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专题07 圆中的最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
例2．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______
例4.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
例5．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
例6．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为________．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为_____，PD﹣的最大值为____________．
例7．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
课后专项训练
1．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
第1题图 第2题图
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
3．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
第3题图 第4题图
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
第5题图 第6题图 第7题图
6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ．
7．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为 ____________．
8．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
9．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
第9题图 第10题图
10．（2023·河北·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在弧BE上运动，则PM+DP的最小值为 ．
11.（2023·山东·九年级专题练习）如图，的半径为，，Q为上一动点，则的最小值 ．的最小值
第11题图 第12题图
12．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
13．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 ．
14．（2023·山东·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值
15．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形为平行四边形，以为直径的交于点，连接，，，．过点作直线．过点作，垂足为．
(1)求的值；(2)若，且与交于另一点，求的长；
(3)过点作，垂足为，当直线绕点旋转时，求的最大值．
16．（2023·山东济南·九年级校考阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．
17．（2023·福建·九年级统考学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线顶点为，抛物线与轴交于点，交轴于两点（在的左边），
（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点为线段上的一点且不与重合，作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，．当是以为底边的等腰三角形时，为线段上一点，连接，求出的最小值；（3）若直线与抛物线的对称轴交于点，以为圆心1为半径作圆，为圆上一动点，求的最小值；
（4）如图，直线，点为直线上一动点，点在抛物线的对称轴上，作直线于点，交拋物线于，连接，，，当为等边时，直接写出点的坐标．
18．（2023·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．
如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆．
下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：
过点作交的延长线于点．
∴，．
∴．∴．
又∵，∴．
∴．∴．∴．
如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，……
任务：（1）判断是否平分，并说明理由；（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；（3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________．
19．（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知：

图1 图2 图3
（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值．
专题07 圆中的最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2020·广西中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
【答案】．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT AB，∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值为．故答案为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
例2．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
【答案】5
【详解】分析: 由PD PC＝PD PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD PC的值最大，最大值为DG＝5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵，，∴，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______
【答案】
【分析】①在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性质推出，得到，由，推出当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；②连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，
作DF⊥BC交BC延长线于F．
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，
∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD sin60°=2，CF=2，
在Rt△GDF中，DG，故答案为：；
②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是菱形，且，　
∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，
∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，
∴，，∴，
且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴，
∴，
∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，
在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=，
∴CN=4-，∴MC=，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
例4.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，
∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB BE＝3，
∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
例5．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）AP+BP的最小值为3；（2）AP+PC的值最小值为5；（3）2PA+PB的最小值为，见解析.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的长；
（2）在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；
（3）延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．
【详解】解：（1）解：（1）如图1，
连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，
∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°∴CF=6，AF=6
∴DF=CF-CD=6-3=3∴AD==3∴AP+BP的最小值为3
（2）如图，在AB上截取BF=1，连接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1
∴，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴∴PF=AP∴AP+PC=PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF===5∴AP+PC的值最小值为5，
（3）如图，
延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC=4，FC=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，
∴，且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF
∴∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM
∴OM=4，FM=4∴MB=OM+OB=4+3=7
∴FB==∴2PA+PB的最小值为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.
