 B．127
C．64 D．63
[解析]　由
解得所以公比q＝2，
所以S6＝＝63.
3．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( A )
A． B．－
C． D．
[解析]　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，
因为S3＝8，S6＝7，所以S6－S3＝－1，所以8，－1，S9－S6成等比数列，
则8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝ ，
所以a7＋a8＋a9＝ .
4．在等比数列{an}中，若a1＝8，q＝，an＝，则Sn的值是 　.
[解析]　在等比数列{an}中，因为a1＝8，q＝，an＝，所以an＝a1·qn－1＝8×n－1＝n－4＝，所以n－4＝1，n＝5，
所以Sn＝S5＝＝.
题型探究
题型一　与等比数列前n项和有关的基本运算
典例1　(1)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2且S3＝2a3－2，则公比q＝( B )
A． B．2
C．3 D．
(2)已知数列{an}为等比数列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，an＝125，求Sn.
[解析]　(1)由S3＝2a3－2得a3－a2－a1－2＝0，
又a1＝2，所以q2－q－2＝0，
即(q－2)(q＋1)＝0，
所以q＝2或q＝ －1(舍去)．
(2)设该等比数列的公比为q，
由a4－a2＝24，a2＋a3＝6，
得a2q2－a2＝24，a2＋a2q＝6，
解得a2＝1，q＝5，
所以a1＝＝，
所以an＝a1qn－1＝5n－2，
令an＝125，解得n＝5，
所以S5＝＝.
[规律方法]　等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．
提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧．
对点训练 (1)设{an}是正项等比数列，Sn为其前n项和，已知a1a5＝1，S3＝7，则S6＝( B )
A． B．
C． D．
(2)在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝( C )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析]　(1)因为{an}是正项等比数列，
所以an>0，q>0，
由等比中项得a1a5＝a＝1，解得a3＝1，
所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4，
所以S6＝＝.
(2)由题意知q4＝＝16且q>0，则q＝2，a1＝2，所以Sn＝＝510，解得n＝8.
题型二　等比数列前n项和公式的函数特征
典例2　已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn＝3n－1＋k(n∈N*)，则常数k＝ －　.
[解析]　方法一：由已知得，a1＝S1＝1＋k，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6.
因为数列{an}是等比数列，故a＝a1a3，
即22＝6(1＋k)，解得k＝－.
方法二：因为数列{an}是等比数列，
故Sn＝＝－qn＋.
又因为Sn＝3n－1＋k＝3n×＋k，
故可得k＝－.
[规律方法]　等比数列前n项和公式的特征
数列{an}是非常数数列的等比数列 Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0,1，n∈N*)．
即指数式的系数与常数项互为相反数，其中A＝.
对点训练 设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝k·2n－3，则ak＝( C )
A．4 B．8
C．12 D．16
[解析]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k·2n－1；
当n＝1时，a1＝S1＝2k－3＝k·21－1，
解得k＝3，∴ak＝a3＝3·23－1＝12.故选C．
题型三　等比数列前n项和的性质应用
典例3　(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n；
(2)一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
[分析]　运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
[解析]　(1)方法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.
由题意得，
②÷①得1＋qn＝，
∴qn＝，把qn＝代入①得＝64，
∴S3n＝＝64＝63.
方法二：由题意知，公比q≠－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
(2)设数列{an}的首项为a1，公比为q，奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，
由题意得S奇＋S偶＝4S偶，
即S奇＝3S偶．
∵数列{an}的项数为偶数，
∴q＝＝.
又∵a1a2a3＝aq3＝64，
∴a1＝12，
∴an＝a1·qn－1＝12×n－1.
[规律方法]　等比数列前n项和的性质
(1){an}是公比不为－1的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(2)在等比数列{an}中，当项数为2n(n∈N*)时，＝q.
对点训练 (1)设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝( B )
A．32 B．64
C．72 D．216
(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
[解析]　(1)由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，S12－S9＝64，即a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
(2)方法一：设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋)．
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，
∴＝85,4n＝256，∴n＝4.
故公比为2，项数为8.
方法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
∴q＝＝＝2.
又Sn＝85＋170＝255，据Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8.
题型四　等比数列前n项和公式的实际应用
典例4　中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天走了( D )
A．60里 B．48里
C．36里 D．24里
[解析]　记每天走的路程里数为{an}，可知
{an}是公比为q＝的等比数列，
因为S6＝378，所以＝378，
解得a1＝192，
所以a4＝192×＝24.
[规律方法]　求解数列应用问题应明确以下几个问题：
(1)是哪一类数列模型；
(2)是否能直接求出通项公式，否则先建立递推公式；
(3)是求和还是求项；
(4)数列的项数．
对点训练 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟. 羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各偿还多少？该问题中，1斗为10升，则羊主人应偿还粟( C )
A．升 B．升
C．升 D．升
[解析]　设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1，a2，a3，则{an}是公比为的等比数列，
所以S3＝＝50，
解得a1＝，所以羊主人应偿还：
a3＝×＝升粟．
易错警示
忽略对公比q的讨论致误
典例5　已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
[错解]　由等比数列的前n项和公式得S3＝＝＝6，
∴＝3，
∴1＋q＋q2＝3，∴q2＋q－2＝0.
∴q＝－2或q＝1(舍去)∴a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
[误区警示]　错解中由于没讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝，从而导致漏解．
[正解]　若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝＝＝6，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
1．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝( B )
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
[解析]　∵a1＝1，a4＝，∴q3＝，∴q＝.
∴S10＝＝2－.故选B.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，则S3＋T5＝( C )
A．13 B．25
C．37 D．41
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，因为a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，
所以
解得
所以S3＋T5＝3a1＋3d＋＝3＋3＋＝37.
