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人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题（特殊三角形问题）专题训练
1．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点．
(1)求的面积；
(2)若点为直线上方抛物线上的动点，求点到直线距离的最大值；
(3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，平移后的顶点记作，原抛物线的顶点关于新抛物线的对称轴的对称点记作为直线上的动点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若，求P点坐标．
(3)当点P运动到什么位置时，三角形的面积最大？求出此时P点的坐标和三角形的最大面积．
3．如图，直线 与y轴交于A，与x轴交于B，抛物线 与直线交于A，E两点，与x轴交于C，D两点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为线段上一点，作轴交于于Q，当 时，求点P的坐标；
(3)作交x轴于F，点G是第四象限内抛物线上一点，若以C，D，G为顶点的三角形与相似，求出点G的坐标．
4．如图，已知抛物线与x轴交点为A、B，A在B的左侧，与y轴交点为点C，且抛物线与直线交于A、C．

(1)求直线的表达式；
(2)是D第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形面积的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标：若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A、B的坐标为，
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在直线BC上方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接DC、DB，当△BCD面积最大时，求出面积最大值和点D的坐标；
(3)如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接BE．点M为原抛物线对称轴上一点，以B、E、M为顶点的三角形是直角三角形时，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况．
6．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，直线经过点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将在直线上平移，平移后的三角形记为，直线交抛物线于，当时，求点的坐标；
(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线经过，两点，并且与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交于点N，设的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值；
(3)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，说明理由．
9．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于两点，与二次函数图象的对称轴交于点，其中点的坐标为，点在轴上．
(1)求的值及这个二次函数的关系式：
(2)求的面积；
(3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图在平面直角坐标系中，抛物线与直线：交于、两点，直线与y轴交于点，抛物线上的动点在直线的上方

(1)请直接写出点、点的坐标；
(2)连接、，当三角形的面积最大时，求点的坐标？
(3)连接、，当三角形以边为直角边时，求点的坐标？
(4)将直线向上平移7个单位后得到直线，请直接写出动点到直线的最短距离．
11．综合与探究
如图：抛物线经过点，两点，与轴交于点，连接AC．

(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出对称轴的表达式．
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点．
①在对称轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
②在轴上是否存在点与点关于直线对称，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．

(1)求直线的表达式；
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值；
(3)设抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在点M，使得是以为直角的三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
13．二次函数的图象与轴交于、两点，且点坐标，与轴交于点，点在点右侧，（如图所示）．

(1)这个二次函数的解析式是________，点的坐标为________．
(2)在轴上是否存在一点，使三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在第一象限中的抛物线上存在一点，使得四边形的面积最大．请求出点的坐标及面积的最大值．
14．如图，已知抛物线与轴交点为、，在的左侧，与轴交点为点，且抛物线与直线交于、．
(1)求直线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标；
(3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由．
16．如图甲，直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标．
(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点M，且点M的横坐标为1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．