例6．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为__，PD﹣的最大值为__．
【答案】
【分析】（1）如图3中，在上取一点，使得，先证明，得到，所以，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最小值，，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最大值；
（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，解法同（1）．
【详解】（1）
如图3中，在上取一点，使得，
，，，
，，
，，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最小值为，
的最小值为，，
的最大值为，故答案为：，；
（2）如图4中，在上取一点，使得，作交于点，
，，，
，，，，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最小值为， 的最小值为，
在中，，，，，
在中，，的最小值为，
，的最大值为，故答案为：，．
【点睛】本题考查圆的综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是学会构建相似三角形解决问题．
例7．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
【答案】5
【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，
∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
【答案】A
【分析】如图（见解析），在AD边上取点H，使得，连接EH、FH，先根据正方形的性质得出，，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得，然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得取得最小值时，点E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．
【详解】如图，在AD边上取点H，使得，连接EH、FH
四边形ABCD是正方形，
，，即
又，即
由三角形的三边关系定理得：
由题意得：点E的轨迹是在以点A为圆心，AE长为半径的圆上
由两点之间线段最短可知，当点E位于FH与圆A的交点时，取得最小值，最小值为
，
在中，由勾股定理得即的最小值为故选：A．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
3．（2023·江苏常州·统考一模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．
【详解】解：延长到，使得，连接，．
，，，，，
，，，，
，又在中，，，，
，，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作于，作于，如图所示，通过代换，将转化为，得到当与相切时，取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．
【详解】解：作于，作于，如图所示：
，，，
，，
，，
，当与相切时，取得最大和最小，
①连接，，，如图1所示：
可得：四边形是正方形，，
在中，，，
在中，，
，即；
②连接，，，如图2所示：
可得：四边形是正方形，，
由上同理可知：在中，，，
在中，，
，即，
．故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，
∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB BE＝3，
∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），
∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
6．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，
∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD，∴PA+PD的最小值为，即PA的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质．
7．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则的最小值为 ____________．
【答案】5
【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得，推出PK=PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+PA=PB+PK的最小值为BK的长，计算即可．
【详解】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．
∵OP=2，OA=4，OK=1∴ ，∵∠POK=∠AOP，
∴△POK∽△AOP，∴，∴PK=PA，∴PB+PA=PB+PK，
在△PBK中，PB+PK≥BK，∴PB+PA=PB+PK的最小值为BK的长，
∵B（4，4），K（1，0），∴BK==5．故答案为5．
【点睛】此题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题.
8．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
【答案】
【分析】连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．由题意易证，即得出，从而得出，由此可知当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长，最后在中利用勾股定理求出DE的长即可．
【详解】如图，连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．
∵C是OA的中点，∴．∴在△OPC和△OEP中，，∴，
∴，即，∴，.
∴当P、D、E三点共线时，最小，最小值即为DE的长，如图，
在中， ，∴ 的最小值为．
【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长是解答本题的关键．
9．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．先证明，即有，可得，再根据，（当P、G、D三点共线时取等号）即可求解．
【详解】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．
，，，，，，
，，，，
四边形是菱形，，，
，，即，
，，，
，（当P、G、D三点共线时取等号）
，的最大值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．
10．（2023·河北·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在弧BE上运动，则PM+DP的最小值为 ．
【答案】
【分析】取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK=BH=1，HK=AB=2．由△PAK∽△DAP，推出，推出，推出，由，求出KM即可解决问题．
【详解】解：
取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK=BH=1，HK=AB=2，
∵AP=2，AK=1，AD=4，∴PA2=AK AD，∴
∵∠KAP=∠PAD，∴△PAK∽△DAP，∴，
∴，∴，∵，，
∴，∴的最小值为，故答案为.
