资源简介

“函数的单调性(1)”一节说课
绍兴市第一中学 杨国仁
一.说教材
地位及重要性
函数的单调性一节属高中数学第一册(上)的必修内容，在高考的重要考查范围之内。函数的单调性是函数的一个重要性质，也是在研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小、对函数的定性分析以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握函数单调性的概念和证明函数单调性的步骤，又可加深对函数的本质认识。也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到承上启下的作用。
教学目标
(1)了解能用文字语言和符号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的概念；
(2)了解能用图形语言正确表述具有单调性的函数的图象特征；
(3)明确掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤；并能用定义证明某些简单函数的单调性；
(4)培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看问题。
教学重难点
重点是对函数单调性的有关概念的本质理解。
难点是利用函数单调性的概念证明或判断具体函数的单调性。
二.说教法
根据本节课的内容及学生的实际水平，我尝试运用“问题解决”与“多媒体辅助教学”的模式。力图通过提出问题、思考问题、解决问题的过程，让学生主动参与以达到对知识的“发现”与接受，进而完成对知识的内化，使书本知识成为自己知识；同时也培养学生的探索精神。
三.说学法
在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
四.说过程
通过设置问题情景、课堂导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求培养学生的自主学习的能力，以点拨、启发、引导为教师职责。
设置问题情景
[引例]学校准备建造一个矩形花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米。记花坛受限制的一边长为x米，半周长为y米。
写出y与x的函数表达式；
求(1)中函数的最大值。
（用多媒体出示问题，并让学生思考）
通过问题情景的设置主要是为了达到以下两个目的：
⑴第一问为了复习回顾函数的表达式；
⑵通过第二问激发学生对探索研究、学习新知识的热情，为导人新课及顺利完成教学任务做了思想上的准备。
揭示课题，导入新课
通过对第二问的分析知，要解决问题只要搞清函数的函数值y随x的变化情况即可。接着用多媒体给出函数的图象,让学生利用初中所学的知识,结合图象观察得出函数值y随x的变化情况,初步概括出增函数与减函数的概念。但仅从图象看显然不过严密，我们必须对它进行系统的、科学的研究。(板书课题)
讲授新课
在上述的基础上进一步启发学生，让学生用数学语言归纳出增函数、减函数的概念，教师进行补充，接着用多媒体显示增函数、减函数的定义。
紧接着引导学生结合教材中的图2－9（或用多媒体给出的屏幕）仔细体会定义中的两个简单不等关系“”和“或”，它刻划了函数递增或递减的性质。这就是数学魅力！
对定义作了初步分析以后，指导学生再次阅读和分析定义，同时教师提出以下问题：定义中的关键词语是哪些？（学生思索）教师在学生思索过程中进行一次有感情地朗读定义，并在关键词语处加重语气，学生感到困难时，给以适当的提示。
（这一环节是学生正确地、深入地理解概念的关键，教师应该启发引导学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力）
通过学生的分析讨论得出以下几个关键词语：
(1)“定义域内某个区间”（多媒体中对这八个字用红色显示）。这里包含两层意思：第一函数的单调性只能在定义域内讨论；第二函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，否则无法讨论其单调性。（教师举例说明）
(2)“任意两个”和“都有”。就是说这里的在给定区间上具有任意性，不能用特殊值来判断函数的单调性（要特别强调），而且只要，则 （或）恒成立。
以上两点让学生通过构造反例来进一步说明。
（通过学生的积极思维探索，从抽象到具体，并通过反例反衬，使学生对概念有了本质的认识，同时也锻炼了学生的逻辑思维能力）
接着教师作以下阐述：反过来，如果我们已知在某个区间上是增函数或减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小，也可以有函数值的大小去判断自变量的大小，即一般成立则特殊成立，反之不然，这恰是辨证法中一般和特殊的关系。
（用辩证法的原理来解释数学知识的同时，用数学知识去理解辩证法的原理，这样分析有助于深入地理解和掌握概念，培养学生自主学习的能力）
学生看书了解单调性与单调区间的有关概念。
知识的应用
例1：（用多媒体给出书中P59页例1）
通过对本例的解答达到以下目的：
（1）会根据图象写单调区间；
（2）明确区间的端点值不影响函数在这一区间上的单调性。
例2：（书P59例2多媒体给出）
借助函数的图象看单调性既形象又直观，是一个好办法，但是在理论上不够严密，尤其是不易画出图像的函数，因此我们还必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径。（指出用定义证明的必要性）
提问：怎样用定义来证明呢？
学生思索并动笔，教师不断点拨启发，最后师生共同完成（教师认真规范地板书证明过程，以对学生起到示范作用）
回顾解题过程达到以下要求：
总结归纳出用定义证明函数单调性的步骤（用多媒体给出）。
变式训练：讨论函数（为常数，且）。
通过变式训练使学生认识到一次函数的单调性决定于一次项系数，同时训练了学生进行分类讨论的重要数学思想。
经过以上两例使学生巩固定义，初步具备解决相关问题的能力。
终结阶段
课堂练习,巩固概念,强化学生对这节课的掌握。练习为书本中P60页第一、二题，其中第一题学生口答，第二题叫一位中等学生板演。教师及时点评。