(1)求线段的长度；
(2)如图1，连接，点P为直线上方抛物线上（不与B、M重合）的一动点，过点P作轴，交直线点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，新抛物线与原抛物线交于点H，G为原抛物线对称轴l上一点，当以G、N、H为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点G的坐标并写出求解过程．
18．如图，抛物线经过点、，交x轴于另一点B，点在第二象限的抛物线上．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)过点P作轴于点D，交于点E，作交y轴于点F．
①求出四边形的周长l与m的函数表达式，并求l的最大值；
②当四边形是菱形时，请求出P点的横坐标；
③是否存在点P，使得以P、E、C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，抛物线交轴于、两点，点坐标为，与轴交于点，以、为边作矩形交抛物线于点，点为边（不包括、两点）上一动点过点作轴的垂线交于点，交于点，交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，在抛物线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，当在上方的抛物线部分时，若以、、为顶点的三角形和相似，试求点的坐标，并判断此时的形状．
20．如图，抛物线上的点，坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接，．
　
(1)求点的坐标及抛物线的解析式；
(2)点是抛物线位于第一象限图像上的动点，连接，，当时，求点的坐标；
(3)点是线段（包含点，上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标；
(4)将抛物线沿轴的负方向平移得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　　，的最小值为 　　．
参考答案：
1．(1)15
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识．
（1）分别求出点A，点B的坐标，再联立方程组求出点C的坐标，由的面积，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）由点M、N、E的坐标得，，，，当时，列出等式，即可求解；当E或时，同理可解．
【详解】（1）令，则或，
即点A、B的坐标分别为：，，
，
联立方程组得，
解得：或，
∴点C的坐标为，
则的面积；
（2）由直线的表达式知，，
过点P作轴交于点H，则，
作于点N，则即为点P到直线的距离，
设点，则点，
则，
即点P到直线AC的距离的最大值为：；
（3）存在，理由：
∴，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
抛物线沿射线的方向平移个单位长度，相当于将抛物线向右平移了3个单位向上平移了3个单位，
则点，
则原顶点关于平移后抛物线的对称轴为直线的对称点为：点，
设点，
由点M、N、E的坐标得，，，，
当时，
则，
解得：或4，
即点E的坐标为：或；
当或时，
同理可得：或，
解得：（舍去）或无解；
综上，点E的坐标为：或．
2．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的性质．
（1）把，代入，求出a和c的值，即可得出二次函数表达式；
（2）根据，，得出点P的纵坐标为3，求出时自变量的值即可；
（3）先用待定系数法求出直线的函数表达式为，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，设，则，求出，再根据，得出，最后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴二次函数表达式为；
（2）解：∵，，
∴点P的纵坐标为3，
把代入得：，
解得：（舍去），，
∴；
（3）解：设直线的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，
设，则，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，三角形的面积最大，
此时，．
3．(1)
(2)点P的坐标为
(3)当G点坐标为或时，以C，D，G为顶点和三角形与相似
【分析】（1）由直线的解析式得出点A，点B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先设出点P的坐标，求出点E的坐标，再推导出点Q的坐标，根据列出方程，通过解方程即可确定P的坐标；
（3）先根据求出F的坐标，设出点G的坐标，根据相似三角形的性质，进行分类讨论，即可求出点G的坐标．
【详解】（1）解：∵直线与y轴交于A，与x轴交于B，
∴当时，，则，
当时，，解得，则，
把点，，．代入中，
得：，
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）解：依题意，联立直线和抛物线的解析式，
得，
即
解得或，
把代入，
解得，
故，
设，其中，
则，
如图：
∵，
∴，
解得，（不符合题意，故舍去）
∴
（3）解：过E作 轴于H，
∵， ，
∴ ，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴
∴，，
∴，
∵ ，
∴，
若，
则，
设所在的直线解析式为
∵
则所在的直线解析式为 ，
联立
整理得 ，
，
解得， ，
当时，
∴G点坐标为 ，
此时，，
∴，即，
∴，
故当G点坐标为时，，
由抛物线的对称性可知，关于对称轴直线的对称点，
此时，
∴，
综上所述，当G点坐标为或时，以C，D，G为顶点和三角形与相似．
【点睛】本题主要考查函数的综合问题，关键是要会用待定系数法求解析式、牢记等腰直角三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，相似三角形的判定及其性质，综合性较强，难度较大，解本题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用的过程．
4．(1)
(2)，
(3)存在，，
【分析】（1）求出、、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，由题意可得，则，，当时，的最大值为，此时，；
（3）设，，是菱形的对角线，根据菱形的性质可得方程组，求解方程组即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得或，
，，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
（2）过点作轴交于点，

