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22.3 实际问题与二次函数——最大利润问题
2023—2024学年人教版数学九年级上册
　　1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，如果 a＞0 ，当___________时，
y 随 x 的增大而减小，当_____________时，y 随 x 的增大而增大．如果
a＜0 ，当_____________时，y 随 x 的增大而减小，当_____________时，
y 随 x 的增大而增大．
　　2．一般地，当 a＞0(a＜0)时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是最
低（高）点，也就是说，当 x＝_________时，二次函数有最小（大）
值__________．
问题
　　某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
　　分析：每件利润＝售价－进价；
调整价格
涨价
降价
　　某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
　　（1）设每件涨价 x 元，每星期少卖____件，实际卖出___________件，销售额为__________________元，买进商品需付_______________元．
问题
10x
(300－10x)
(60＋x)(300－10x)
40(300－10x)
　　因此，所得利润 y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，
　　即 y＝－10x2＋100x＋6 000，
　　其中，0≤x≤30．
　　配方，得 y＝－10(x－5)2＋6 250，
　　当 x＝5 时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 5 元，即定价 65 元时，利润最大，最大利润是 6 250 元．
怎样确定 x 的取值范围？
　　某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
　　（2）设每件降价 x 元，每星期多卖____件，实际卖出___________件，销售额为__________________元，买进商品需付_______________元．
问题
20x
(300＋20x)
(60－x)(300＋20x)
40(300＋20x)
　　因此，所得利润 y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，
　　即 y＝(60－x－40)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6 000，
　　其中，0≤x≤20．
　　配方，得 y＝－20(x－2.5)2＋6 125，
　　当 x＝2.5 时，y 最大，也就是说，在降价的情况下，降价 2.5 元，即定价 57.5 元时，利润最大，最大利润是 6 125 元．
　　（1）所得利润 y＝－10x2＋100x＋6 000，
　　当 x＝5 时，y 最大，在涨价的情况下，涨价 5 元，即定价 65 元时，利润最大，最大利润是 6 250 元．
　　（2）所得利润 y＝－20x2＋100x＋6 000，
　　当 x＝2.5 时，y 最大，在降价的情况下，降价 2.5 元，即定价 57.5元时，利润最大，最大利润是 6 125 元．
　　对比（1）（2）两种情况，当定价 65 元时，每星期的利润最大，最大利润是 6 250 元．
归纳
利用二次函数解决利润最大问题的一般策略
　　（1）明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式．
　　（2）讨论最大值时可借助顶点式 y＝a(x－h)2＋k ，然后利用二次函数的性质确定最大值．
归纳
利用二次函数解决利润最大问题的一般策略
　　（3）在求商品利润最大问题时，要注意实际问题中自变量的取值范围，有时根据顶点坐标求出的函数的最大值并不一定是实际问题中最大值，实际问题的最大值应在自变量的取值范围内取得．
　　例1　某种文化衫，平均每天销售 40 件，每件盈利 20 元，市场调查反映：在成本不变的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多售 10 件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
　　解：设每件应降价 x 元，每天的利润为 y 元，
　　由题意，得 y＝(20－x)(40＋10x)
＝－10x2＋160x＋800
＝－10(x－8)2＋1 440(0＜x＜20)．
　　当 x＝8 时，y 有最大值1 440．
　　即当每件降价 8 元时，每天的盈利最多．
　　例2　某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为 20 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（单位：千克）与销售单价 x（单位：元/千克）满足一次函数解析式：y＝－2x＋80．设这种产品每天的销售利润为 W 元(x≥20)．
　　（1）求 W 与 x 之间的函数解析式；
　　（2）该产品销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
　　（1）求 W 与 x 之间的函数解析式；
　　解：（1）由题意，得 W＝(x－20)y
＝(x－20)(－2x＋80)
＝－2x2＋120x－1 600，
　　故 W 与 x 的函数解析式为 W＝－2x2＋120x－1 600(x≥20)．
　　解：（2）W＝－2x2＋120x－1 600＝－2(x－30)2＋200，
　　∵－2＜0，
　　∴当 x＝30 时，W 有最大值，W最大＝200．
　　即该产品销售价定为 30 元/千克时，每天销售利润最大，最大利润为 200 元．
　　（2）该产品销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
二次函数实际应用
——最大利润问题
基本思路
一般策略
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