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一、直角坐标系中的平面图形的面积
第六章　定积分的应用
第二节　平面图形的面积
二、极坐标系中平面图形的面积
一、直角坐标系中的平面图形的面积
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，
那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，
dx 为底的矩形面积，
dA= | f (x) |dx .
于是，总有
x
y
f (x)
a
O
x+dx
x
b
即
　　例 1　求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
解　由上述公式得
　　也可以先画出 y = x3 与直线 x = - 1， x = 2 及 x 轴所围成的平面图形，如图所示，
就不必用公式了.
y = x3
y
x
2
O
-1
则由定积分的几何意义知
由两条曲线 y = f (x)、 y = g (x)
与两条直线 x = a， x = b 所围成的平面图形
y
x
a
b
O
x
y = f (x)
x+dx
y = g(x)
所以
面积微元
例 2　求 y = sinx， y = cos x，
解　由上述公式知
所围成的平面图形的面积.
　　也可以先作出该平面图形的草图，
如图，
就不必用公式了.
则直接可得
y = cos x
x
O
y = sinx
1
y
　　例 3　求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的平面图形的面积.
解　作草图，如图，
求抛物线与直线的交点，
即解方程组
得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4).
x
A
B
-2
4
y
y = x-4
y2 = 2x
(8,4)
(2,-2)
于是
如果选择 x 为积分变量，
那么它的表达式就比上式复杂.
　　如果选择 y 作积分变量，y [- 2, 4]，
x
y
A
B
(8,4)
(2,-2)
-2
4
y
y = x-4
y2 = 2x
y + dy
任取一个子区间 [ y, y + dy ] [- 2, 4]，
则在 [ y, y + dy] 上的面积微元是
　　例 4　求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其中 a > 0，b > 0.
　　解　因为图形关于 x 轴、y 轴对称，
　　　 所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，
把 x = a cos t，y = b sin t　代入上述积分式中，
上、下限也要相应地变换 (满足积分变量 t ).
由定积分的换元公式得
即
x
y
O
二、极坐标系中平面图形的面积
由曲线 r = r( ) 及两条半直线 = a， = b (a < b)
所围成的图形称为曲边扇形.
求曲边扇形的面积 A，
积分变量为 ， [a , b ]，
下面应用微元法找面积 A 的微元 dA，
　　　　　　　　　　 任取一个子区间[ , + d ] [a , b ]，
用 处的极径 r( ) 为半径，以 d 为
圆心角的圆扇形的面积作为面积微元，
如图中斜线部分的面积.
即
d

于是
b
a
r = r ( )
O
x
　　例 5　求心形线 r = a(1 + cosq ) 所围成的图形的面积 (a > 0) .
解　作出它的草图.
r = x(1 + cosq )
2a
x
得
由上述公式，再利用图形的对称性，
　　例 6　求由两条曲线 r = 3cosq 和 r = 1+ cosq 所围成的公共部分的面积.
　　解　作出它的草图，
得两曲线的交点
　考虑到图形的对称性，得面积
再求两条曲线的交点，
解方程组
O
2
x
3

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