点的横坐标为，
，则，
，
∴
∵，抛物线有最大值，
∴当时，取得最大值，
当时，，即
∴面积的最大值为，此时；
（3）存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：
，
设，，
是菱形的对角线，
，
，
解得，
，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，菱形的性质，待定系数法求解析式，抛物线与坐标轴交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质是解题的关键．
5．(1)
(2)，
(3)，，，
【分析】本题考查了二次函数的综合，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数的图象和性质，勾股定理，是解题的关键．
（1），代入，求出a和b的值，即可得出表达式；
（2）过D作轴交于H，用待定系数法求出解析式为，设，则．得出，则当时，DH最大值为，再根据，即可解答；
（3）先得出对称轴为直线，平移后解析式为，
联立两函数，求出，设，则表示出，，，然后进行分类讨论：①当时，②当时，③时，，由此即可求解．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解这个方程组，得，
∴该抛物线得表达式为；
（2）解：如图所示，过D作轴交于H，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴解析式为，
设，则．
则
，
当时，DH最大值为，
，
此时；
（3）解：∵，
∴抛物线向右平移一个单位长度后经过原点，
∵．
∴对称轴为直线，平移后解析式为，
联立两函数得：，
解得：，
∴，
设，则，，，
①当时，
，
解得：，
∴；
②当时，
，
解得： ，
∴；
③时，
，
解得：，
∴，．
综上：，，，．
6．(1)
(2)点的坐标为或或或
(3)点坐标为或或或
【分析】（1）把点，代入抛物线方程，用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得是等腰直角三角形，将在直线上平移，设向右平移个单位长度，则向上移动同样的单位长度，可得用含表示点，的坐标，根据即可求解；
（3）本题应分情况讨论：①将平移，令D点落在x轴（即E点）、B点落在抛物线（即F点）上，可根据平行四边形的性质，得出F点纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得F点坐标；②过D作x轴的平行线，与抛物线的交点符合F点的要求，此时F、D的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出F点坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过两点，
，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：直线经过点，且，
，解得，，
∴直线的解析式为，
，
是等腰直角三角形，
将在直线上平移，设向右平移个单位，则向上平移为个单位，
∴点的对应点的坐标为，直线交抛物线于，则，
当点在点下方时，，且，
，解得，，
∴点的坐标为或；
当点在点上方时，，且，
，解得，，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或；
（3）解：①平移直线，交x轴于E点，交抛物线于F点，

当时，四边形为平行四边形，此时点和点的纵坐标互为相反数，
，
设，则，
解得：或，
或，
②过D作轴与抛物线交于点点，过点作，交x轴于点，过点作，交x轴于点，此时四边形，为平行四边形，此时点点的纵坐标为，代入，
得：，
解得：或，
或，
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法是解题的关键．
7．(1)
(2)四边形面积S的最大值是，此时点的坐标是；
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得，即，由直线得出，将代入抛物线可得，解方程组即可得到答案；
（2）作轴于点，交于点，则，进而得到，则当时，，此时；
（3）先求得，设点的坐标为，分五种情况讨论：设直线与轴交于点，则，此题是等腰三角形；延长交直线于点，此时，但三点在同一条直线上，因此不存在以三点为顶点的等腰三角形；，且点在轴上方，由，列方程得，求得；，且点在轴下方，设直线与轴交于点，则，得到；，则，列得方程，可得 ．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
直线，当时，，
当时，，
解得，
，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：对于，
当时，，解得：，
∴点B的坐标为，
又∵，
∴，
∴，
如图2，作轴于点，交于点，

点的横坐标为，
，
，
，
，
当时，，即，此时，
∴四边形面积S的最大值是，此时点的坐标是；
（3）解：存在，
设点的坐标为，
则，
解得，
，
，
设点的坐标为，
如图3，设直线与轴交于点，

点点关于轴对称，
，
此题是等腰三角形，，
延长交直线于点，
，
，，
，
，
，
三点在同一条直线上，
不存在以三点为顶点的等腰三角形，
如图4，，且点在轴上方，