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
11.（2023·山东·九年级专题练习）如图，的半径为，，Q为上一动点，则的最小值 ．的最小值
【答案】
【分析】连接OQ，在OM上取一点H，使OH=1，连接QH、PH，先证明，再根据相似三角形的性质得出，求的最小值转化为求PQ+QH的最小值，最后根据两点之间线段最短及勾股定理即可得出答案；
连接OQ，在OP上取一点A，使OA=，连接QA、MA，先证明，再根据相似三角形的性质得出，求的最小值转化为求QM+QA的最小值，最后根据两点之间线段最短及勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接OQ，在OM上取一点H，使OH=1，连接QH、PH，
，
Q是上一动点，根据两点之间，线段最短得到当Q在PH上时，PQ+QH最小
即PQ+QM最小，最小值是PH=．连接OQ，在OP上取一点A，使OA=，连接QA、MA
，
又
Q是上一动点，根据两点之间，线段最短得到当Q在MA上时，QM+QA最小
即PQ+QM最小，最小值是MA=．故答案为：；．
【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、两点之间线段最短、圆的基本概念，熟练掌握性质定理及添加合适的辅助线是解题的关键．
12．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，
∵， ，∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB BE＝3，
∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
13．（2022·湖北武汉·校考三模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据MP=2可得P在以M为圆心，2为半径的圆上，取MF的中点，以点B为坐标原点，BC、BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P（x，y）则PE2=x2+(y﹣3)2，PA2=x2+(y﹣6)2，MP2=x2+(y﹣2)2=4，进而可求得PA=2PE，根据两点之间线段最短可知，当E、P、C共线时PA+2PC=2(PE+PC)最小．
【详解】解：∵点B关于MN对称，对应点为P，BM=2，∴MP=2，
∴P在以M为圆心，2为半径的圆上，如图，
设圆与AB交于B、F两点，取MF的中点E，连接PE，则ME=1，BE=AE=3，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=6，
以点B为坐标原点，分别以BC、BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
则E(0，3)，A（0，6），M(0，2)，设点P（x，y），
则PE2=x2+(y﹣3)2，PA2=x2+(y﹣6)2，MP2=x2+(y﹣2)2=4即x2+y2=4y，
∴= = = = ，
∴即PA=2PE，连接EC，在Rt△EBC中，BC=6，BE=3，
由勾股定理得CE= = ，
∴PA+2PC=2(PE+PC)≥2CE= (当E、P、C共线时取等号)，
∴PA+2PC的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、对称性质、圆的定义、平面直角坐标系中两点间的距离公式、两点之间线段最短、勾股定理，理解题意，仔细分析，寻找相关联的信息，得出点P的运动轨迹和借助建立平面直角坐标系推导PA=2PE是解答的关键．
14．（2023·山东·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值
【答案】见详解
【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把转化为4（），这样只需求出的最小值，问题即可解决。
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）；
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；
【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5．
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5．
如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EF⊥BC
∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD，
∴当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC，
由图可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=，
∴最小值为FC=== ∴的最小值为：．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG== ．
当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=．
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG．
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD sin60°=，CF=2，
在Rt△GDF中，DG== PC=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
15．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形为平行四边形，以为直径的交于点，连接，，，．过点作直线．过点作，垂足为．
(1)求的值；(2)若，且与交于另一点，求的长；
(3)过点作，垂足为，当直线绕点旋转时，求的最大值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据为的直径，得出，根据勾股定理求得的长，进而根据正弦的定义即可求解；（2）延长，交于点，连接，先证明，得出，继而得出，中，，继而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）过点作于，过点作交于，，先证四边形是平行四边形，得到，再证，得到，即可推出，又由 即可得到当直线l与直线BC垂直时，，即此时的最大值即为，由此求解即可．
【详解】（1）解：∵为的直径，∴，
∵，，∴，∴；
（2）解：如图所示，延长，交于点，连接
∵，∴，又，则，
∴∴ 又∵， ∴，
∵中，∴
∵，∴，∴∴，解得：
（3）解：如图所示，过点作于，过点作交于，
∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，，∴，∵四边形为平行四边形，，，
∴∴，∴，
∴，∴，∴，
又∵ ∴当直线与直线垂直时，，即此时的最大值即为，如图所示，
∵四边形是平行四边形，∴，∴的最大值为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，弧、弦，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，圆内一点到圆上一点的最大距离，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．（2023·山东济南·九年级校考阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．
