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第二章 方程与不等式
第三节 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程的相关概念 ☆☆ 本考点以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。 预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。
考点2 一元二次方程的解法 ☆☆☆
考点3 根与系数的关系（韦达定理） ☆☆☆
考点4 一元二次方程的实际应用 ☆☆☆
■考点一　一元二次方程的相关概念
一元二次方程的相关概念 概念：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 次的 方程，叫做一元二次方程.
一般形式：，其中：a是 系数，b是 系数，c是 .
一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边 的未知数的值，就是该一元二次方程的解.
■考点二　一元二次方程的解法
1.直接开平方法：适合于或形式的方程．
2.配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为 ；
（3）方程两边同时加上 ；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3.因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得 或 ．
4.公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定a，b，c的值；（3）求出的值；（4）若b2-4ac≥0，则将根据求得方程的解；若b2-4ac＜0，则方程无解．
根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的 来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式，记为△．
（1）当△＞0时，方程有两个 的实数根；
（2）当△=0时，方程有两个 的实数根；
（3）当△＜0时，方程 实数根．
■考点三　根与系数的关系（韦达定理）
1.根与系数关系：对于一元二次方程（其中a，b，c为常数，），设其两根分别为，，则+= ；= ．
■考点四　一元二次方程的实际应用
1.利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤，即审、设、列、解、验、答六步．
2.增长率等量关系
设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则 ；
当为平均下降率时，则有 ．
3.利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量
4.面积问题：常用平移法解决面积问题
5.碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；
则m= 。
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。
则m= 。
■易错提示
1. 如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）。
2. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0。
3. 求根公式和一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△=b2-4ac≥0。
■考点一　一元二次方程的相关概念
◇典例1：（2023·四川成都·统考一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·福建南平·统考一模）写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为_______．
◇典例2：（2022·四川资阳·中考真题）若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
◆变式训练
1.（2023·山东泰安·一模）关于的一元二次方程的一个根为0，则实数的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
2.（2023·福建福州·统考一模）关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ）
A． B． C． D．
■考点二　一元二次方程的解法
◇典例3：（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
◆变式训练
1．（2023.广东九年级期中）（1）请用配方法解方程；
（2）请用配方法解一元二次方程．
◇典例4：（2022·四川凉山·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
◆变式训练
1．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
◇典例5：（2023年山东省潍坊市中考数学真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为 ．（精确到）
◆变式训练
1. （2023年湖北省黄冈市中考数学真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．

◇典例6：（2023·云南昆明·一模）已知，则的值为__________．
◆变式训练
1. ．（2020·湖北荆州市·中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
◇典例7：（2023年山东省济南市中考数学真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
◆变式训练
1．（2023年广东广州中考数学真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
◇典例8：（2023·广东·九年级专题练习）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵ ∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
◆变式训练
1．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
2．（2023·重庆中考模拟）知识储备
在求二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的右边配方，得
y＝ax2+bx+c＝a（x2+x）+c＝a[x2+2 x+（）2﹣（）2]+c＝a（x+）2+
∵a（x+）2≥0，∴当x＝﹣时，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值为．
解决问题：（1）请你通过配方求函数y＝x2+的最小值．（2）你能否通过配方求函数y＝x+（x＞0）的最小值．
数学模型：已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
■考点三　根与系数的关系（韦达定理）
◇典例9：（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
◆变式训练
1．（2023年西藏自治区中考数学真题）已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（ ）
A．－3 B． C．1 D．
2．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）若是一元二次方程的两个实数根，则 ．
◇典例10：（2023年四川省乐山市中考数学真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
◆变式训练
1．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
2．（2023年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为 ．
◇典例11：（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
◆变式训练
1．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
■考点四　一元二次方程的实际应用
◇典例12：（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
◆变式训练
1.（2022·重庆·中考真题）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
◇典例13：（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
◆变式训练
1．（2023.山东九年级期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
2．（2023.湖北九年级期中）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他　　 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了　　 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
◇典例14：（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
◆变式训练
1.（2023.江苏九年级期中）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