，
，
解得：，,
，
如图4，，且点在轴下方，
设直线与轴交于点，
，
，
，
如图4，，
，
，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
8．(1)抛物线的解析式为
(2)最大值为4
(3)点或
【分析】（1）将，两点代入求解即可得到答案；
（2）根据点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t得到点，结合轴得到点N的坐标，即可得到函数结合函数的性质求解即可得到答案；
（3）分，，讨论，结合线段相等列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得： ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，∵点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，
∴点，
∵轴，
∴点，
∴，
∴，
∴当时，h的值最大，最大值为4；
（3）解：在x轴的负半轴上存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下：
当时，
∵，
∴，
∵点，点P在x轴的负半轴上，
∴点，
当时，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵点P在x轴的负半轴上，
∴点，
当时，点P位于的垂直平分线上，
∵，
∴点O位于的垂直平分线上，
∴此时点P与点O重合，不合题意，舍去，
综上所述，在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形；
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及分类讨论特殊三角形问题．
9．(1)，
(2)3
(3)存在，点的坐标为或 或 或 或
【分析】将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
先求出，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解.
【详解】（1）直线过点，
，
，
，
设二次函数解析式为，
得：解得：，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，直线的解析式为，
直线与二次函数图象的对称轴交于点，
顶点标为
∴对称轴为，
设点，，
∴；
（3）存在,
∵顶点坐标为
∴对称轴为，
∴设点
又∵, 点，
，,
当时，则
，
∴点坐标为( 或
当 时, 则
，
∴点坐标为( 或
当 时, 则
，
∴点坐标为，
综上所述：点的坐标为或 或 或 或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.
10．(1)，
(2)点
(3)点或点
(4)
【分析】(1)解答由函数解析式联立组成的方程组的解，得到交点的坐标．
(2) 作直线，计算其解析式，过点P作轴于点N，交直线于点Q，设点，则，确定，根据构造二次函数计算即可．
(3)分和的两种情形计算即可．
(4)根据平移，得到直线得解析式为，设向上平移a个单位时，直线与抛物线相切，此时直线的解析式，得到，根据判别式为零，确定a值，设与轴的交点为F，与轴的交点为E，作出平行线间的距离，得到等腰直角三角形，求得，利用平行线间的距离处处相等即可得解．
【详解】（1）根据题意，得到方程组，
解方程组得，，
故，．
（2）过点作轴，交直线于点，

∵抛物线，直线：，，．
设点，则，
则，
∴
故面积有最大值，且当时，点．
（3）∵直线：，，
∴．
当时，
根据题意，得，
设点，
∴，
解得（舍去），
故点；
当时，
根据题意，得，
设点，
∴，
解得（舍去），
故点；
．
综上所述，点或点．
（4）如图，根据平移，得直线得解析式为，
设向上平移a个单位时，直线与抛物线相切，此时直线的解析式，
得到，
∴，
∴，
解得，
∴与抛物线相切，此时切点D到直线的距离最小，
设与轴的交点为F，与轴的交点为E，
∴，，
作出平行线间的距离，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
∴．
【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点坐标，构造二次函数求面积最值，分类计算点的坐标，两点间的距离公式，勾股定理，平行线的性质，根的判别式，熟练掌握构造二次函数求面积最值，分类计算点的坐标，两点间的距离公式，勾股定理，平行线的性质，根的判别式是解题的关键．
11．(1)，对称轴为
(2)①或；②
【分析】（1）待定系数法求得抛物线的解析式，根据抛物线与轴的交点坐标即可求得抛物线的对称轴；
（2）①分情况讨论：当，时，过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据全等三角形的判定的和性质可得，，设，即，代入即可求解；当，时，过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，根据矩形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定的和性质可得，，根据正方形的判定和性质可得，设，即，代入即可求解；
②根据对称的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得求得，，，，推得点的纵坐标为，代入即可求得点和点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，
将，两点代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
对称轴表达式为：．
（2）解：①当，时，
过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图：

∵，，
∴，，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
即，
又∵点是直线上方抛物线上的一个动点，
∴将代入，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故；
当，时，
过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，如图：

∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，
设，即，
又∵点是直线上方抛物线上的一个动点，
∴将代入，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
故；
综上所述，点的坐标为或．
②过点作，点作，交点为，连接，，如图：

∵点与点关于直线对称，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
即点的纵坐标为，
又∵点是直线上方抛物线上的一个动点，
∴将代入，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴，
∴,
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求得二次函数的解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定的和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
12．(1)直线为
(2)
(3)或.
【分析】（1）先求解，设直线为，可得，可得直线为；
（2）如图，过作轴交于，设，则，可得，则，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）先求解，由，设，可得，，，由，可得，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：∵抛物线，
当时，，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为；
（2）如图，过作轴交于，
设，则，
∴，
∴，
当时，；
（3）∵抛物线，
∴，
∵，设，
∴，，
，
∵，
∴，