【答案】(1)a=-．直线AB解析式为y=-x+3；(2)2(3)
【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解决问题；
（3）在y轴上 取一点M使得OM′=，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．
【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，∴（x+1）（ax+3）=0，∴x=-1或-，
∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴-=4，∴a=-．
∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y=kx+b，则，解得，
∴直线AB解析式为y=-x+3；
（2）如图1，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，
∵∴，∵NE∥OB，∴，∴，
∵抛物线解析式为，∴，
∴，解得m=2或4，经检验x=4是分式方程的增根，∴m=2；
（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．
∵OE′=2，OM′ OB=，∴OE′2=OM′ OB，∴，
∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴，
∴，此时最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是的最小值．
17．（2023·福建·九年级统考学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线顶点为，抛物线与轴交于点，交轴于两点（在的左边），
（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点为线段上的一点且不与重合，作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，．当是以为底边的等腰三角形时，为线段上一点，连接，求出的最小值；（3）若直线与抛物线的对称轴交于点，以为圆心1为半径作圆，为圆上一动点，求的最小值；
（4）如图，直线，点为直线上一动点，点在抛物线的对称轴上，作直线于点，交拋物线于，连接，，，当为等边时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（3），
【分析】（1）由题意利用待定系数法设二次函数的解析式为把点的坐标代入求解即可；
（2）由题意利用等腰三角形性质以及以为斜边向外作，使得，并设，则，进而运用勾股定理进行分析即可；（3）根据题意连接，，在上截取，设抛物线的对称轴与轴交于以及设直线的解析式为，并运用相似三角形的判定与性质得出和结合勾股定理进行分析求解；（4）根据题意设点的坐标为，则点坐标，利用等边三角形性质以及勾股定理得出m和n的值，进而得出点的坐标．
【详解】解：（1）∵顶点∴设二次函数的解析式为
把点的坐标代入解得 故二次函数的解析式为
（2）如图 ∵轴∴ ∵是以为底的等腰三角形
∴，，
∴两点关于抛物线的对称轴对称∴，
以为斜边向外作，使得∴
故当三点共线，最短 当三点共线，
∴ 设，则
在中，，
∴，解得 ∴，
∴， ∴
（3） 连接，，在上截取
设抛物线的对称轴与轴交于∴
∵抛物线的顶点为∴对称轴为直线∴
设直线的解析式为
代入的坐标得，解得∴直线的解析式为
令则∴ 在中，，
∴∴
又∴∴∴
∴
∴当三点共线，最短 作轴于
∵，∴∵∴
∴∴，∴
在中，， ∴
∴
（4）， 设点的坐标为，则点坐标
，
∵为等边∴ ∴
解得（舍去）， 则，解得
故，同理可得坐标．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图像和性质，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数的定义等基础知识，考察运算能力，推理能力，空间观念与几何直观、创新意识，考察函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想及分类与整合思想．
18．（2023·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．
如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆．
下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：
过点作交的延长线于点．
∴，．
∴．∴．
又∵，∴．
∴．∴．∴．
如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，……
任务：（1）判断是否平分，并说明理由；（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；（3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________．
【答案】（1）平分．理由见解析；（2）点的运动轨迹是以为直径的圆，见解析；（3）
【分析】（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证；
（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点的运动轨迹是以为直径的圆；
（3）结合题目所给的材料分别求得AB的内分点和外分点的坐标，进而可求得点所在圆的圆心坐标．
【详解】解：（1）平分．理由如下：
∵，，∴．∴．∴．
∵，∴，．∴，即平分．
（2）∵，，且，
∴．∴为直径．∴点的运动轨迹是以为直径的圆．
（3）∵，，∴AB＝3，且AO＝2OB，
∵，∴点O为AB的内分点，当点C为AB的外分点时，CA＝2CB，
∴CB＝AB＝3，∴OC＝OB+BC＝4，∴点C的坐标为（4，0），
∴点所在圆的圆心坐标为（2，0）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
19．（2022秋·浙江·九年级专题练习）已知：

图1 图2 图3
（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值
【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明∽，得到，即可得到结论成立；
（2）在BC上取一点G，使得BG=1，由△PBG∽△CBP，得到，当D、P、G共线时，的值最小，即可得到答案；
（3）在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，与（2）同理得到，当点P在DG的延长线上时，，即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：如图，在BC上取一点G，使得BG=1，
∵，∴，
∴，∴，∴，∴；
∵，∴当D、P、G共线时，的值最小，
∴最小值为：；
（3）如图，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，
与（2）同理，可证，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD sin60°=，CF=2，
在Rt△GDF中，DG=，∴，
当点P在DG的延长线上时，，∴最大值为：.
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
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