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第一节　函　数
一、函数的概念
三、分段函数
四、反函数
五、初等函数
六、函数的基本性态
七、建立函数关系举例
二、函数的表示法
第一章　函数　极限　连续
八、备用知识
一、函数的概念
　　定义　设 D 为一个非空实数集合，若存在确定的对应规则 f ，使得对于数集 D 中的任意一个数 x , 按照 f 都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称 f 是定义在集合 D 上的函数 .
D : f 的定义域
x : 自变量
y : 因变量
　　如果对于自变量 x 的某个确定的值 x0，因变量 y 能够得到一个确定的值，那么就称函数 f 在 x0 处有定义，其因变量的值或函数 f 的函数值记为
实数集合
称为函数 f 的值域 .
　　　　　　　　　　　(其中 为大于 0 的常数)的一切 x，称为点 x0 的d 邻域，记作 U( x0 , d ).
满足不等式
　　对于不等式 0 < | x - x0 | < d 称为点 x0 的 d 的空心邻域，记作 U ( , d ) . 如图 (b) 所示.
　　它的几何意义是：以 x0 为中心，d 为半径的开区间 (x0 - d , x0 + d) ，即 x0 - d < x < x0 + d ，如图 (a)所示 .
(a)
O
x0 -d
x0 + d
x0
x
(b)
O
x
x0 - d
x0 +d
x0
确定函数
显然，其定义域是满足不等式
的 x 值的集合,
解此不等式 , 则得其定义域为:
也可以用集合形式表示为
解
例 1
的定义域 .
解　该函数的定义域应为满足不等式组
解此不等式组，得其定义域
也可以用集合形式表示为
的 x 值的全体，
确定函数
例 2
≥
≤
解
例 3 设函数 f (x) = x3 - 2x + 3，求
二、函数的表示法
　　函数的表示法通常有三种：公式法、表格法和图示法.
　　1. 以数学式子表示函数的方法叫做函数的公式表示法，公式法的优点是便于理论推导和计算.
　　2. 以表格形式表示函数的方法叫做函数的表格表示法，它是将自变量的值与对应的函数值列为表格，表格法的优点是所求的函数值容易查得.
　　3. 以图形表示函数的方法叫做函数的图示法，图示法的优点是直观形象，且可看到函数的变化趋势.
三、分段函数
　　例 4 旅客乘坐火车可免费携带不超 20 kg 的物品，超过 20 kg 而不超过 50 kg 的部分每 kg 交费 a 元，超过 50 kg 部分每 kg 交费 b 元 . 求运费与携带物品重量的函数关系 .
　　有些函数虽然也是以数学式子表示，但是它们在定义域的不同范围具有不同的表达式.这样的函数叫做分段函数.
情况二：重量大于 20 kg，但不超过 50 kg，这时
情况三：重量超过 50 kg，这时
情况一：重量不超过 20 kg，这时
　　解　设物品重量为 x kg，应交运费为 y 元. 由题意可知这时应考虑三种情况：
因此，所求的函数是一个分段函数
例 5 设
解
注意
y
x
O
图1-3
例 6 函数
≤
≤
例 7 语句“变量 y 是不超过 x 的最大整数部分”表示了一个分段函数，常称为“取整函数”，
-3 -2 -1 1 2 3
y
x
O
图1-4
四、反函数
设 y = f (x)为定义在 D 上的函数，其值域为 A .
若对于数集 A 中的每个数 y , 数集 D 中都有唯一的一个数 x 使 f (x) = y，
这就是说变量 x 是变量 y 的函数 .
这个函数称为函数 y = f (x) 的反函数,
其定义域为 A . 值域为 D . 函数 y = f (x) 与 x = f -1 (y) 二者的图形是相同的.
记为 x = f -1 (y).
交换 x、y 的位置, 即得所求的反函数
解
例 8
注意
例如
1.基本初等函数
三角函数
反三角函数 y = arc sinx, y = arc cos x,
y = arc tan x, y = arc cot x ；
五、初等函数
等五类函数统称为基本初等函数 .
y = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = sec x, y = csc x ；
幂函数
指数函数
对数函数
2.复合函数
若函数 y = F(u),
定义域为 U1 ,
函数 u = j (x) 的值
域为 U2,
则 y 通过变量 u 成为 x 的函数,
这个函数称为由函数 y = F(u) 和函数 u = j (x) 构成的
复合函数,
其中变量 u 称为中间变量.
