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高中物理必修一 第三章 相互作用——力
3.5 共点力的平衡
一 共点力与平衡
1、共点力：如果一个物体受两个或多个力作用，这些力都作用在物体上的同一点，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线相交于同一点，这几个力叫做共点力。
2、力的合成的平行四边形法则，只适用于共点力。
一 共点力与平衡
3、平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，a＝0。注意：速度为零时，a不一定为零，例如汽车刚启动瞬间或竖直上抛运动的最高点。
4、共点力平衡的条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。
一 共点力与平衡
思考：一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止。
(1)此时灯泡受几个力？
(2)试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
(3)上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡？
一 共点力与平衡
5、平衡条件的推论：
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n－1)个力的合力等大、反向。
二 共点力的平衡的解决方法
1、合成法：物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反。
2、分解法：物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡。
3、正交分解法：物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有：∑Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0，
∑Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0
4、矢量三角形法：如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题。
二 共点力的平衡的解决方法
例1、“风力仪”可直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力大小。那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(重力加速度为g)
二 共点力的平衡的解决方法
解法一：合成法
如图所示，风力F和拉力FT的合力与金属球所受的重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtan θ。
解法二：分解法
重力有两个作用效果：使金属球抵抗风的吹力和使金属丝拉紧，可以将金属球所受的重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtan θ。
二 共点力的平衡的解决方法
解法三：正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图所示。
由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即：Fx合＝FTsin θ－F＝0 Fy合＝FTcos θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ。
二 共点力的平衡的解决方法
例2、在一半径为R、质量为m 的乒乓球内注入质量为M 的水，但未将乒乓球注满，用水平U形槽将其支撑住，保持静止状态，其截面如图所示。已知U形槽的间距d＝R，重力加速度为g，忽略乒乓球与槽间的摩擦力，则U形槽侧壁顶端A点对乒乓球(包括水)的支持力大小为(　　)
B
二 共点力的平衡的解决方法
5、共点力平衡问题的解题思路
(1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。
(2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。
(3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
(4)列平衡方程，应用共点力平衡的条件，选择恰当的方法(合成法、正交分解法)列出平衡方程。
(5)求解方程，并讨论结果。
三 轻绳轻杆支架问题
例3、如图甲所示，轻杆OB可绕B点自由转动，另一端O点用细绳OA拉住，固定在左侧墙壁上，质量为m的重物用细绳OC悬挂在轻杆上的O点，OA与轻杆的夹角∠BOA＝30°，轻杆OB水平。图乙中水平轻杆OB一端固定在竖直墙壁上，另一端O装有小滑轮，用一根细绳跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，图中∠BOA＝30°，重力加速度为g，求：
(1)图甲中细绳OA的拉力和轻杆的
弹力各是多大？
(2)图乙中细绳的拉力和轻杆对滑轮
的作用力是多大？
三 轻绳轻杆支架问题
（1）由于题图甲中的轻杆可绕B点自由转动，是转轴杆(“活杆”)，故其受力方向沿杆方向，O点的受力情况如图a所示，其中FT2＝mg，则O点所受细绳OA的拉力FT1、轻杆的弹力FN1的合力与细
三 轻绳轻杆支架问题
（2）题图乙中是用一细绳跨过滑轮悬挂重物的，由于O点处是滑轮，它只是改变细绳中力的方向，并未改变力的大小，且AOC是同一根细绳，而同一根细绳上的力处处相等，故图b中细绳OA的拉力为FT1′＝FT2′＝mg。
由于杆OB不可转动，所以轻杆所受弹力的方向不一定沿OB方向，轻杆对滑轮的作用力FN2一定与两根细绳的合力FN2′大小相等、方向相反，FN2＝FN2′＝2mgcos 60°＝mg，即轻杆对滑轮的作用力大小为mg。
1.“动杆”和“定杆”的比较
(1)“动杆”：对于一端有转轴或有铰链的轻杆，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定是沿着轻杆的方向，否则会引起杆的转动，如图甲所示。
(2)“定杆”：一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面)，杆所受到的弹力不一定沿着轻杆的方向，力的方向只能根据具体情况进行受力分析。根据平衡条件确定杆中的弹力的大小和方向。如图乙所示。
三 轻绳轻杆支架问题
2.“活结”和“死结”的比较
(1)“活结”：可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。
(2)“死结”：可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
三 轻绳轻杆支架问题
四 平衡中的临界、极值问题
1、什么是临界问题：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
2、临界问题特点：①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
3、临界问题的分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
四 平衡中的临界、极值问题
4、什么是极值问题：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
5、极值问题的分析方法：①解析法：根据物体平衡的条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。②图解法：根据物体平衡的条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
四 平衡中的临界、极值问题
(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。
(2)临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
6、临界与极值问题的分析技巧
四 平衡中的临界、极值问题
例4、如图甲、乙所示，质量为m的物体置于倾角为θ 的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其恰能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也恰能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比F1/F2为 (　　)
A．cos θ＋μsin θ
B．cos θ－μsin θC．1＋μtan θ
D．1－μtan θ
B
四 平衡中的临界、极值问题
解：物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图所示。
将重力mg、力F2沿斜面方向和垂直于斜面
方向正交分解，由平衡条件可得：
F1＝mgsin θ＋Ff1，
FN1＝mgcos θ，Ff1＝μFN1，F2cos θ＝mgsin θ＋Ff2，FN2＝mgcos θ＋F2sin θ，Ff2＝μFN2，解得：F1＝mgsin θ＋μmgcos θ，
F2＝cos θ－μsin θ(mgsin θ＋μmgcos θ)，故F1/F2＝cos θ－μsin θ，B正确。

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