3．已知在等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1，∴qn－1＝32＝25.
令n＝6，q＝2，这时S6＝＝189，符合题意，
故选C．
4．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则通项an＝_2n－1__.
[解析]　当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，
又a1＝1也适合上式，
所以an＝2n－1.5　数学归纳法
学习目标
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
核心素养
通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升逻辑推理素养.
知识点　数学归纳法
一般地，证明某些与正整数n有关的数学命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_n0__(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；
(2)(归纳递推)假设当 n＝k(k∈N＋，k≥n0)　时命题成立，证明当_n＝k＋1__时，命题也成立．
根据(1)(2)可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫作数学归纳法．
[提醒]　在第二个步骤证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当n＝k时命题成立”这一条件．
想一想：
1．验证的第一个值n0一定是1吗？
提示：不一定，如证明“凸n边形对角线的条数f(n)＝”时，第一步应验证n＝3是否成立．
2．在第二步证明中，必须从归纳假设用综合法证明吗？
提示：不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法．
练一练：
1．用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析]　显然当n＝1时，21>12，而当n＝2时，22＝22，A错误；当n＝3时，23<32，B错误；当n＝4时，24＝42，C错误；当n＝5时，25>52，符合要求，D正确．
2．在用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋2n＝(n∈N*)的过程中，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上_(2k＋1)＋(2k＋2)__.
[解析]　假设当n＝k时，1＋2＋3＋…＋2k＝，当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2k＋2，显然是在n＝k的基础上加上(2k＋1)＋(2k＋2)．
题型探究
题型一　用数学归纳法证明等式
典例1　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋.
[证明]　①当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据①和②可知等式对任何n∈N＋都成立．
[规律方法]　用数学归纳法证明等式的规则
(1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．
(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法．
对点训练 用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
[证明]　①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＝＋＝，
即当n＝k＋1时等式成立．
由①②可得，对于任意的n∈N*等式都成立.
题型二　用数学归纳法证明不等式
典例2　用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2)．
[分析]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[证明]　①当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
②假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<
2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－命题成立．
由①②知原不等式在n≥2时均成立．
[规律方法]　用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：
(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．
对点训练 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．
[证明]　①当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋<2＋
＝<
＝＝2.
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立.
题型三　用数学归纳法证明整除问题
典例3　证明：n3＋5n(n∈N＋)能够被6整除．
[证明]　①当n＝1时，n3＋5n＝6，显然能够被6整除，命题成立．
②假设当n＝k时，命题成立，即n3＋5n＝k3＋5k能够被6整除，
当n＝k＋1时，n3＋5n＝(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6，
由假设知：k3＋5k能够被6整除，
而k(k＋1)为偶数，故3k(k＋1)能够被6整除，
故(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6能够被6整除，
即当n＝k＋1时，命题成立，
由①②可知，命题对一切正整数成立，
即n3＋5n(n∈N＋)能够被6整除．
[规律方法]　用数学归纳法证明整除问题的方法及关键
用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出使假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，从而利用归纳假设使问题得到解决．
对点训练 证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
[证明]　①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除．
综合①②，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
题型四　数学归纳法在数列中的应用
典例4　已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
(1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．
[分析]　(1)由题意Sn＝，令n＝1，因为S1＝a1，可求出a1的值，再反复代入，分别求出a2，a3，总结出规律写出通项公式；
(2)根据(1)中的猜想，利用归纳法进行证明，假设当n＝k时成立，然后利用已知条件验证n＝k＋1时也成立，从而求证．
[解析]　(1)由＝得Sn＝，由Sn可求得a1＝2，a2＝6，a3＝10，由此猜想{an}的通项公式an＝4n－2，n∈N*.
(2)①当n＝1时，a1＝2，等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即ak＝4k－2，
∴ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
∴(ak＋1＋ak)(ak＋1－ak－4)＝0.
又ak＋1＋ak≠0，∴ak＋1－ak－4＝0，
∴ak＋1＝ak＋4＝4k－2＋4＝4(k＋1)－2，
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，an＝4n－2对任何n∈N*都成立．
[规律方法]　用数学归纳法求数列通项公式的一般步骤：
(1)由已知条件求出数列的前几项；
(2)依据求出的前几项猜想数列的通项；
(3)用数学归纳法证明上面的猜想是正确的．
对点训练 已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
[解析]　(1)依题设可得，当n＝1时，S1＝a1.
即a1＝S1＝1－a1，即a1＝，
由Sn＝1－nan分别求得a2＝，a3＝，a4＝，
故a1＝＝，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
(2)猜想：an＝.
证明如下：①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，
即ak＝，
当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
又Sk＝1－kak＝，
所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
从而ak＋1＝＝.
即n＝k＋1时，猜想也成立．由①②可知，猜想成立．
易错警示
未用归纳假设而致误
典例5　用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N*)．
[错解]　①当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立．
②假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2(2k－1)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
[误区警示]　错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
[正解]　①当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
②假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)·π”时，归纳奠基中n0的取值应为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的值应为3.
2．一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( B )
A．一切正整数命题成立
B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立
D．以上都不对
[解析]　本题证明了当n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．
3．用数学归纳法证明“＋＋…＋>”时，由k到k＋1，不等式左边的变化是( C )
A．增加一项
B．增加和两项
C．增加和两项，同时减少一项
D．以上结论都不正确
[解析]　当n＝k时，左边＝＋＋…＋，
当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋
＋＋，故不等式左边的变化是增加和两项，同时减少一项．
4．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此推测，当n>2时，有 f(2n)>　.
[解析]　自变量的取值依次为2,4＝22,8＝23,16＝24,32＝25，…，故为2n.右边分母全为2，分子依次为3,4,5,6,7，…，故右边为，即f(2n)>.

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