记为
例 9
　　　　　　　　　　　　　　　　即为所求的复合函数
其定义域为 ( , ) .
解
　　　　　　　　　　　　　　　　得所求的复合函数
例 10
其定义域为 [ 1,1] .
解
解 1
例 11
求 f [j (x)] 时,
应将 f (x) 中的 x 视为j (x),
因此
因此
例 12
解 方法一 令 u = x 1, 得 f (u) = (u 1)2,
再将
u = 2x 1 代入,
即得复合函数
方法二 因为 f (x 1) = x2 = [(x 1) + 1]2,
于是问题转化为
求 y = f (x) = (x 1)2 与 j (x) = 2x 1 的复合函数 f [j (x)] ,
因此
例 13
是由哪些函数复合而成的.
解
3.初等函数
由基本初等函数及常数
经过有限次四则运算和有限次复合构成,
并且可以用一个数学式子表示的函数,
叫做初等函数.例如
等等,
都是初等函数 .
六、函数的基本性态
　　设函数 y = f (x) 的定义域关于原点对称，如果对于定义域中的任何 x，都有 f (x) = f (- x) ，则称 y = f (x) 为偶函数；如果有 f (- x) = - f (x) ，则称 f (x) 为奇函数. 不是偶函数也不是奇函数的函数，称为非奇非偶函数.
1.奇偶性
例 14
证
例 15
证
2.周期性
　　设函数 y = f (x) 的定义域为 (- , + ) ，若存在正数 T，使得对于一切实数 x，都有：
则称 y = f (x) 为周期函数.
f (x + T) = f (x).
规定：若其中存在一个最小正数 T 满足上式，则
规定 T 为周期函数 f (x)的最小正周期，简称周期.
例如 y=sinx, y=tanx的周期分别为函数 2π，π.
例 16
证
设 x1 和 x2 为区间 (a, b) 内的任意两个数，
若当 x1 < x2 时,
函数 y = f (x) 满足
则称该函数在区间 (a, b) 内单调增加，
或称递增；
若当 x1 < x2 时有
则称该函数在区间 (a, b) 内单调减少，
或称递减；
3.单调性
　　　y = cot x 在 (0, p) 内递减 .
　　函数的递增、递减统称函数是单调的.
从几何直观来看，
递增，就是当 x 自左向右变化时，函数的图形上升；
递减，就是当 x 自左向右变化时，函数的图形下降 .
a
a
b
b
x
y
O
x
y
O
y = f (x)
y = f (x)
　　设函数 f (x) 在区间 I 上有定义，若存在一个正数 M ，当 x I 时，恒有
成立，则称函数 f (x) 为在 I 上的有界函数，
≤
4.有界性
如果不存在这样的正数 M，则称函数 f (x) 为在 I 上的无界函数 .
例如，因为当 x ( , ) 时,恒有 |sin x|≤1,所以函数 f (x) = sin x 在 ( , ) 内是有界函数.
七、建立函数关系举例
解 设剪去的小正方形的边长为 x,
则盒子的底面积为 (a - 2x)2 ，高为 x，
　　　　　　　　　　　　　　　　　因此所求的函数关系为
　　例 17 设有一块边长为 a 的正方形薄板，
将它的四角剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子，
试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数.
x
a - 2x
盒子的体积为V.
x
　　例 18 由直线 y = x， y = 2 x 及 x 轴所围的等腰三角形 OBC ，
x
y = x
y
x
O
1
2
y = 2 x
C
B
在底边上任取一点 x [0, 2].过 x 作垂直 x 轴的直线，将图上阴影部分的面积表示成 x 的函数 .
