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第一章　函数　极限　连续
第二节　极限的概念
一、数列的极限
二、函数的极限
三、无穷大量
定义1　设函数 un = f (n), 其中 n 为正整数,
一、数列的极限
那么按自变量 n 增大的顺序排列的一串数 f (1), f (2), f (3), 　 , f (n), 　 , 称为数列, 记作 { un } 或数列 un .
…
…
　　若存在一个常数 M > 0 ，使得 | un | ≤ M (n = 1, 2, · · ·)恒成立，
　　　　　　 或存在两个数 M 和 m，使得 m ≤ un ≤ M (M 称为上界, m 称为下界)，
　　若数列 un 满足 un ≤ un+1 (n = 1, 2, · · ·)或 un ≥ un+1 (n = 1, 2, · · ·)则分别称 {un} 为单调递增数列或单调递减数列，
　　　　　　　　　　　　　　　则称数列 un 为有界数列，或称数列有界；
　　　　　　　　　这两种数列统称为单调数列.
例如 {un} :
为单调递减数列;
为单调递增数列；
是有界数列， 但不是单调数列 .
又如
而
　　前面三个数列都有一种共同的现象，即当 n 无限变大时，它们都无限地接近于 1，这就是极限现象.
　　显然，数列 un 无限地接近于 1，可用数列 un与 1 之差的绝对值可以任意地小来描述 .
如果用符号 e 表示任意小的正数， 那么就可用 | un - 1 | < e 表示 .
于是, 数列 un 的极限现象可表述为：当 n 无限变大时，就有 | un - 1 | < e .
　　一般地，当 n 无限变大时，数列 un 无限接近于一个常数 A 的极限现象可定义如下：
　　定义2　如果当 n 无限变大时，数列 un 与 A 之差的绝对值小于任意小正数 e ，即 | un A| < e ，
此时亦称数列收敛，记作
那么称当 n 趋向无穷大时，数列 un以 A 为极限， (或数列 un 趋向于 A ).
前面三个数列的极限可分别表示为
几点说明:
　　(1)在数列 un 趋向于 A 的过程中，它的变化较复杂.
还可举出其他变化的例子. 这种变化的多样性如不注意，易在概念上发生 错误.
　 (2)对于 “n 无限变大这句话”, 也可用一个式子来表示，
如果记 N 为一个充分大的正整数，那么当 n > N 就表示了这个意思， N 表示了n 无限变大的程度，
恒有 | un－ A | < e .
　　(3)数列极限的几何解释
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　存在一充分大正整数 N，当 n > N 时，点 un 都落在点 A 的 e 邻域内，而不管 e 有多么小(如图)，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　形象一点讲，数列 un 会密集在点 A 的周围.
A
A - e
A +e
uN+1
uN+2
O
x
　　如果把数列 un 中每一项都用数轴 Ox 上一个点来表示，那么数列 un 趋向于 A 可解释为:
定理1　若数列收敛，则数列有界 .
　　并非所有数列都是有极限的，
例如
　　当 n →∞ 时, 它们均不与一个常数 A 无限接近，所以这些数列没有极限 , 没有极限的数列称为发散数列或称数列发散 .
证明略.
二、函数的极限
当 x 无限接近于 1 时，
显然，当 x 1 时,
趋向于什么？
函数
　　一般地，当 x 无限接近于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A 的定义如下：
　　定义3　如果当 x 无限接近于 x0 时，恒有| f (x) - A| < e (e 是任意小的正数)，
　　　　　　　　　　　　　　　 则称当自变量 x 趋向于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A ，记作
几点说明：
　　(1)与数列极限相似， f (x) 趋向于 A 的过程中，可以有大于 A 的，可以有小于 A 的，也可以有等于 A 的 .
(2)
x 是不能等于 1 的，因为 x = 1 处函数没有定义 . 一般地，在自变量 x→x0 过程中是不能等于 x0 的.
　　(3)自变量 x → x0 也可以用不等式表示.
如果用 d 记作充分小的正数. 那么 x 无限接近 x0 ，可由 x0 的 d 空心邻域表示，即 0 < | x - x 0| < d .
d 表示 x 与 x0 接近的程度.
这样 ，
就是指，当 0 < | x - x 0| < d 时恒有 | f (x) - A | < e .
A - e < f (x) < A + e．
(4) 几何解释 .
A
A+e
A-e
y = f (x)
x0 - d
x0 + d
x0
y
x
O
不管它们之间的距离有多么小. 只要 x 进入 U(
是指：当 0 < |x - x0| < d 时， 恒有 | f (x) - A | < e . 即
作两条直线 y = A - e 与 y = A + e .
d ) 内，曲线 y = f (x) 就会落在这两条直线之间.
　　左、右极限统称为函数 f ( x ) 的单侧极限.
　　有时我们仅需要考虑自变量 x 大于 x0 而趋向于 x0 (或 x 小于 x0 而趋向于 x0 )时，函数 f (x) 趋向于 A 的极限，
此时称 A 是函数 f (x) 的右极限(或左极限)，记作
即
结论： x → x0 时， f ( x ) 的极限存在的充分必要条件是： f ( x ) 在 x0 处的左、右极限存在且相等 .
例 2　试求函数
≤
≤
解 (1)因为
　　函数 f (x) 在 x = 0 处左、右极限存在但不相等，
所以当 x→ 0 时， f (x) 的极限不存在.
(2) 因为
　　函数 f (x) 在 x = 1 处左、右极限存在而且相等，所以当 x → 1 时， f (x) 的极限存在且
　　自变量 x 除了 x→x0 的变化过程外，还有其他的变化过程，
也是指当 x > N ( N 是充分大的正数 )时，恒有 | f (x) - A | < e (e 是任意小的正数).
当 x 无限变大时，函数 f (x) 趋向于A，
　　几何意义是：作两条直线 y = A + e 和 y = A - e ，
A + e
A
A - e
N
y
O
x
不管它们之间的距离有多么小，当 x 变到充分大之后即 x > N 时，曲线 y = f (x) 落在这两条直线之间.
前者是指当 -x 无限变大时， f ( x ) 趋向于 A ；
是指
例如
例 3
解
例 4
解
解
例 5
注意：函数在某点处的极限与函数在该点是否有定义、函数值是多少无关.
例 3, 4 和 5 说明了下列几种重要现象：
　　(1) 函数 f (x) 在 x0 处极限存在，但函数 f (x) 在 x0 处可以没有定义(如例 3) .
　　(2) 函数 f (x) 在 x0 处虽然有定义，且在 x0 处有极限， 但两者不等，
　　(3) 函数 f (x) 在 x0 处有定义，也有极限且两者相等 .
　　定理2　 若 x→ x0 (或 x → ∞ )时，函数 f ( x )的极限存在, 则函数 f ( x ) 在 x0 的一个空心小邻域内(或 | x | 充分大范围内)有界.
　　证明略.
三、无穷大量
　　若函数 y = f ( x ) 的绝对值 | f ( x )| 在 x 的某种趋向下无限增大，则称 y = f ( x ) 为在 x 的这种趋向下的无穷大量，简称为无穷大量.
当 x→ x0 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
当 x → 时， f ( x ) 为无穷大量， 记作
若在 x 的某种趋向下，f ( x ) 恒正地无限变大， 或者恒负，但绝对值无限变大，则记为
有时，所研究的无穷大量具有确定的符号.
注意 切不可把无穷大量理解为很大的一个数.

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