◇典例15：（2023.广西九年级期末）某菜农在2022年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．
◆变式训练
1．（2023.广西九年级期中）某超市经营款新电动玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．
（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？
1．（2022·湖南怀化·中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（　　）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东临沂·中考真题）方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2023年四川省内江市中考数学真题）已知a、b是方程的两根，则 ．
7. （2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是______．
8．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
9.（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
10．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：方程的解为_______________________；
(2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值．
1．（2023·辽宁抚顺·统考一模）若是关于的一元二次方程的解，则的值等于( )
A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
2．（2023·湖北鄂州市·中考模拟）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
4．（2023·湖北·校联考一模）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽·中考模拟）若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2023·浙江杭州·校联考一模）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ）
A．方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程
B．若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0
C．若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程
D．若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程
6．（2023·浙江台州·统考二模）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
7. （2023·浙江·中考模拟）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于_____．
8．（2023·广东九年级课时练习）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为______．
9．（2023春·北京海淀·九年级专题练习）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．
10．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为，则根据题意列出的方程是______．
11．（2023·四川成都·二模）已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝__．
12．（2022·福建福州·校考一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)判断这个一元二次方程的根的情况．
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
1．（2023·重庆·校考一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·广东·校考模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
3．（2023·四川绵阳·二模）已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．3 D．0
4．（2023年浙江省金华市中考数学真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．
（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．

5. （2023·浙江·中考模拟）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
6．（2023·湖南长沙·校考三模）已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．
(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）
① ② ③
(2)已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值．
(3)直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时．①试求出m的取值范围．②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．
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第二章 方程与不等式
第三节 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程的相关概念 ☆☆ 本考点以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。 预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。
考点2 一元二次方程的解法 ☆☆☆
考点3 根与系数的关系（韦达定理） ☆☆☆
考点4 一元二次方程的实际应用 ☆☆☆
■考点一　一元二次方程的相关概念
一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程.
一般形式：，其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解.
■考点二　一元二次方程的解法
1.直接开平方法：适合于或形式的方程．
2.配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3.因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得 或 ．
4.公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定a，b，c的值；（3）求出的值；（4）若b2-4ac≥0，则将根据求得方程的解；若b2-4ac＜0，则方程无解．
根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式，记为△．
（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当△＜0时，方程没有实数根．
■考点三　根与系数的关系（韦达定理）
1.根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则， ．
■考点四　一元二次方程的实际应用
1.利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤，即审、设、列、解、验、答六步．
2.增长率等量关系
设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则 ；
当为平均下降率时，则有 ．
3.利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量
4.面积问题：常用平移法解决面积问题
5.碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；
则m=n（n－1） 。
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。
则m=n（n－1） 。
■易错提示
1. 如果明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）。
2. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0。
3. 求根公式和一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△=b2-4ac≥0。
■考点一　一元二次方程的相关概念
◇典例1：（2023·四川成都·统考一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可．
【详解】解：A、，两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、，当时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C、整理后得，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，故该选项符合题意；故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·福建南平·统考一模）写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程的定义，写出方程，即可求解．