与学生一起解决引例中的第二问。
并作以下变式：求函数的值域。（学生课后思考，为下节课作铺垫）
课堂小结（内容由多媒体给出）
通过小结使学生理清本节课的重难点。
布置作业
书本P64页第2题,P65页的第6题的第1小题。通过作业反馈学生对所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难的地方。
课件26张PPT。函数的单调性江苏省通州高级中学
张春明数与形,本是相倚依
焉能分作两边飞
数无形时少直觉
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事休
切莫忘,几何代数统一体
永远联系莫分离
—— 华罗庚
姚明数据统计表能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？函数的这种性质称为函数的单调性局部上升或下降下降上升对区间I内 x1，x2 ，
当x1当x1当x1MN任意两个自变量的值x1,x2，区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升I 那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.x设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2， 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间.增当x1单调区间（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；（3） x 1, x 2 取值的任意性例1、下图为函数 , 的图像，指出它的单调区间。123-2-3-2-1o-4-1y-1.5[-1.5，3]，[5，6][-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：数缺形时少直观_____________ ,讨论1：根据函数单调性的定义， 2试讨论　　　　　　　在　　　和　　　上的单调性？？变式2：讨论 的单调性成果交流变式1：讨论 的单调性_______;_______.例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：例3.判断函数 在定义域 上的单调性.
（教材P43/7(4))描点作图练一练 试用定义法证明函数 　
在区间 上是单调增函数。
小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点？
2.判断函数单调性有哪些常用方法？
3.你学会了哪些数学思想方法？数与形,本是相倚依,
焉能分作两边飞;
数无形时少直觉,
形少数时难入微;
数形结合百般好,
隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体,
永远联系莫分离.
——华罗庚谢谢指导!的对称轴为返回证明：在区间 上任取两个值 且 则，且所以函数 在区间上 是增函数. 取值作差变形定号结论返回返回 是定义在R上的单调函数，且 的图
象过点A（0，2）和B（3，0）
（1）解方程
（2）解不等式
（3）求适合 的 的取值范围思考成果运用若二次函数 的单调增区间是 ， 则a的取值情况是 （ ） 变式1若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。 A. B. C. D. (2)在区间（0，+∞）上是增函数的是 （ ）成果运用若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。 解：二次函数 的对称轴为 ,
由图象可知只要 ，即 即可. 课件39张PPT。§2.1.3 函数的简单性质
(函数的单调性)主讲人:吴江市青云中学 水菊芳引例1：图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温θ是关于时间 t 的函数，记为θ＝ f (t) ，观察这个气温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？ 引例2：画出下列函数的图象（1）y = xxyy = xO11··引例2：画出下列函数的图象（1）y = xxyy = xO11··引例2：画出下列函数的图象（1）y = x 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；xyy = xO11··引例2：画出下列函数的图象（1）y = x 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11··引例2：画出下列函数的图象（1）y = x 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11··引例2：画出下列函数的图象（1）y = x 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11··引例2：画出下列函数的图象（1）y = x 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；x1f(x1)xyy = xO11··引例2：画出下列函数的图象（1）y = x 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；x1f(x1)（-∞, +∞ ）（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象Oxyy = x2（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象1·1·Oxyy = x2（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象1·1· 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。