∴，即，
解得：，，
∴或.
【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式,二次函数的图象与性质,二次函数的综合应用,勾股定理的应用,一元二次方程的解法,熟练的建立二次函数的解析式求解面积的最值是解本题的关键.
13．(1)，
(2)存在，点坐标是或或或
(3)，
【分析】（1）根据抛物线的性质和点坐标，，得出抛物线对轴为直线，，设二次函数的解析式为，把，代入得：，解方程组即可求解．
（2）分四种情况：①当时（在轴的负半轴），②当时（在轴的正半轴），③当时（在轴的正半轴），④当时（在轴的正半轴），分别求解即可．
（3）连接，设点坐标为，由，由求二次函数的最值方法求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于、两点，且点坐标，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴
设二次函数的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴．
（2）解：在中，∵，，∴
①当时（在轴的负半轴），
则，
∴
②当时（在轴的正半轴），
则，
∴
③当时（在轴的正半轴），
∵，
∴，
∴
④当时（在轴的正半轴），在中，设
则，解得，
∴，
综上，在轴上存在一点，使三角形是等腰三角形，满足条件的点坐标是或或或．
（3）解：连接，如图，

∵点在图象上，
∴设点坐标为，
，
∵，
∴的最大值为，此时点的坐标为，
∴在第一象限中的抛物线上存在一点，使得四边形的面积最大则点的坐标是，面积最大值是．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数的最值，等腰三角形分类讨论．熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解．
14．(1)
(2)面积的最大值为，此时
(3)存在，，
【分析】（1）求出、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（）过点作轴交于点，由题意可得，则，进而表示出面积，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）设，，是菱形的对角线，根据菱形的性质，勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：令，则
解得：
，，
令，解得：，
设直线的解析式为
，
解得
（2）过点作轴交于点，由题意可得，则，

，
，抛物线有最大值，
当时，取得最大值，
当时，，即
面积的最大值为，此时；
（3）存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：
，
设，，
是菱形的对角线，
，
解得：，
，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)存在，和
【分析】（1）先由直线的解析式为，求出它与轴的交点，与轴的交点的坐标，再将，两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点的坐标，再设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，再根据，列出关于的方程，解方程求出的值，进而得出点的坐标；
（3）设点坐标为，先由，两点坐标运用勾股定理求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于的方程，求出值，得出点坐标；②若，同①可求出对应的点坐标，进而得出结果．
【详解】（1）与轴的交点，与轴的交点的坐标，
当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为，
将，代入，
得，
抛物线的解析式为
（2）如图1，设第三象限内的点的坐标为，

则，.
，
对称轴为直线，顶点的坐标为，
设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，则，.
直线的解析式为，
当时，，
点坐标为.
，
以、、为顶点的三角形面积为3时，，
解得：，（舍去），
当时，
点的坐标为；
（3）设点坐标为，
，
分两种情况
①如图2，

若，
则，即，
，
点的坐标为；
②如图3，

若，
则，即
点的坐标为；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型，运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图像上的点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形面积的求法，直角三角形性质和勾股定理，其中利用面积的和差表示出和分类讨论是解本题的关键．
16．(1)
(2)最大面积为，
(3)存在，见详解
【分析】（1）把的坐标代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）连接， 经过点作轴的垂线，交直线于点，设点，则点，推出，根据＝
代入求出即可．
（3）先求出的坐标，由勾股定理可求的值，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；
【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点、点，
∴，，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）当时，在此抛物线上任取一点，连接，过点作轴的垂线，交直线于点，

设点，则点，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，此时， ，
∴．
（3）∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∴，
设点的坐标为，则， ，若，
则，
∴，
∴点或；
若，则，
∴，
∴点；
若，如图，过点作于，