【详解】解：此方程可以为． 故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
◇典例2：（2022·四川资阳·中考真题）若a是一元二次方程的一个根，则的值是___________．
【答案】6
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】∵a是一元二次方程的一个根，
∴，∴，∴，故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．
◆变式训练
1.（2023·山东泰安·一模）关于的一元二次方程的一个根为0，则实数的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】据一元二次方程解的定义得，再解关于a的方程，后根据一元二次方程定义确定a的值．
【详解】解：把代入一元二次方程
得，解得，而，的值为，故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定义，解题的关键是注意．
2.（2023·福建福州·统考一模）关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果．
【详解】解：∵，当时，，∴该方程必有一个根是，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．
■考点二　一元二次方程的解法
◇典例3：（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵，∴，，
则，即，∴，，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
◆变式训练
1．（2023.广东九年级期中）（1）请用配方法解方程；
（2）请用配方法解一元二次方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；
（2）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；
【详解】解：（1）
两边同时除以2得：，
移项得：，
两边同时加上得：，
配方得：，
解得：；
（2）
两边同时除以得：，
移项得：，
两边同时加上得：，
配方得：，
当时，解得：，
当时，，
当时，该方程无实数根．
【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确运用，在含字母参数时要注意是否需要分类讨论．
◇典例4：（2022·四川凉山·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，，
或，或，故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
◆变式训练
1．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
【答案】
【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：移项得：，∴，
∴或，解得：，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】直接开方可得或，然后计算求解即可．
【详解】解：∵
∴或 解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
◇典例5：（2023年山东省潍坊市中考数学真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为 ．（精确到）
【答案】
【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得．
【详解】解：一元二次方程中的，
则，
所以这个方程的正数解近似表示为，故答案为：．
【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
◆变式训练
1. （2023年湖北省黄冈市中考数学真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则 ．

【答案】
【分析】根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵图中，，∴
∵与的面积相等，∴
∴∴∴ ∴解得：（负值舍去）
∴，故答案为：3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算，根据题意列出关于的方程是解题的关键．
◇典例6：（2023·云南昆明·一模）已知，则的值为__________．
【答案】１
【分析】设 ，原方程化为关于t的方程，解该方程求得t即的值
【详解】解：设 ，由原方程得，
解得，或（舍去）所以， 故答案为：1
【点睛】本题考查了换元法解方程.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理
◆变式训练
1. ．（2020·湖北荆州市·中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
【答案】，．
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．
【详解】续解：，，
解得，（不合题意，舍去），，
，，，经检验都是方程的解．
【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．
◇典例7：（2023年山东省济南市中考数学真题）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，即，解得：，
∴的值可以是．故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
◆变式训练
1．（2023年广东广州中考数学真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，整理得：，
∴，∴，，∴．故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
2．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
∴∴，故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
◇典例8：（2023·广东·九年级专题练习）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵ ∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【答案】(1)-2(2)当时，有最大值(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）由题中所给方法可得，然后问题可求解；
（3）由题意可得，进而问题可求解．
(1)解：由题意得：，
∵∴∴当时，有最小值．
(2)解：由题意得：，
∵∴∴当时，有最大值．
(3)解：由题意得：=
=；
∵∴，
∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【点睛】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4∴将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6
∵∴的最小值6答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
2．（2023·重庆中考模拟）知识储备
在求二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的右边配方，得
y＝ax2+bx+c＝a（x2+x）+c＝a[x2+2 x+（）2﹣（）2]+c＝a（x+）2+
∵a（x+）2≥0，∴当x＝﹣时，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值为．
解决问题：（1）请你通过配方求函数y＝x2+的最小值．（2）你能否通过配方求函数y＝x+（x＞0）的最小值．
数学模型：已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
【答案】（1）当x＝±1时，函数y＝x2+的最小值为2；（2）当x＝1时，y＝x+（x＞0）的最小值为2；数学模型：该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．
【分析】(1)根据完全平方公式，进行配方得，即可得到最小值；
(2) 根据完全平方公式，进行配方得，即可得到最小值；数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0），根据完全平方公式，进行配方得到y＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，即可求出答案．
【详解】（1）＝＝
∵，∴当x＝±1时，函数y＝x2+的最小值为2；
（2）y＝x+＝＝（）2+（）2﹣2+2＝（﹣）2+2，
∵（﹣）2≥0，∴当﹣＝0时，即x＝1时，y＝x+（x＞0）的最小值为2；
数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0），
y＝2（x+）＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，
当﹣＝0时，即x＝，y有最大值4，
∴该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．