Oxyy = x2（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象1·1· 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。x1f(x1)Oxyy = x2（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象1·1· 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象1·1· 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象1·1· 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象1·1· 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象1·1· 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：画出下列函数的图象1·1· 此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。f(x1)x1（-∞, 0 ][0, +∞ )0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····函数的单调性定义：函数的单调性定义： 设函数y= f (x)的定义域为A，区间I A函数的单调性定义： 设函数y= f (x)的定义域为A，区间I A如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 ，
当x1< x2时，都有f(x1) < f(x2),
那么就说y= f (x) 在区间I上是增函数,
I称为y= f (x)单调增区间。函数的单调性定义： 设函数y= f (x)的定义域为A，区间I A如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 ，
当x1< x2时，都有f(x1) < f(x2),
那么就说y= f (x) 在区间I上是增函数,
I称为y= f (x)单调增区间。如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 ，
当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2),那么
就说y= f (x)在区间I上是减函数,
I称为y= f (x)单调减区间。探索题 判断下列说法是否正确。2. 定义在R上的函数 f (x) 满足 f (-1) 函数的单调增区间为（0，2）；(×)(×)例1 求证：函数 f (x) = – – 1在区间（－∞，0）
上是单调增函数。1x例2 试判断函数y= x2 + x 在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。解：函数y= x2 + x 在（0，＋∞）上是增函数下面给予证明：设 x1，x2 为区间(0,＋∞)上的任意两个值，且x1 = (x1 – x2) (x1 + x2) + (x1 – x2)
= (x1 – x2) (x1 + x2 +1)又 x2 ＞ x1 ＞ 0，所以x1 – x2< 0， x1 + x2 +1 ＞0，
所以f (x1)– f (x2)<0所以函数y= x2 + x 在（0，＋∞）上是增函数小结：在区间I内0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····判断函数单调性的方法：1、图象法 2、代数论证法证明函数的单调性常用步骤：(1)取值 (2)作差变形(3)定号 (4)结论思考题: 讨论函数y=x + (x ＞ 0)的单调性。1x作业：课本第37页
练习5、6谢谢，再见！课件35张PPT。
函数的单调性德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 1、艾宾浩斯遗忘曲线2、某市一天24小时的气温变化图y＝f(x)，x∈[0，24]说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?问题1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势图象在该区间呈下降趋势函数的这种性质称为函数的单调性。 问题3、如何用数学语言表述一个函数是增函数呢？ 0 X
（1）对于某函数，若在区间(0，+∞)上，当x＝1时， y＝1；当 x＝2时，y＝3 ，能否说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?问题3：思考（2）若x＝1，2，3，4，时，相应地 y＝1，3，4，6，能否说在区间(0，+∞)上，y 随x 的增大而增大呢？
（3）若有n个正数x1< x2 如果函数y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间.单调区间y＝f(x)，x∈[0，24]例1、根据图象说出函数的单调区间[0，4][4，14][14，24]
例2、画出下列函数图象，并写出单调区间：
两区间之间用和或用逗号隔开.能否写成演示x1x2例３、求证：函数 在区间
上是单调增函数．（1）怎样证明？（2）
练习：填表函数单调区间k >0k <0k >0k <0增函数减函数减函数增函数单调性
函数单调区间单调性增函数增函数练习2：填表（二）减函数减函数2、函数单调性的定义；4、证明函数单调性的步骤. 回顾小结本节课主要学习了以下内容：3、判断单调性的方法：图象、定义;1、单调函数的图象特征；布置作业必做： P43 习题 2.1（3） 1、4、7 （2） 研究 的单调性，
并给出证明，试求出该函数的值域。选做（1）判断函数
在区间 上的单调性。 谢谢各位老师与同学们 ！再见Good bye……
证明：设 是（0，+∞）上的任意
两个实数，且 ． 小结 1、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质.
