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一、 函数项级数
二、 幂级数及其收敛性
三、 幂级数的运算
第四节 幂级数
第十二章 无穷级数
则称点 x0 为函数项级数①的一个收敛点.
称为函数项级数，
①
在函数项级数 ①中，若令 x 取定义域中某一确定值 x0 ，
则得到一个数项级数
若上述数项级数收敛，
反之，若上述数项级数发散， 则称点 x0 为函数项级数① 的发散点.
一、 函数项级数
上述级数的和 S 也随之
变动，
称为函数项级数的收
敛域.
收敛点的全体构成的集合，
若 x0 是收敛域内的一个值， 因此必有一个和 S(x0) 与之对应，
即
当 x0 在收敛域内变动时，
就得到一个定义在收敛域上的函数 S(x)，
即
如果我
们仿照数项级数的情形， 将函数项级数① 的前n 项和记为 Sn(x) ， 且称为部分和函数，
这个函数 S (x) 就称为函数项级数的和函数.
即
Sn(x)
那么在函数项级数的收敛域内有
则在收敛域内同样有
解 因为所给级数的部分和函数
所以，它在区间 (-1,1) 内收敛，
即收敛域为 (-1,1).
且所给级数的和函数为
例 1 试讨论
≥
一般形式为
②
幂级数，
幂级数更一般的形式为
它显然可以通过变量代换 y = x - x0 方法化为式② .
二、幂级数及其收敛性
则称幂级
数为不缺项的，
否则称为缺项的幂级数.
例如幂级数
缺 x 的奇次幂，
叫缺项的幂级数，
又如
是不缺项的幂级数.
定理
如果
该幂级数收敛;
该幂级数发散.
记作 R , R=
. 即
因为
它不一定是正项级数，
证
若将 x 看成
是一个确定的值，
那么就得到一个数项级数，
为此，我们可对幂级数的各项取绝对值，
得
这是一个正项级数.
运用比值审敛法.
因为
也就是说
显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，
一般项
不趋近于零 .
由级数收敛的必要条
件可知该幂级数发散.
因此它
必然收敛 .
可运用上述定理求收敛半径
例 2 试求幂级数
的收敛区间 .
解 所给的幂级数为不缺项的，
它是发散的.
此为调和级数，
对此正项级数利用比值审敛法
例 3　求幂级
解　所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，
因此不能直接利用公式求收敛半径 R.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　是一个缺项幂级数，
所求幂级
数绝对收敛 .
幂级数收敛 .
例 4
解　运用正项级数的比值审敛法 .
区间端点处:
当 x = 1 时，
它们的和函数分别为
三、 幂级数的运算
1. 加法和减法
2. 乘法
此时所得幂级数的收敛半径是 R .
但在收敛区间端
点处的收敛性可能改变.
3. 逐项求导数
若幂级数
则在 ( R ,
R) 内和函数 S(x) 可导，
且有
所得幂级数的收敛半径仍为 R ，
但在收敛区间端
点处的收敛性可能改变.
则和函数 S(x)在（ R , R ) 可积，
并且有 :
所得幂级数的收敛半径仍为 R ，
和函数 S(x)
4. 逐项积分
解　幂级数
例 5　讨论
收敛半径 R = 1 ，
逐项求积分后得
它的收敛半径仍为 R = 1.
当 x = 1 时，
幂级数为调和级数，
它是发散的.
当 x = - 1 时，幂级数为
交错级数，
故原幂级数 的
收敛区间为 [ 1,1).
例 6
解　所给幂级数的收敛半径 R = 1， 收敛
区间为 ( 1 , 1) ，
而
在收敛区间 ( 1,1) 内，
所以

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