【点睛】本题主要考查对完全平方公式，二次函数的最值，配方法的应用，能熟练地运用学过的性质进行计算是解本题的关键．
■考点三　根与系数的关系（韦达定理）
◇典例9：（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】∵m为的根据，∴，且m≠0，∴，
则有原式=，故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
◆变式训练
1．（2023年西藏自治区中考数学真题）已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（ ）
A．－3 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，，
∴，故选：D．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
2．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）若是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【答案】/
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可．
【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，．
◇典例10：（2023年四川省乐山市中考数学真题）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，∴，
∵，∴，∴，故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
◆变式训练
1．（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
∵，，∴，
解得（不合题意，舍去），∴故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
2．（2023年四川省宜宾中考数学真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为a，b，
由题意得：，，
∴，∴，解得：，经检验：是分式方程的解，
检验：，
∴符合题意，∴．故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
◇典例11：（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】(1)；(2)(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．故答案为：；．
(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，∴
(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴，，
∵
∴或，当时，，
当时，，综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
◆变式训练
1．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【解析】(1)，
∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，
∵，∴，∴，解得：，，
∴，即．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
■考点四　一元二次方程的实际应用
◇典例12：（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】(1)20%(2)18个
【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
◆变式训练
1.（2022·重庆·中考真题）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x） 棵，再根据题意列出方程即可．
【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x） 棵，根据题意列出方程：．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．
2.（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【答案】(1)2022(2)9
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
(1)，故答案为：2022；
(2)根据题意有：，整理得：，
解得n=9，（负值舍去），故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
◇典例13：（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．
【详解】设有x支队伍，根据题意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023.山东九年级期末）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
2．（2023.湖北九年级期中）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．
（Ⅰ）用含x的代数式表示：
每家公司与其他　　 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了　　 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．
【答案】（Ⅰ）（x﹣1），x（x﹣1）；（Ⅱ）10家
【分析】（1）理解题意，列出代数式即可；
（2）根据“所有公司共签订了45份合同”得到等量关系，列出方程并求解即可．
【详解】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，
所有公司共签订了x（x﹣1）份合同，故答案为：（x﹣1），x（x﹣1）；
（Ⅱ）根据题意列方程得：x（x﹣1）＝45，
解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去）检验：x＝﹣9不合题意舍去，所以x＝10．
答：共有10家公司参加商品交易会．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．
◇典例14：（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
【答案】
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023.江苏九年级期中）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则长度为（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
【答案】A
【分析】根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50米，AB=x米，则BC=（50-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【详解】解：设AB=x米，则BC=（50-2x）米．根据题意可得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据．
◇典例15：（2023.广西九年级期末）某菜农在2022年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏____天．
【答案】5
【分析】设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，则需要支付费用40x元，损失10x千克，价格为（6+0.5x）元，根据获利1175元，列方程求解．
【详解】解：设储藏x天出售这批黄瓜可获利1175元，
由题意得（6+0.5x）×（400-10x）-(1600+40x)=1175，解得：x1=5，x2=15
∵储藏时间不超过10天，∴x2=15舍去．故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
◆变式训练
1．（2023.广西九年级期中）某超市经营款新电动玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．
（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？
【答案】（1）30元；（2）有三种销售方案：方案一：销售价为22元；方案二：销售价为23元；方案三，销售价为24元，第三种方案利润最大．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据销售单价为整数，计算每种方案的实际利润，选取其中利润最大的方案即可．
【详解】解：（1）设销售单价为x元（），
，
解得，，，，
∴销售单价定为30元时，顾客更容易接受；
（2）由题意得，解得：，
因为y取正整数，所以y取22或23或24，所以有三种销售方案：
方案一：销售价为22元，销售利润为（元），
方案二：销售价为23元，销售利润为（元），
方案三，销售价为24元，销售利润为（元），
，第三种方案利润最大．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答可以是解答变得简捷．
1．（2022·湖南怀化·中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（　　）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
【答案】C
【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．