∴，，
∵，
∴，
∴，
∴点，
∴满足条件的点分别为，，，．
【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，二次函数的最值，等腰三角形性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，综合性比较强．
17．(1)6
(2)最大值为，点
(3)点G为，，，
【分析】（1）令，求出x值，即可得到点A和点B坐标，继而得解；
（2）求出点M的坐标，再利用待定系数法求出的解析式，设，进一步求出点E坐标，可得，再利用二次函数的最值计算即可；
（3）表示平移后的抛物线表达式，联立可求出点H坐标，求出原抛物线的对称轴，设，分别表示出，，，再分三种情况，分别求解．
【详解】（1）解：令，即，
解得：，，
∴，，
∴；
（2）∵点M的横坐标为1，代入中，
得：，设的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，即，
设，
∵轴，交直线点E，
在中，令，得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，开口向下，，
∴当时，PE有最大值，
此时点；
（3）平移后的抛物线，
联立，解得，
∴，
∵原抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵新抛物线与y轴交于点，
∴，，，
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得；
综上：点G为，，，．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，一次函数解析式，二次函数的平移，等腰三角形的定义，勾股定理，题目有一定难度，但不难找到解题思路，属于常规考法．
18．(1)
(2)①，②；③存在，或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，则点E的坐标为，求出，再根据，利用平行线分线段成比例求出，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出l关于m的函数表达式，再利用二次函数的性质求出最值即可；
②若四边形是菱形，则，据此得出方程，解方程可得答案；
③分两种情况讨论：当时，，可得，据此得出方程，解方程求出t的值即可；当时，，过点P作轴于点H，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：①设，
代入、得：，
解得：，
∴，
设点P的坐标为，则点E的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴当时，l的最大值为；
②要使四边形是菱形，则有，
∴，
整理得，
解得，（舍去），
∴当四边形是菱形时，P点的横坐标为；
③存在，分两种情况讨论：
（Ⅰ）如图1，当时，，此时轴．
∴，即，
解得，（舍去），
∴点P的坐标为；
（Ⅱ）如图2，当时，，过点P作轴于点H，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，（舍去），
∴点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．
19．(1)；
(2)不存在，见解析；
(3)，等腰三角形；，直角三角形．
【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，求得，的值，进而求得结果；
（2）求出的解析式，设出点坐标和坐标，进而表示出，由列出方程，进一步得出结果；
（3）可推出与相似，从而得出或，设，则，，表示出，，当时，从而，得出，求得的值，进而得出结果；当时，同样的方法求得结果．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线交轴于点坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：假设存在点，使四边形是平行四边形，
∴，
设的解析式为：，
∴，
∴，
∴的解析式为：，
设，，
∴，
∵，
∴，
化简得：，
∵，
∴原方程无解，
即：不存在点使得四边形是平行四边形；
（3）解：∵，
∴，
∵与相似，
∴与相似，
∴，
∴或∽，
设，则，，
∴，，
如图，

当时，
，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
如图，

当时，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】此题考查了求二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
20．(1)，
(2)
(3)，
(4)，
【分析】（1）根据点在轴负半轴且可得点的坐标为，利用待定系数法可得抛物 线的解析式为；
（2）过点作 轴于点，交线段于点，用待定系数法求得直线的解析式为 设点的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出的值，从而得出点的坐标；
（3）由可知，要使点，，为顶点的三角形与相似，则以点，，为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导与点重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与轴交点的方法可求出点的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为，则，，从而得到，解得的值，从而得到点的坐标，最后综合①②即可；
（4）设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点右平移个单位长度得到点，由平移的性质可知，，，的值最小就是最小值，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【详解】（1）解：点在轴负半轴且，
，
将，代入，得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，交线段于点，如图所示：
设直线的解析式为，将，代入，得，解得，
直线的解析式为；
设点的横坐标为，则，，
，
，
，即，解得，
将代入，
；
（3）解：在中，，以点，，为顶点的三角形与相似，
以点，，为顶点的三角形也是直角三角形，
又轴，直线交直线于点，
，即点不与点是对应点，故分为和两种情况讨论：
①当时，由于轴，
轴，即在轴上，
又点在抛物线上，
此时点与点重合，作出图形如下：
此时，
又，
，即此时符合题意，令，解得：，（舍去），
点的坐标是；
②当时，作出图形如下：
轴，，
，
，
，，
，即此时符合题意，
，
，即，
，，
，
，，
设点的横坐标为，则，，
，，则，解得，（舍去），
点的坐标是，
综上所述：点的坐标是，；
（4）解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，，
的值最小就是最小值，显然点在直线上运动，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，

点关于直线对称的点是，，
，
；
设直线的解析式是：，将点，代入得：，解得：，
直线的解析式是：，
令，解得：，
，
平移的距离是，
又，
平移前的抛物线的顶点坐标是，
根据平移性质可得新抛物线的顶点坐标为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与三角形面积，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题等知识，难度较大，综合性强，根据题意作出恰当辅助线及转化思想是解题的关键，第二问的解题关键是掌握平面直角坐标系中三角形面积的计算方法，第三问的关键是转化成直角三角形的讨论问题，第四问的关键是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．

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