解 设阴影部分的面积为 A ，
当 x [0, 1) 时，
当 x ∈ [1, 2] 时，
所以
x
y = x
y
x
O
1
2
y = 2 x
C
B
（1）极坐标
1. 极坐标 极坐标系中曲线的方程及其图形
O
A
B
八、备用知识
极坐标系中点与有序数组之间的关系
O 1 2 3 4 5
A
（2） 极坐标与直角坐标之间关系
极坐标与直角坐标之间关系是指：极坐标系中的
极点O、极轴OA与直角坐标系中的原点、x 轴的正向
分别重合时，一点M 的极坐标与直角坐标的关系.
O
y
x
x
y
A
θ
ρ
M
(x, y)
(ρ,θ)
运用上式，可以将平面上一条曲线在直角坐标系
下的方程化为极坐标系下的方程，后者简称为极坐标
方程.
（1）
试将直角坐标系下的圆心在原点、半径为R
的圆的方程 x2 + y2 = R2 (R > 0 为常数）化为极坐
标方程.
例19
解
将公式（1）代入方程 x2 + y2 = R2 ，得
ρ = ±R .
取正号，所以圆心在
极点、半径为 R的圆
的极坐标方程为
ρ = R .
O
y
x
A
试将直角坐标系圆的方程 x2 + y2 = 2Rx (R > 0
为常数）化为极坐标方程.
例20
解
将公式（1）代入方程，化简后得该圆的极坐标
方程
O
y
x
A
2R
R
a）当极坐标中的θ换为-θ时，该极坐标方程不变
或ρ不变，则该方程所表示的图形关于极轴对称；
（3） 极坐标方程的图形
作极坐标方程的图形通常要做两方面的工作：
（1）对称性的判定；
b）当极坐标中的θ换为
π-θ时，该极坐标方程
不变或ρ不变，则该方程
所表示的图形关于半射线
对称；
θ
O
A
（2）画出图形上一系列的点，并把这些点连成光滑
曲线，从而得出其图形.
解
对称性：当θ换为-θ时，
试作极坐标方程 的图形，其中a为大于零的常数，该图形称为心形线.
例21
即ρ不变，所以图形对称于极轴.
列表
θ
ρ 2a 1.87a 1.5a a 0.5a 0
p
p
p
p
p
3
2
2
3
6
0
O
A
对称性：当θ换为π-θ时，方程也不变，
解
试作极坐标方程 （称为三叶玫瑰线）的图形，其中a为大于零的常数.
例22
列表
θ
r 0 0.7a a 0.7a 0 -0.7a -a -0.7a 0
其图形关于半射线 对称.
所以图形关于θ的周期是
A
O
解
对称性：当θ换为-θ时，方程不变；
当θ换为π-θ时，方程也不变；
试作双纽线 的图形，其中a为大于零的常数.
例23
列表
θ
r a 0.7a 0
p
p
4
8
0
所以图形关于极轴对称，也关于半射线 对称.
当θ在 之间时，方程右边不为正，所以此
间无图形.
A
O
2. 几种常见的参数方程
（1）圆的参数方程
圆心在原点半径为R的圆的
参数方程为
或
θ
O
y
x
t
r
圆心在点（a, b）,半径为R
的圆的参数方程为
θ
O
y
x
r
(2) 椭圆的参数方程
或
椭圆
的参数方程
θ
O
y
x
t
r
当椭圆中心在点(x0, y0),
且长短轴分别平行与坐标
轴时，其参数方程
θ
O
y
x
r
(3) 旋轮线（又称摆线）的参数方程
则
旋轮线的形成及其方程：半径为R的圆，其圆
心在正y轴上且相切于原点.当该圆沿x轴滚动（无滑动）时，
O
y
x
R
B
C
M
A
t
设点 为轨迹上
的点，
由轨迹可知
则圆周上原来与原点相切的点所形成的轨迹称为旋轮线.
(4) 星形线的参数方程
星形线的形成及其方程：设有两个圆，其半径分别为R和r, 且R = 4r.大圆的圆心在坐标原点，小圆内切与大圆，其切点在 x 轴正半轴上的点A.当小圆沿大圆内滚动时（不滑动），则小圆周上原与大圆相切的点的轨迹称为星形线.
其参数方程为
其在直角坐标系下的方程为
O
x
y
R
A

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