【详解】A选项中，，故方程无实数根；
B选项中，，故方程无实数根；
C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中，，故方程无实数根；故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程的两根分别为a，b，∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，∴该菱形的边长为
，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
3．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．
【详解】由题意得：，故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
4．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得，故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2022·山东临沂·中考真题）方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．
【详解】解：，
或 解得： 故选B
【点睛】本题考查利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
6．（2023年四川省内江市中考数学真题）已知a、b是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
7. （2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是______．
【答案】1
【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．
【详解】解：；；；∴ 故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
8．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．化简，得．解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：由题意，得．化简，得．
∵，∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
9.（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，解得：，∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
(2)解：由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去） ∴，∴的值20；
(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
10．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：方程的解为_______________________；
(2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，(2)或(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0，∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3，
∴，，，，故答案为：，，，；
（2）解：∵，∴或
①当时，令，，∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，此时；
②当时，，此时；
综上：或
（3）解：令，，则，，
∵，∴即，∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，故．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
1．（2023·辽宁抚顺·统考一模）若是关于的一元二次方程的解，则的值等于( )
A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
【答案】A
【分析】将x=1代入原方程即可求出答案．
【详解】解：将x=1代入原方程可得：1+a+2b=0，∴a+2b=-1，
∴=2(a+2b)=2×(-1)=-2，故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属基础题型．
2．（2023·湖北鄂州市·中考模拟）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵x1+x2=4，∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，解得：m=，故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1 x2=是解题的关键．
4．（2023·湖北·校联考一模）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【详解】解：∵方程有三根，
∴，有根，方程的，得．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有，，而已成立；
当时，两边平方得：．
即：．解得．∴．故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
4．（2023·安徽·中考模拟）若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵，把代入得：，即方程的一个解是，
把代入得：，即方程的一个解是；故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
5．（2023·浙江杭州·校联考一模）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ）
A．方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程
B．若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0
C．若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程
D．若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程
【答案】B
【分析】通过解一元二次方程可对A进行判断；先解方程得到x1=2，x2=-，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用2m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断．
【详解】A. 解方程 3x+2=0得x1=1， x2=2，所以A选项的说法正确但不符合题意；
B. 解方程得x1=2，x2=-，当 =2×2，4m+n=0；当 =×2，则m+n=0所以B选项的说法错误符合题意；C. 解方程得x1=2，x2= ，而m+n=0，则x2=1，所以C选项的说法正确但不符合题意；
D. 解方程得x1= m，x2=n，而2m+n=0，即n= 2m，所以x1=2x2，所以D选项的说法正确但不符合题意．故本题选B．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，熟悉掌握上述知识点是解答本题关键.
6．（2023·浙江台州·统考二模）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
【答案】或##或
【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可．
【详解】解：一元二次方程的解为，，
，解得，一元二次方程可化为，
，，解得，．
一元二次方程的解为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解．
7. （2023·浙江·中考模拟）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于_____．
【答案】
【分析】由可得再代入，再利用配方法配方，从而可得答案.
【详解】解： ，
所以的最小值是 故答案为：
【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题关键.
8．（2023·广东九年级课时练习）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为______．
【答案】
【分析】先利用得到，再利用的一次式表示出和，则化为，然后解方程得，从而得到的值．
【详解】解：，
,
解得，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
9．（2023春·北京海淀·九年级专题练习）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．
【答案】
【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m n<1＜m+n即可求得k的取值范围．
【详解】解：由题意得：， ∴
设的两根分别是、；则，；∴；
根据三角形三边关系定理，得：，即；
，解得．故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键．
10．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为，则根据题意列出的方程是______．
【答案】