2、判断函数单调性的方法：
（1）利用图象：
在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.
（2）利用定义：
用定义证明函数单调性的一般步骤：
任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.七、小结回顾　练习1：证明函数
　在区间 上是减函数．证明：（设量）（比较）（结论）（定号） 这节课主要学习了函数的单调性。通过本节课的学习，同学们要知道什么是增函数，什么是减函数，以及单调函数和单调区间的概念，如何从图象判断一个函数在它的定义域内的某区间上的增减性，如何从理论上去证明等等。3、某水文站汛期水位涨落曲线图y＝f(x)，x∈[1，12]设量定大小；作差定符号；判断定结论。课件27张PPT。
函 数 的 单 调 性德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 1、艾宾浩斯遗忘曲线2、某市一天24小时的气温变化图y＝f(x)，x∈[0，24]说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?画出下列函数图象，指出其变化趋势．问题1：
（1）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，
当x＝1时, y＝1; 当 x＝2时, y＝3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变量 x的增大而增大吗?问题2：（2）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1, 2, 3, 4, 时, 相应地 y＝1, 3, 4, 5，能说在区间 I 上函数值y 随自变量x 的增大而增大吗？
(3) 对于函数y= f(x)若 区间I 上有n个数x1< x2函数值 y 随 自变量x的增大而增大呢?问题４：如何定义一个函数是单调减函数？减函数定义
如果函数y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间.单调性、单调区间y＝f(x)，x∈[0，24]例1、根据图象说出函数的单调区间[0，4][4，14][14，24]例2、画出下列函数图象，并写出单调区间：
例2、画出下列函数图象，并写出单调区间：
两区间之间用和或用逗号隔开.能否写成演示（1）若把区间改为 ,结论变化吗 ? 例３、求证：函数 在区间
上是单调增函数．
练习：填表函数单调区间k >0k <0k >0k <0增函数减函数减函数增函数单调性
函数单调区间单调性增函数增函数练习：填表减函数减函数2、函数单调性的定义；3、证明函数单调性的步骤. 回顾小结本节课主要学习了以下内容：1、单调函数的图象特征；减函数定义返回证明函数单调性的四步骤：布置作业必做： P43 习题 2.1（3） 1、4、7 （2） 研究 的单调性，
并给出证明，试求出该函数的值域。选做（1）判断函数
在区间 上的单调性。 谢谢各位专家莅临指导！再见课件12张PPT。苏教版普通高中课程标准实验教科书（必修）第一册函数的单调性授课教师: 江苏省宿迁中学 陆 威
通过实验研究，专家发现：中学生听课的注意力指标是随着老师讲课时间的变化而变化的。讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。学生注意力指标数随时间变化的函数图象如图所示（指标数越大表示学生注意力越集中）。
——摘自2004年“TRULY信利杯”全国数学竞赛试题第11题

问题探究x（时间：分） y(注意力指标数) 02010204548。 请你说出注意力指标数与时间在［0，45］内的变化规律.问题探究x（时间：分） 0201048y(注意力指标数) xyx1x2y1y2x1x2y1y2x1x2y1y2x1x2y1y2x1x2y1y2问题探究一般地，设函数y=f(x)定义域为A，区间
如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1f(x2) ，那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数(decreasing fun_ction),I称为y=f(x)的单调减区间(decreasing interval)。任意x1f(x2) 如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.都有都有(1)定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的增函数. ( )
(2)函数f(x)是R上的增函数,则必有f(2)>f(1) .( )
(3)定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1) ，则函数f(x) 在R上不是减函数. ( )×√辨一辨： √ 设函数y=f(x)定义域为A，区间
如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1 如果对于区间内的任意两个值x1、x2 ，当x1 如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.
证明函数单调性的一般步骤：
① 取 值
② 作 差
③ 变 形
④ 定 号
⑤ 结 论这节课我的收获是什么？股票国家统计局数学因运用而美丽!三峡课后作业1.课本P.37 第5题、第6题
2.用函数定义讨论下列函数的单调性。
(1)y=kx+b (k≠0)
(2)y=ax2+bx+c (a≠0)欢迎各位专家批评指正！

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