【分析】可先表示出八月份的营业额，那么八月份的营业额×（1+增长率）=九月份的营业额，等量关系为：七月份的营业额+八月份的营业额+九月份的营业额=900，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：∵七月份的营业额为200万元，平均每月的增长率为x，
∴八月份的营业额为万元，∴九月份营业额为万元，
∴可列方程为，故答案为：．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键．注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．
11．（2023·四川成都·二模）已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝__．
【答案】2020
【分析】由于m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，并且m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，将所求的代数式变形后代入即可求出结果．
【详解】解：∵m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，
∴（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝（m2+2019m﹣2﹣m﹣1）（n2+2019n﹣2+n+1）
＝（﹣m﹣1）（n+1）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1＝2+2019﹣1＝2020，故答案为：2020．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系和正确计算．
12．（2022·福建福州·校考一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)判断这个一元二次方程的根的情况．
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)一元二次方程有两个不相等的实数根(2)或
【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根，得到3是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．
【详解】（1）解：；
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴是腰长，是方程的一个根，
∴，整理，得：，解得：或，
当时，，解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长；
当时，，解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．
1．（2023·重庆·校考一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【详解】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴ ∴ ，故③错误；
④整理得：∴
∵整数解∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；综上所述，结论正确的有②；故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．
2．（2023·广东·校考模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
【答案】A
【分析】设，再把原方程化为，结合根的判别式可得，再由原方程有两个实数根，可得从而可得答案．
【详解】解：∵∴∴
设t＝|x﹣3|，则原方程变形为，所以Δ＝1﹣4（﹣k﹣9）＞0，解得，
∵原方程有两个解，∴方程有一正根和负根，
∴ 解得k＞﹣9，∴k的取值范围是k＞﹣9．故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程有一个正根与一个负根是解本题的关键．
3．（2023·四川绵阳·二模）已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．3 D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式化简，然后整体代入求解即可
【详解】解：∵实数满足，
∴、是方程的两个根，∴，
∴
∵，且，∴的最小值是，故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
4．（2023年浙江省金华市中考数学真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．
（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．

【答案】 6 /
【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．
（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．
【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∵，边减少，得到的矩形面积不变，
∴，解得，故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∴，，∴，∴，∴，
∵有且只有一个的值，∴，∴，
解得（舍去），故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键．
5. （2023·浙江·中考模拟）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
【答案】或1
【分析】由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0变形为，根据一一对应的原则求得b、c的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．
【详解】解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，∴，
又由题意得：，∴解得：
∴，∴，，∴由求根公式得：，
则原方程所有的解为： 或1，故答案为：或1．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b、c的值．
6．（2023·湖南长沙·校考三模）已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．
(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）
① ② ③
(2)已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值．
(3)直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时．①试求出m的取值范围．②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)② (2)当时，；当时，
(3)①或；②
【分析】（1）分别求出三个方程的根，根据“灵粹二次方程”的定义进行判断即可；
（2）先将t当作已知数，解一元二次方程，得出，，根据此方程是“灵粹二次方程”，得出或，解得或，然后分别求出一元二次方程的最大值即可；
（3）①先求出点A、B、C的坐标，然后分或两种情况，列出关于m的不等式组，然后解不等式组即可；②根据m为整数，先求出m的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系，求出b、c的值，即可得出一元二次方程．
(1)解：，
∵，∴此方程无解，不是“灵粹二次方程”；
，解方程得：，，
∵，∴此方程是“灵粹二次方程”；
，解方程得：，
∵，∴此方程不是“灵粹二次方程”；
综上分析可知，是“灵粹二次方程”的为②．故答案为：②．
(2)解一元二次方程得：，，
∵是“灵粹二次方程”，
∴或，解得：或，
当时，函数
∴函数的对称轴为直线， ∵，，
∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大，
∴当或时，函数最大，此时最大值为：；
当时，函数
∴函数的对称轴为直线，∵，，
∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大，
∴当时，函数最大，此时最大值为：；
综上分析可知，当时，；当时，．
(3)①联立，解得：，∴点A的坐标为：，
把分别代入和得：和，
解得：和，
∴点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1,0），
直线AB的解析式为：，直线AC的解析式为
当时，∵D点坐标为（m，n），∴点D在直线上，
∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，
∴，解得：；
当时，∵D点坐标为（m，n），∴点D在直线上，
∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，
∴，解得：；
综上分析可知，m的取值范围是：或；
②存在；∵m为整数，∴当时，，
∴此时，解得：，“灵粹二次方程”的二次项系数a=1，
∴，即，，
∴，∴该“灵粹二次方程”；
当时，没有符合条件的值，不存在“灵粹二次方程”；
综上分析可知，该“灵粹二次方程”为．
【点睛】本题是一道新定义类题目，求二次函数的最值，解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法，理解新定义，是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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